ESERCIZI INTRODUTTIVI

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1 ESERCIZI INTRODUTTIVI () Data la proposizione p: Tutti gli uomini hanno la coda, discutere la validità delle seguenti proposte di negazione di p: (i) non tutti gli uomini hanno la coda; (ii) nessun uomo ha la coda; (iii) esiste un uomo che non ha la coda; (iv) esiste un uomo che non ha una coda lunga. (2) Negare le seguenti affermazioni: (i) tutti gli studenti del corso di Matematica I abitano a Napoli; (ii) almeno uno studente prenderà meno di 30 all esame di Matematica I; (iii) tutte le studentesse del corso di Matematica I hanno capelli biondi ed occhi azzurri; (iv) esiste un punto P che non appartiene né alla retta r né alla retta s; (v) l equazione () ha 3 soluzioni; (vi) p è un numero primo, dispari, minore di 0; (vii) dato l insieme non vuoto A R, M R : x < M x A; (viii) dato l insieme non vuoto A R, x A M R : x < M. (3) Dire quali fra le seguenti affermazioni sono vere: (i) x R x 2 ; (ii) x R : x 2 ; (iii) x R x 2 > 0; (iv) x R : x 2 < 0; (v) y N x R : y x; (vi) x R : y N y x. (4) Lui dice a lei: Sono bello e ricco. Lei risponde a lui: Non è vero. Cosa significa? (i) Lui è brutto e povero; (ii) lui è brutto o povero, ma non entrambi; (iii) lui è brutto o povero, o entrambi. (Identifichiamo brutto con non bello e povero con non ricco) (5) Sia T un triangolo. Quali delle seguenti condizioni sono necessarie affinché T sia isoscele? Quali sono sufficienti? (i) T è equilatero; (ii) T ha due angoli uguali; (iii) T è rettangolo; (iv) T ha due angoli uguali e di ampiezza minore di 60 ; (v) esistono due lati del triangolo per i quali il quoziente delle lunghezze è un numero intero. (6) Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere. (i) Condizione sufficiente affinché un numero sia multiplo di 4 è che sia multiplo di 20; (ii) x > è condizione necessaria e sufficiente affinché x 2 > ; (iii) x > è condizione necessaria e sufficiente affinché x 3 > ; (iv) x A B è condizione necessaria e sufficiente affinché x A;

2 2 (v) condizione sufficiente affinché x 2 = 2 è x = 2. (7) Marco dice a Luca: Se domani ti ricordi di restituirmi il libro di Matematica che ti ho prestato, ti offro da bere. Il giorno dopo Luca dimentica il libro e Marco non gli offre da bere. Marco ha mantenuto la sua promessa? L avrebbe mantenuta anche se gli avesse offerto da bere? (8) Mostrare attraverso opportuni controesempi la falsità delle seguenti affermazioni. (i) Ogni multiplo di 9 è multiplo di 6. (ii) Se p è un numero primo, allora p è dispari. (iii) Un triangolo non può avere lati tutti diversi e di lunghezze tutte intere. (iv) Nella lingua italiana il nome di una nazione terminante con la lettera a assume genere femminile. (9) (i) Scrivere l equazione della retta r passante per i punti P (3, ) e Q(4, 2). (ii) La retta r è parallela alla retta s passante per A(2, ) e B(9, 3)? (iii) Scrivere l equazione della retta t passante per M(0, 2) e perpendicolare a r. (iv) Determinare gli eventuali punti di intersezione tra la retta t e la circonferenza di centro O(0, 0) e raggio 2. (0) (i) Scrivere le equazioni delle rette su cui giacciono i lati del triangolo di vertici A(2, 0), B(0, 4) e C( 6, 5). (ii) Descrivere il triangolo utilizzando un sistema di disequazioni. () (i) Scrivere l equazione della retta r passante per i punti P (, 2, 3) e Q(0,, 5). (ii) Scrivere l equazione della retta s passante per il punto O(0, 0, 0) ed ortogonale al piano x + y + z =. (iii) Scrivere l equazione della retta t intersezione dei piani x+2y z = e 2x+y z = 0. (2) (i) Scrivere l equazione del piano π passante per i punti P (,, ), Q(0, 0, ) e R(, 2, 0). (ii) Scrivere l equazione del piano passante per O(0, 0, 0) e parallelo al piano 2x+3z = 2. (iii) Scrivere l equazione del piano passante per A(, 0, 2) ed ortogonale a π. (3) Date le rette r : 4x + y 8 = 0, s : 6x 4y + 4 = 0 ed il punto P (2, ), determinare: (i) la retta passante per P e parallela a r; (ii) la retta passante per P e perpendicolare a s; (iii) l insieme r s; (iv) la distanza di P da r. (4) Disegnare i luoghi geometrici dei punti del piano che verificano le seguenti equazioni: x 2 2x + y 2 = 0, x 2 2x = 0, x 2 2y 2 = 0 x 2 + 2y 2 = 0, x 2 + 2y 2 =, x 2 + 2y = 0 x 2 2y 2 =, y 2 3y = 0, 2x 2 + 3y 2 = 2 xy = 3.

