FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE

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1 FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: ) un insieme X detto insieme di definizione I.d.D. (o dominio) di f 2) un insieme Y detto codominio di f 3) una legge che ad ogni elemento x in X associa uno ed uno solo elemento f(x) in Y. Si dice che x è l'argomento della funzione, oppure la variabile indipendente, mentre f(x) o y è il valore della funzione, oppure la variabile dipendente. Si dice anche che y è l immagine di x ed x è la controimmagine di y. Per indicare una funzione si usa la seguente notazione: f : X Y (f è una funzione dall insieme X nell insieme Y) f : x y oppure y f ( x) = ( f è una funzione che agisce sull elemento x) L insieme f ( X ) delle immagini si chiama insieme Immagine ed è ( ) L insieme G delle coppie (, ( )) Due funzioni si dicono equivalenti se: - hanno lo stesso I.d.D. - hanno lo stesso codominio x X, f x = g x - ( ) ( ) FUNZIONE INVERSA - Data una funzione f : X Y x X si può definire 2 una nuova funzione f X Y. x f x si chiama grafico o diagramma della funzione f. : se ad ogni ( ) con x f ( y) f Y X y = f x Y corrisponde uno ed un solo =, detta funzione inversa di f. FUNZIONE COMPOSTA - Sia h= g( x) l equazione di una funzione g: X Z e y = f ( h) l equazione di una funzione f : Z Y. La legge che associa ad ogni x X il valore y = f g( x) è detta funzione composta o funzione di funzione e solitamente viene indicata con f g.. Non sempre è possibile comporre due funzioni: due funzioni sono componibili se l insieme Immagine della prima è contenuto nel IdD della seconda, ovvero g( X) Z In generale, quando si deve determinare l IdD di una funzione composta bisogna considerare tutte le funzioni elementari che entrano in gioco, esprimendo per ciascuna le condizioni di esistenza: l IdD finale sarà l intersezione degli IdD di ciascuna funzione componente. 3. L ordine della composizione influisce sul risultato finale: in generale f g g f FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE - Si dicono funzioni reali di variabile reale quelle per cui I.d.D. e codominio sono sottoinsiemi dell insieme dei numeri reali 4. Esse si classificano in: Funzioni algebriche - Si chiama funzione algebrica una funzione costruita attraverso un numero finito di applicazioni delle quattro operazioni dell'aritmetica e dell'elevamento a potenza. Tra queste si distinguono: Tale scrittura in realtà rappresenta l equazione di una funzione 2 Attenzione: non si tratta di una potenza ad esponente negativo, perciò il simbolo f non indica 3 Se l immagine della funzione g non è tutta contenuta nell IdD=Z della funzione f, è necessario operare una restrizione dell insieme di definizione X di g in modo che la sua immagine g(x) sia contenuta in Z. 4 Possono coincidere con l insieme dei numeri reali f prof. Vanda Riboldi pag.

2 - le funzioni polinomiali, cioè quelle il cui valore coincide punto per punto con il valore assunto da un determinato polinomio; queste funzioni sono definite per tutti i numeri reali; - le funzioni razionali, date dal rapporto di due funzioni polinomiali, cioè del tipo n n A( x) ax 0 + ax an f ( x) = = ; l I.d.D della funzione è l insieme degli elementi m m B x b x + bx b ( ) 0 m x tali che B( x) 0. A volte queste sono chiamate funzioni razionali fratte e le polinomiali funzioni razionali intere. - le funzioni irrazionali, per le quali, fissato il valore della variabile indipendente x, è possibile determinare il rispettivo valore della f(x) applicando per un numero finito di volte le quattro operazioni dell'aritmetica e l'operazione di estrazione di radice. Una funzione irrazionale è del tipo f ( x n ) = g( x), dove g(x) è una funzione razionale definita in un certo sottoinsieme I. L I.d.D della funzione dipende dall'indice n della radice: se n è dispari allora l I.d.D della funzione coincide con l'insieme I di g; se n è pari allora l I.d.D della funzione è dato dall'insieme degli elementi x I che soddisfano la disequazione g( x) 0. Le funzioni irrazionali possono essere a loro volta intere e fratte. Funzioni trascendenti - Si chiamano funzioni trascendenti tutte quelle funzioni che non sono algebriche, cioè che contengano operazioni diverse dalle quattro operazioni standard dell'aritmetica e dall'operazione di potenza (e radice): logaritmo, esponenziale, espressioni trigonometriche... Tra queste si distinguono: - le funzioni goniometriche sin x f(x) sin x cos x tan x = cos x π Dominio + kπ, k 2 cos x f(x) cot x = sec x = csc x = sin x cos x sin x π Dominio { kπ}, k + kπ, k { kπ}, k 2 Sono incluse tra queste anche le loro inverse, dette funzioni d'arco. - le funzioni esponenziali: si dice funzione esponenziale una funzione 5 + g : del tipo f ( x) g( x) = k ( x) e relative trasformate. L I.d.D della funzione è l'insieme degli elementi contenuti nell'intersezione dei due insiemi di definizione di k e f che soddisfano la condizione k(x) > 0. - le funzioni logaritmiche, cioè le funzioni g : + del tipo g( x) ( ) f ( x) = log k x e relative trasformate. L I.d.D della funzione è l'insieme degli elementi contenuti nell'intersezione dei due insiemi di definizione di k e f tali che f(x) > 0, k(x) > 0 e k( x). 5 Con + intendiamo l insieme dei numeri reali positivi prof. Vanda Riboldi pag. 2

