Proprietà delle funzioni. M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler

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1 Proprietà delle funzioni M.Simonetta Bernabei & Horst Thaler

2 Funzioni crescenti e decrescenti Crescente Decrescente Crescente

3 Estremi di una funzione f ( ) f ( c) per ogni in [a, b]. f ( ) f ( d) per ogni in [a, b]. a b c d

4 Funzioni monotone

5 Esempio: la funzione lineare è monotona (strettamente) crescente o decrescente ( 1, 5) (, 0)

6 Ad esempio () = 3. Trovare il dominio, l immagine. E invertibile? Soluzione: Il dominio é (, ). L immagine è { 3}. La funzione costante non è invertibile. ( ) 3 Retta orizzontale (0, 3)

7 Esempio. Retta verticale. = 3. E una funzione? Trovare il dominio, il codominio. Il dominio di questa relazione, che non è una funzione, è { 3}. ( 3, 0) Il codominio è (, ). 3 Retta verticale

8 Funzioni Limitate

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11 Caso generale: Se a, b e c sono numeri reali con a 0 la funzione f () = a + b + c é chiamata funzione quadratica. Il suo grafico è una parabola. Ogni parabola è simmetrica rispetto ad un asse chiamato asse di simmetria. IL punto di intersezione tra la parabola e l asse è chiamato vertice della parabola. f () = a + b + c vertice Asse di simmetria Copright b Houghton Mifflin Compan, Inc. All rights reserved. 11

12 a > 0 concavità verso l alto Il vertice è minimo Il vertice è il massimo a < 0 concavità verso il basso f() = a + b + c f() = a + b + c

13 Funzioni pari e dispari

14 Cresce per >0 e decresce for <0 f(-) f() -

15 Cresce per ogni - f() f(-)

16 Dominio: {>0} E invertibile? sì

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18 Funzioni periodiche

19 Esempio. Funzione seno. Per tracciare il grafico della funzione seno = sen localizziamo dei punti strategici. Sono i punti di massimo, minimo e le intersezioni con l asse delle sen sen E una funzione invertibile? no

20 Esempio. Funzione coseno. Per tracciare il grafico della funzione coseno = cos localizziamo dei punti strategici. Sono i punti di massimo, minimo e le intersezioni con l asse delle cos = cos E una funzione invertibile? no

21 Esempio. Funzione tangente. sen La funzione tangente = tan è definita tan. cos Nei valori in cui cos = 0, la funzione tangente non è definita. Proprietà di = tan 1. dominio : tutti i reali k k. immagine: (, +) 3. periodo: E invertibile? no E monotona? no E limitata? no 3 periodo: 3

22 Esempio. Funzione cotangente. cos La funzione cotangente = cot è definita cot. sen Nei valori in cui sen = 0, la funzione cotangente non è definita. Proprietà di = cot 1. dominio : tutti i reali k k cot. immagine: (, +) 3. periodo: 3 3 E invertibile? no E monotona? no E limitata? no periodo: 0

23 Funzione inversa del seno. Affinchè una funzione ammetta inversa, deve essere una funzione iniettiva e soddisfare il Test della linea orizzontale. f() = sen non verifica il Test della linea orizzontale Affinchè esista la funzione inversa dobbiamo considerare una sua restrizione. 1 = sen 1 sen ammette una funzione inversa in questo intervallo.

24 Restrizione di una funzione

25 La funzione inversa del seno è definita da = arcsen se e solo se sin =. Angolo il cui seno è Il dominio di = arcsen è [ 1, 1]. Il codominio di = arcsen è [ /, /]. Esempio: a. arcsin 1 6 b. sin sin 3 3 Questo è un altro modo di scrivere arcsen.

26 Per ottenere il grafico si riflette il grafico della funzione seno rispetto alla bisettrice del I quadrante. 1,,1 a 3, 3 3, 3 a 4,, 4 a ) ( ) ( 1 sen e arcsen = arcsin() = sin()

27 Grafici di sen ed arcsen

28 Funzione inversa del coseno. f() = cos deve essere ristretta in modo che ammetta funzione inversa. 1 = cos 1 cos ha una funzione inversa su questo intervallo.

29 La funzione inversa del coseno è definita da = arccos se e solo se cos =. Angolo il cui coseno è Il dominio di = arccos è [ 1, 1]. Il codominio di = arccos è [0, ]. Esempio: a.) arccos b.) cos cos Questo è un altro modo di scrivere arccos.

30 Funzione inversa del coseno. Scegliamo una restrizione del coseno in modo che ammetta funzione inversa. Ad esempio la zona delimitata dal riquadro rosso sotto. In questo modo il dominio della funzione inversa diventa [-1,1], mentre l immagine [0, π] = cos() = arccos() 5/6 /3 /3 /3 /3 /3 4/3 5/3 / /3 /6

31 Funzione inversa della tangente. f() = tan deve essere ristretta affinchè ammetta inversa. = tan 3 3 tan ammette funzione inversa su questo intervallo.

32 La funzione inversa della funzione tangente è definita da = arctan se e solo se tan =. Esempio: 3 a.) arctan 3 1 b.) tan 3 Angolo la cui tangente è Il dominio di = arctan è. L immagine di = arctan è [ /, /]. 6 3 tan 3 3 (, ) Questo è un altro modo di scrivere arctan.

33 Come per la funzione seno il dominio che genera la funzione inversa è,. =tan() Funzione inversa della tangente. 4 / 3 =arctan() /4 / /4 /4 / /4 D 3 / 4 D, e Cod,, e Cod,

34 arcsen() arccos() arctan() Dominio Codominio 0

35 Altre funzioni speciali: Funzioni esponenziali E monotona? sì E invertibile? sì E limitata? inferiormente Immagine: (0, ) (0, 1) Dominio: (, ) Il grafico di f() = a, a > 1

36 Il grafico di f() = a, 0 < a <1 E monotona? sì E invertibile? sì E limitata? inferiormente (0, 1) Immagine: (0, ) Dominio: (, )

37 Il grafico di f() = e f()

38 Funzione logaritmo Per 0 e 0 a 1, = log a se e solo se = a. La funzione definita da f () = log a è chiamata funzione logaritmo con base a. Ogni equazione logaritmica ha una corrispondente equazione esponenziale: = log a is equivalent to = a Il logaritmo è un esponente! La funzione logaritmo è l inversa della funzione esponenziale. Funzione esponenziale: = a Funzione logaritmica: = log a è equivalente a = a

39 Funzione logaritmo Poichè la funzione logaritmo è la funzione inversa della funzione esponenziale con la stessa base, il suo grafico è la riflessione del grafico della funzione esponenziale rispetto alla retta =. = = (1, 0) = log Inters. con E monotona? sì E invertibile? sì E limitata? no

40 Grafici della funzione logaritmo a>1 0<a<1 f ( ) log Es. 3 f ( ) log 1/ (0, 1) (0, 1) (1,0) (1,0) log 3 log 1/ 3

41 Esercizi

42 Esercizio 1a

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44 3. Trovare il dominio delle seguenti funzioni f = 1 3 f = ln + [D = {: 0 e ±1}] [D = {: < < }] f = 3 [D = {: 0 o 3}] f = ln [D = {: 1 < < 5 }] f = e 5+6 [D = {: e 3}]

45 Svolgimento di alcuni esercizi del secondo gruppo

46 Esercizio b

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