3 3 ESERCIZI () Dati i due insiemi A = {q Q : q < 22}, B = {n N : n 20}, determinare A B, A \ B. (2) Dati i due insiemi A =]2, + [, B = [ 2, + [, determinare A B, A B, A c, B c, A c B c, A c B c. (Indichiamo A c = R \ A) (3) Dati i due insiemi A = {x R : x 2}, B = {x R : x > }, determinare A B, A B, A \ B, B \ A, A c, B c. (4) Dati i due insiemi A = {x R : x 2 0}, B = {x R : x 2 4x + 3 > 0}, determinare A B. (5) Dati i due insiemi { A = x R : determinare A B, A B. } { x x 2 < 0, B = x R : x(x ) x + 2 } 0, (6) Determinare, se esistono, massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore dei seguenti insiemi: { } A = 2n n+, n N, A 2 = { x R : x } A 3 =]0, [ Q, A 4 = { x R : x > 0, x 3}.

4 4 (7) Risolvere le seguenti disequazioni: 5 x a) 4 3x 0 b) x + x 2 x 0 c) 3x 2 + 7x + 4 3x + 2 > 0 d) (x 2 2x)(x 2 4x + 3) 0 e) 2 + x > x + f) x x 2 6 x + x 2 + 2x 24 g) 3 2x 3 > 3 4x + 2 h) 4 2x 3 > 4 4x + 2 i) 6 x x x x 2 x 2 3x j) x 2 3x Alcune soluzioni degli Esercizi (4) A B =], ] ]3, + [ (5) A B =]2, + [, A B =] 3, 2[ ] 2, 0] [, + [ (7) a) ] 4 3, 5], b)[, 0[ ], + [, c) ] 4 3, [ ] 2 3, + [, d)[0, ] [2, 3], e)], [ ], + [, f)], 6[ ] 4, 4[ ]4, + [, g) ], 5 2[, h) i){ 3} ], 2[, j)], 3] ], 2[ ]2, + [

5 5 ESERCIZI 2 () Scrivere la definizione di funzione iniettiva e fornire un esempio. (2) Scrivere la definizione di funzione invertibile e fornire un esempio. (3) Scrivere la definizione di funzione crescente e fornire un esempio. (4) Scrivere la definizione di funzione strettamente decrescente e fornire un esempio. (5) Scrivere la definizione di funzione pari e fornire un esempio. (6) Considerata la funzione f(x) = x 2 2, (i) determinare il dominio e l insieme dei valori di f; (ii) stabilire se f è iniettiva; (iii) stabilire se f è crescente; (iv) stabilire se la restrizione di f all intervallo ]0, + [ è strettamente crescente. (7) Considerate le funzioni f(x) = x 2, g(x) = 3x + 2, determinare, se possibile, g f e f g. Disegnare i grafici delle funzioni composte. (8) Considerate le funzioni f(x) = x, g(x) = 2x +, determinare, se possibile, g f e f g. Disegnare i grafici delle funzioni composte. (9) Dire se la seguente curva piana è il grafico di una funzione della variabile x e giustificare la risposta (0) Assegnata la funzione il cui grafico è riportato in figura, stabilire