3 DEFINIZIONI Data una funzione y = f ( x) di insieme di definizione D, tale che x D, diciamo che: f è pari 6 se f ( x) = f ( x), x D f è dispari 7 se f ( x) = f ( x), x D f è periodica se esiste T > 0 tale che f ( x+ T) = f ( x), x D. Si dice che T è il periodo se esso rappresenta il minimo numero reale positivo per il quale è vera l uguaglianza - Nel caso in cui f sia somma o differenza di funzioni periodiche di periodi T, T 2,... T n essa risulta funzione periodica di periodo T mcm...( T, T2,... T n ). - Il periodo va determinato caso per caso se la funzione f è prodotto o quoziente di funzioni periodiche. MONOTONIA - Data una funzione y = f ( x) di insieme di definizione D diciamo che: D se f è monotona crescente (o crescente in senso stretto) in un intervallo I x, x2 I, x < x2 f ( x) < f ( x2) f è monotona non decrescente (o crescente in senso lato) in un intervallo I x, x2 I, x < x2 f ( x) f ( x2) f è monotona decrescente (o decrescente in senso stretto) in un intervallo I x, x2 I, x < x2 f ( x) > f ( x2) f è monotona non crescente (o decrescente in senso lato) in un intervallo I x, x2 I, x < x2 f ( x) f ( x2) f è costante in un intervallo I D se x, x I f x = f x ( ) ( ) 2 2 D se D se D se f crescente f decrescente N.B. Se y = f ( x) è una funzione strettamente monotona allora è invertibile 6 Dal punto di vista grafico, il grafico di y=f(x) è simmetrico rispetto all asse y. 7 Dal punto di vista grafico, il grafico di y=f(x) è simmetrico rispetto all origine O. prof. Vanda Riboldi pag. 3

4 FUNZIONI LIMITATE Una funzione f : X Y si dice superiormente limitata se ( ), M f x M x X Se il valore M è assunto dalla funzione f allora M si dice massimo della funzione ed il valore x per M il quale f ( xm ) = M si definisce punto di massimo 8 per f. Una funzione f : X Y si dice inferiormente limitata se ( ), m f x m x X Se il valore m è assunto dalla funzione f allora m si dice minimo della funzione ed il valore x m per il quale f ( xm ) = m si definisce punto di minimo 9 per f. Se una funzione è limitata superiormente e inferiormente si dice limitata Data una funzione f : X Y FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE, BIIETTIVE FUNZIONE INIETTIVA: elementi distinti di X hanno un'immagine distinta, o equivalentemente se ogni elemento di Y è immagine al più di un solo elemento di X; formalmente: f è iniettiva x, x2 X, x x2 f ( x) f ( x2) o equivalentemente: f è iniettiva x, x2 X, f ( x) = f ( x2) x = x2. Dalla definizione risulta che il grafico di una funzione iniettiva non può avere più di una intersezione con una qualsiasi retta parallela all'asse x. 2. L'iniettività di una funzione è una condizione necessaria ma non sufficiente affinché esista la funzione inversa. 3. La funzione composta ottenuta componendo due funzioni iniettive è a sua volta una funzione iniettiva; non è vero in generale il viceversa. 4. Se una funzione è monotona crescente (o decrescente) allora è anche iniettiva, in quanto due elementi diversi del dominio hanno immagine diversa nel codominio; viceversa se la funzione è iniettiva non è detto che sia monotona crescente (o decrescente). 0 FUNZIONE SURIETTIVA: l insieme Immagine f ( X ) coincide con il codominio Y, ovvero ogni elemento y di Y è immagine di almeno un punto di X; formalmente: f è suriettiva y Y, x X f x = y. OSSERVAZIONE - Sia la parabola f(x) = x 2 definita come funzione di in, cioè f : ; questa funzione non è suriettiva in quanto gli elementi dell insieme Immagine sono tutti numeri reali non negativi, mentre il codominio comprende anche i numeri reali negativi. Per rendere suriettiva + questa funzione è sufficiente considerare un codominio diverso, ovvero: f : { 0}. La funzione ora considerata non è equivalente alla data! 2. Se abbiamo una funzione reale di una variabile reale che è suriettiva allora tracciando sul suo piano cartesiano una qualsiasi retta parallela all'asse x questa intersecherà il grafico della funzione almeno una volta. 3. Se f e g sono entrambe suriettive, allora f g è suriettiva; non è vero in generale il viceversa. ( ) 8 Il punto di massimo può non essere unico 9 Analogamente il punto di minimo può non essere unico 0 Si pensi alla funzione f ( x) = x prof. Vanda Riboldi pag. 4