6 6 7,5 5 2,5-2,5 0 2,5 5 7,5 0 2,5 5-2,5-5 (i) l insieme di definizione; (ii) l insieme dei valori; (iii) eventuali punti di massimo, minimo; (iv) eventuali intervalli in cui la funzione è crescente. Stabilire infine se la funzione è invertibile. () Stabilire se le seguenti funzioni sono invertibili ed, in caso di risposta affermativa, calcolarne le inverse: f (x) = 2x 7 ( ) f 2 (x) = log + x f 3 (x) = x 2 + f 5 (x) = ex e x 2 f 7 (x) = x + x 2 + f 4 (x) = e x+ ( x ) f 6 (x) = cos f 8 (x) = sin(2x). (2) Dimostrare che, assegnate due funzioni invertibili f, g tali che sia possibile calcolare g f, allora g f è invertibile e (g f) = f g. (3) Scrivere l espressione esplicita della funzione lineare f : R R che soddisfa le seguenti condizioni: a) f(0) = 0, f() = 2; b) f() = 3 ed f è dispari; c) f è invertibile e la sua inversa è f (x) = 3x 4. (4) Scrivere l espressione esplicita della funzione quadratica f : R R che soddisfa le seguenti condizioni:

7 7 a) f(0) = 0, f() = 2, f(2) = 0; b) f() =, f(2) = 4 ed f è pari; c) f() = 2 ed il grafico di f interseca l asse x nei punti (0, 0) e (0, 0). (5) Scrivere l espressione esplicita di una funzione f : R R periodica, tale che max R f = f() =, min f = f(3) = 5. R Alcune soluzioni degli Esercizi 2 () f (x) = x + 7 ; f2 2 (x) = e x ; f4 (x) = log x; f5 (x (x) = log + ) x 2 + ; f7 : x ]0, + [ x 2 2x R (3) a) f(x) = 2x; b) f(x) = 3x; c) f(x) = x (4) a) f(x) = 2x 2 + 4x; b) f(x) = x 2 ; c) f(x) = 2 9 x x ( π ) (5) f(x) = 3 cos 2 (x ) 2

8 8 ESERCIZI 3 () Disegnare i grafici delle seguenti funzioni: f (x) = (x ) 2 f 2 (x) = x 2 f 3 (x) = log 0 ( + x) f 4 (x) = log /2 x + f 5 (x) = 3 x f 6 (x) = 4 x + 4 f 7 (x) = (x + ) 2 f 8 (x) = 3 x f 9 (x) = x + 3 f (x) = log x 2 f 0 (x) = log(2x) f 2 (x) = 2 log x f 3 (x) = (x 2) π f 4 (x) = log x f 5 (x) = e x. (2) Disegnare i grafici delle seguenti funzioni: f (x) = cos(2x) f 2 (x) = cos x + 2 f 3 (x) = 2 cos x ( x ) f 4 (x) = sin 2 f 5 (x) = tan x f 6 (x) = cos x f 7 (x) = sin x f 8 (x) = arctan(x ) f 9 (x) = arctan x f 0 (x) = arcsin x + π 2 f (x) = arccos(x + ). (3) Risolvere le seguenti disequazioni:

9 9 a) x 2 6x + 8 2x b) x + 3 x 2 > 0 c) (x 2 2x + 24)(x 3) > 0 d) 3 x(x 2 4) < x + 5 e) g) x 2 5x + 6 > x + f) x x x 2 h) 25 x 2 < x 7 3 2x < 3 x + 4 i) e x 2 < e x j) ( ) x( 3x) < 4 4 k) 0 2x 5 0 x + 4 > 0 l) log 2 x log x 2 < 0 m) log ( x 2 2x 7 ) > 0 n) log 3 (x + ) > log 3 (x ) o) cos x < 2 p) sin 2x cos x 0 q) ( ) sin x 4 2 r) 3 arcsin x π > 0 s) arccos x < π 2 t) (tan x )(tan x 3) > 0 u) x + 2 < 3 v) x 2 2x > x w) x 2 3x > x 7 x) log 2 x 2 < y) x 2 > x + 2

10 0 (3) a)] 4, 2], b) ] Alcune soluzioni degli Esercizi 3 [ ] 2 + [ 2, 2, +, c)]3, + [ 2 2 ] d)r, e), 5 [, f), g)[3, 5], h)], 5[, 7 ] 3 i)], + [, j), + [ 3, k)], 0[ ] log , + [ l) ] e 3, e 4[, m)], 2[ ]4, + [, n)], + [ o) ] π 4 + 2kπ, 7 [ 4 π + 2kπ, p) ( [π 6 + 2kπ, π ] 2 + 2kπ k Z k Z [ π 6 + 2kπ, 5 ] ] ] 3 6 π + 2kπ, r) 2,, s)]0, ] q) k Z t) k Z (] π 2 + kπ, π [ ] π 4 + kπ 3 + kπ, π [) 2 + kπ, u)] 5, [, [ 5 6 π + 2kπ, 3 ]) 2 π + 2kπ v)], 0[ ]0, [ ]3, + [, w) ], 8 [ ] + 8, + [, x)]0, 2[ ]2, 4[ y)], 0[

11 ESERCIZI 4 Determinare gli insiemi di definizione delle seguenti funzioni: f (x) = e x f 2 (x) = log ( sin x ) 2 f 3 (x) = x 2 arctan x f 4 (x) = x f 5 (x) = ( log 2 x + log x 2 f 6 (x) = log x + ) x 2 x 2 ( ( ) x f 7 (x) = log 3 f 9 (x) = ( ) ) x 3 f 8 (x) = arcsin ( 2 2x 3 2 x + ) log /2 x f 0 (x) = arctan 3x 2 f (x) = f 3 (x) = x x + 2 log x + log x f 2 (x) = log 4 (2 x + ) f 4 (x) = x log 2 (x 3) f 5 (x) = x 2 x x f 6 (x) = log(x2 2) log(3x 2 ) f 7 (x) = e/x x + f 8 (x) = cos ( x + ) f 9 (x) = arctan x + f 20 (x) = log x + sin x f 2 (x) = x cos x f 23 (x) = log(cos x + ) f 22 (x) = cos x + f 24 (x) = log(sin x + cos x).

12 2 ESERCIZI 5 () Calcolare i seguenti limiti di successioni: n + a) lim n + n 2 n + 3 n 2 b) lim n + n + 4 c) 3n 3 8n lim n + 2n 3 + 4n 2 n + e) ( n lim n + n + n + ) n n d) lim n 4 + n + ( ) n 2 f) lim n + n + n2 + n ( ) g) lim n 2 + n n h) lim n n 2 + n n n + n + i) lim n + 3 n k) lim n + 3 n + n 2 + sin n + n + n 2 j) lim n + n + 2 n n n log n l) lim n + log 5 n + ( m) lim + 7 n ( n n) lim n + n) 2 + n + ( n 2 + o) lim n + n 2 ) 3n 2 n 2 ) n p) lim (n! + n log n) n + q) lim n ( n + n ) ( 3 r) lim n 3 + n 2 + n) n + n + s) lim (log n n!) t) lim n + n + (3n log 3 n) 2 n u) lim n + n! log n v) lim n + n 3 3. (2) Usando la definizione di limite di successione verificare che: ( lim n = 0 lim n + 3) log 2(n 2 + ) = + n + lim n + ( 2n2 + 3n + 5) = lim n + n 2 + 2n 2 = 2.

13 3 (3) Stabilire quali delle seguenti successioni sono limitate, quali sono monotone, quali sono regolari: a n = n+ n b n = n! c n = ( ) n 3 n d n = ( + n) n e n = log(2n) f n = n log 0 n g n = 2n2 n 2 h n = sin(2πn) i n = cos ( ) πn 2. Alcune soluzioni degli Esercizi 5 () a) 0, b) +, c) 3 2, d), e) 0, f), g) 2 h) +, i), j) 0, k), l) log 5, m) e 7, n) o) e 3, p) +, q) +, r) u) 0, v) 0, s), t) + 3

14 4 ESERCIZI 6 () Calcolare i seguenti limiti di funzioni: a) ( + 3x )x lim x 0 sin 2 x c) ( ) x lim x + 2x 2 ( e) lim x 2 + 2x x) x + ( ) 2x + g) lim x sin x + x 2 log 2 x + i) lim x + 3 log 2 x + k) lim x 0 (e x ) sin x cos x b) lim x 0 tan x 2 x(e 3x ) 3 x 2 x d) lim x 0 + cos x f) lim x 0 log(cos x) sin 2 x h) lim x + (e3x 6x 3 ) j) lim x 0 x arcsin x cos x ( ) l) lim x log( + 2x) x + x + e x x + e x m) lim x + x e x n) lim x x e x o) lim x 2 log(3 x) x 2 x 2 q) lim x 0 sin 3x tan 5x ( s) lim x 0 x ) xe x u) lim x log x x log x p) lim x 0 + log(tan x) r) lim x 0 log( + 3x 2 ) log( + 5x 2 ) x 2 3x + 2 t) lim x + cos ( π 2 x) log x v) lim x arctan(2x 2) w) lim x + log(x + e x ). 2x