5 FUNZIONE BIIETTIVA O BIUNIVOCA: ogni elemento di Y è immagine di uno ed un solo elemento di X. * y Y, x X f x = y. Formalmente: ( ). Una funzione è biiettiva se e solo se è contemporaneamente iniettive e suriettiva 2. Una funzione è biiettiva se e solo se è invertibile 3. Tracciando una qualsiasi retta parallela all'asse x questa intersecherà il grafico di una funzione biiettiva una sola volta. 4. Se f e g sono entrambe biiettive, allora f o g se esiste è biiettiva 5. L inversa di una funzione biiettiva è una funzione biiettiva GRAFICI DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI FUNZIONI POTENZA ESPONENTE INTERO POSITIVO La funzione f : n tale che ( ) Se n è dispari l insieme Immagine è f ( ) = f x = x è detta funzione potenza n-esima., se n è pari l insieme Immagine è f ( ) = [ 0, + [ Il grafico passa sempre per O; inoltre, se n è dispari la funzione è dispari e il suo grafico presenta simmetria rispetto all origine O, se n è pari la funzione è pari e il suo grafico presenta simmetria rispetto all asse delle ordinate n pari n dispari È importante analizzare attentamente la posizione n reciproca dei grafici delle potenze f ( x) = x, n per valori di x nell intervallo [ 0, [ e per valori di x nell intervallo ], + [ Nell intervallo [ 0, [ si ha Nell intervallo ], + [ si ha x > x > x > x x < x < x < x prof. Vanda Riboldi pag. 5

6 ESPONENTE INTERO NEGATIVO n pari n dispari ESPONENTE RAZIONALE y = x (ramo superiore di parabola) y 3 = x (parabola cubica) FUNZIONI GONIOMETRICHE E FUNZIONI D ARCO [ ] y = sin x, limitata, periodica con T = 2π, dispari, non è monotona la retta tangente al grafico nell origine ha coefficiente angolare m= non è invertibile su tutto il suo IdD: si conviene di definire l inversa della funzione π π y = sin x, [,] 2 2 La funzione inversa è pertanto π π y = arcsin x [, ], 2 2 prof. Vanda Riboldi pag. 6

7 [ ] y = cos x, limitata, periodica con T = 2π, pari, non è monotona la retta tangente al grafico nel punto di ascissa π ha 2 coefficiente angolare m=- non è invertibile su tutto il suo IdD: si conviene di definire l inversa della funzione y = cos x [ 0, π ] [,] La funzione inversa è pertanto y = arccos x, 0, π [ ] [ ] y = tan x π y = tan x + kπ con k 2 illlimitata, periodica con T = π, dispari, crescente π π negli intervalli + kπ, + kπ 2 2 la retta tangente al grafico nell origine ha coefficiente angolare m= non è invertibile su tutto il suo IdD: si conviene di definire l inversa della funzione π π y = tan x, 2 2 y = arctan x La funzione inversa è pertanto π π y = arctan x, 2 2 FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE Confronto di funzioni esponenziali Confronto di funzioni logaritmiche prof. Vanda Riboldi pag. 7

8 Confronto f. esponenziali e logaritmiche (base >) Confronto f. esponenziali e logaritmiche (0<base<) SIMMETRIA E MONOTONIA SOMMA DI FUNZIONI SIMMETRIA MONOTONIA f Pari Dispari Pari Crescente Decrescente Crescente g Pari Dispari Dispari Crescente Decrescente Decrescente f+g Pari Dispari No simm. Crescente Decrescente????? PRODOTTO DI FUNZIONI SIMMETRIA MONOTONIA f Pari Dispari Pari Positiva crescente Positiva decrescente Negativa crescente Negativa decrescente g Pari Dispari Dispari Positiva crescente Positiva decrescente Negativa crescente Negativa decrescente f g Pari Pari Dispari Positiva crescente Positiva decrescente Positiva decrescente Positiva crescente RAPPORTO DI FUNZIONI SIMMETRIA MONOTONIA f Pari Dispari Pari Positiva crescente Positiva decrescente Negativa crescente Negativa decrescente g Pari Dispari Dispari Positiva decrescente Positiva crescente Negativa decrescente Negativa crescente f g Pari Pari Dispari Positiva crescente Positiva decrescente Positiva decrescente Positiva crescente COMPOSIZIONE DI FUNZIONI SIMMETRIA MONOTONIA f Pari Pari Dispari Dispari Crescente Crescente Decrescente Decrescente g Pari Dispari Pari Dispari Crescente Decrescente Crescente Decrescente f g Pari Pari Pari Dispari Crescente Decrescente Decrescente Crescente prof. Vanda Riboldi pag. 8