15 (2) Determinare gli insiemi di definizione e calcolare gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni: f (x) = 2x2 3 x f 2 (x) = xe /x f 3 (x) = x3 2x 2 f x (x) = ex x 2 3 ( ) f 5 (x) = xe 3x x 2 +4 f 6 (x) = arctan x+ ( ) f 7 (x) = x arctan x f 8 (x) = log x+ x 2 2 f 9 (x) = 2 log 0 x f 0 (x) = log 0 x 2. (3) Stabilire per quali valori del parametro reale a le seguenti funzioni sono continue: x 2 5 x + a 0 x f (x) = 4 x < x 3 cos x + a x 0 f 2 (x) = 2 x 2 x > 0. () a) Alcune soluzioni degli Esercizi 6 3 2, b) 3, c) 2, d) 2 log 3 2, e), f) 2, g) 2 h) +, i), j) 2, k) 2, l) +, m), n) 3 o) 3, p), q) 3 5, r) 3 5, s), t) 2 π u), v) 2, w) 2 (3) La funzione f (x) è continua in [0, 3] se a = 2. La funzione f 2 (x) è continua in R se a =.

16 6 ESERCIZI 7 () Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: f (x) = sin 3x f 2 (x) = cos(x 2 + ) f 3 (x) = tan(cos x) f 4 (x) = e x + f 5 (x) = x 2 + f 7 (x) = ( + 3 x ) 2 f 6 (x) = x 3 log x f 8 (x) = x 2 + log 0 x f 9 (x) = cos x sin 2x f 0 (x) = x + x f (x) = 2 x2 +3 f 2 (x) = log 2 (x 2 3x + ) f 3 (x) = e x x+ x + 2 f 4 (x) = x 2 f 5 (x) = e x (x 2 + 2x) f 7 (x) = 2 x sin x f 9 (x) = arctan ( ) x x + f 6 (x) = x log x f 8 (x) = e x cos x + e x sin x f 20 (x) = arcsin x (2) Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) nel punto di ascissa x 0, dove a) f(x) = x + sin x x 0 = 0 b) f(x) = cos(log x) x 0 = e π c) f(x) = e x2 x 0 = 0 d) f(x) = 2x + x 0 = e) f(x) = x x x 0 = e.

17 7 (3) Studiare la continuità e la derivabilità della seguente funzione x 0 f(x) = x 2 0 < x log x x >. (4) Stabilire per quali valori dei parametri reali a, b la funzione x 2 x 2 f(x) = ax + b x > 2 è continua e derivabile in R. (5) Calcolare la velocità di variazione del volume e della superficie di una sfera rispetto al suo raggio. (6) Calcolare la velocità di variazione dell area e del perimetro di un cerchio rispetto al suo raggio. (7) La legge oraria del moto di una particella è s(t) = 2t t +, dove t è il tempo misurato in secondi ed s è lo spazio misurato in centimetri. Trovare la velocità della particella dopo 2 secondi. (8) La legge oraria del moto di una particella è s(t) = t 2 2t +, dove t è il tempo misurato in secondi ed s è lo spazio misurato in centimetri. (i) Trovare la velocità della particella all istante t. (ii) Calcolare la velocità dopo 3 secondi. (iii) In quali istanti la particella è ferma? (iv) In quali istanti la particella si muove in avanti? (v) Trovare la distanza totale percorsa nei primi 8 secondi. (vi) Disegnare i grafici delle funzioni posizione e velocità. (9) Supponendo che la retta tangente al grafico della funzione f(x) nel punto (4, 3) passi per il punto (0, 2), determinare f(4) e f (4). (0) Scrivere l equazione della retta tangente (se esiste) al grafico della funzione f(x) = log 0 x passante per l origine. () Stabilire quante sono le rette tangenti al grafico della funzione f(x) = log x 2 passanti per l origine. Scrivere le equazioni di tali rette.

18 8 (2) Determinare le equazioni delle rette tangenti alla parabola y = x 2 e passanti per il punto (0, ). (3) Determinare quante rette sono tangenti ad entrambe le parabole y = +x 2 e y = x 2. Scrivere le coordinate dei punti di tangenza. Alcune soluzioni degli Esercizi 7 (2) a) y = 2x, b) y =, c) y =, d) y = 2x + e) y = 2e e x + e e ( 2e) (4) a = 4, b = 4

19 9 ESERCIZI 8 () Sia f(x) la funzione il cui grafico è riportato in Figura. lim f(x) =, lim x 3 f(x) = 0? x 3 + (2) Sia f(x) la funzione il cui grafico è riportato in Figura 2. lim f(x) = 0, lim x 4 f(x) = +? x 4 + (3) Sia f(x) la funzione il cui grafico è riportato in Figura 3. lim f(x) = 0, lim x 0 f(x) = +? x 0 + (4) Sia f(x) la funzione il cui grafico è riportato in Figura 4. lim f(x) = 0, lim x f(x) =? x + È vero che È vero che È vero che È vero che (5) Sia f(x) la funzione il cui grafico è riportato in Figura 5. lim f(x) = 0? x + (6) Sia f(x) la funzione il cui grafico è riportato in Figura 6. lim f(x) = +? x + È vero che È vero che (7) Il grafico riportato in Figura 7 è in un intorno di 0 il grafico di x log( + x), x log( + x 2 ), log ( + 3 x ), log( x 2 )? Motivare la risposta. (8) Il grafico riportato in Figura 8 è in un intorno di 0 il grafico di Motivare la risposta. sin x, cos x, sin x 2, tan 2 x? (9) Sia f(x) la funzione il cui grafico è riportato in Figura 9. È vero che f è continua, ma non derivabile in 0? (0) Sia f(x) la funzione il cui grafico è riportato in Figura 0. non derivabile in 0? È vero che f è continua, ma () Sia f(x) la funzione il cui grafico è riportato in Figura. f è continua in? f è derivabile in? (2) Sia f(x) la funzione il cui grafico è riportato in Figura 2. f è continua in 0? f è derivabile in 0?

20 20 (3) Una funzione f : [0, ] R ha il grafico riportato in Figura 3. Quale dei grafici riportati in Figura 4 può essere il grafico della sua derivata e perchè? (4) Una funzione f : [0, ] R ha il grafico riportato in Figura 5. Quale dei grafici riportati in Figura 6 può essere il grafico della sua derivata e perchè? (5) Dal grafico della funzione f(x) riportato in Figura 7 dedurre il grafico di f (x).

21 2 Figure relative agli ESERCIZI 8 7,5 5 2,5-2,5 0 2,5 5 7,5 0 2,5 5-2,5-5 Figura. Esercizio 0 7,5 5 2,5 0 2,5 5 7,5 0 2,5 5 7, Figura 2. Esercizio Figura 3. Esercizio 3

22 Figura 4. Esercizio Figura 5. Esercizio Figura 6. Esercizio 6

23 23 0,75 0,5 0, ,75-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75,25-0,25-0,5 Figura 7. Esercizio 7 0,75 0,5 0,25, ,75-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75,2-0,25-0,5-0,75 Figura 8. Esercizio 8,25 0,75 0,5 0,25, ,75-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75 Figura 9. Esercizio 9

24 24 0,75 0,5 0, ,75-0,5-0,25 0 0,25 0,5 0,75,25-0,25-0,5 Figura 0. Esercizio 0 0,5 - -0,5 0 0,5,5 2 2,5 3 3,5-0,5 - -,5 Figura. Esercizio 2,5 0,5 -,5 - -0,5 0 0,5,5 2 2,5 3-0,5 Figura 2. Esercizio 2

25 25 Figura 3. Esercizio 3 Figura 4. Esercizio 3

26 26 Figura 5. Esercizio 4 Figura 6. Esercizio 4 Figura 7. Esercizio 5

27 27 ESERCIZI 9 () Determinare eventuali estremi relativi ed assoluti delle seguenti funzioni: f (x) = e x (x 2 + x + ) f 2 (x) = x ( log 2 x log x 5 ) f 3 (x) = e x x 2 x + f 5 (x) = x( + x) f 7 (x) = ex + e x f 9 (x) = log 3x x 2 f 4 (x) = 3 log x + 2 x2 4x f 6 (x) = arctan x 2 arctan x f 8 (x) = cos x + x 2 f 0 (x) = ( x + ). log x (2) Determinare gli intervalli di concavità e convessità, nonchè gli eventuali punti di flesso, delle seguenti funzioni: f (x) = x log 3 x f 2 (x) = log x 2 x + 2 f 3 (x) = xe x+ x f 4 (x) = xe x + ( ) x f 5 (x) = arctan x f 6 (x) = x + 2 x + log x f 7 (x) = cos x x 2 f 8 (x) = log2 x 3 x f 9 (x) = arcsin(log x) f 0 (x) = e x + 2x. (3) Per ciascuna delle funzioni degli esercizi () e (2) determinare il numero di soluzioni dell equazione f(x) = k, k R. (4) Determinare il numero di soluzioni positive delle seguenti equazioni: a) log(3x) = x, b) e x x = 3, c) sin x = 3(x ). (4) a), b) 2, c) Alcune soluzioni degli Esercizi 9

28 28 ESERCIZI 0 () Dal grafico della funzione f(x) riportato in Figura 8 dedurre: a) l insieme di definizione di f; b) l insieme dei valori di f; c) i punti di discontinuità di f, stabilendo di quale tipo di discontinuità si tratta; d) gli asintoti verticali di f; e) le soluzioni dell equazione f(x) = ; f) le soluzioni della disequazione f(x) ; g) gli intervalli in cui f è strettamente decrescente; h) il minimo assoluto di f ed i punti di minimo assoluto. (2) Dal grafico della funzione f(x) riportato in Figura 9 dedurre: a) l insieme di definizione di f; b) l insieme dei valori di f; c) i punti di discontinuità di f, stabilendo di quale tipo di discontinuità si tratta; d) gli asintoti verticali ed orizzontali di f; e) le soluzioni dell equazione f(x) = 0; f) le soluzioni della disequazione f(x) 0; g) gli intervalli in cui f è strettamente crescente; h) il minimo assoluto di f ed i punti di minimo assoluto. (3) Dal grafico della funzione f(x) riportato in Figura 20 dedurre: a) l insieme di definizione di f; b) l insieme dei valori di f; c) se il punto P (6, ) appartiene al grafico di f; d) f( 8); d) gli asintoti verticali ed orizzontali di f; e) le soluzioni dell equazione f(x) = ; f) le soluzioni della disequazione f(x) > 6; g) gli intervalli in cui f è strettamente crescente; h) il massimo assoluto di f ed i punti di massimo assoluto. (4) Dal grafico della funzione f(x) riportato in Figura 2 dedurre: a) l insieme di definizione di f; b) l insieme dei valori di f; c) se il punto P (2, 3) appartiene al grafico di f; d) f( 7); d) gli asintoti verticali ed orizzontali di f; e) le soluzioni dell equazione f(x) = 0; f) le soluzioni della disequazione f(x) < 2; g) gli intervalli in cui f è strettamente decrescente; h) se esiste il massimo di f e gli eventuali punti di massimo; i) se esiste il minimo di f e gli eventuali punti di minimo.

29 29 Figure relative agli ESERCIZI 0 Figura 8. Esercizio Figura 9. Esercizio 2

30 30 Figura 20. Esercizio 3 Figura 2. Esercizio 4

31 3 ESERCIZI () Calcolare i seguenti limiti di funzioni: a) lim x 0 x 2 log( + x) e x + c) lim x 0 x 2 (e x ) x tan x e) lim x 3 log(4 x) x 2 2x 3 g) lim x 0 log( + x) x sin 2x x x sin x b) lim x 0 x log( + 3x 2 ) log x d) lim x 0 + log(sin x) f) lim(cos x) x 0 log(+x) x x 2 + 5x 6 h) lim x + cos ( π 2 x) x sin x e x2 + x 2 log( + x 2 ) + cos x i) lim x 0 x 2 j) lim x 0 x 2 k) lim x 0 log( + 3x) 2 sin x tan x x ( π ) l) lim(x ) tan x 2 x e x2 + 2 cos x m) lim x 0 sin x n) lim x + xe x e x o) lim x + x 2. (2) Determinare a, b R in modo che ( sin x lim x 0 x 3 + a ) x 2 + b = 0. (3) Determinare a, b R in modo che ( log( x) lim x 0 x 3 + a x 2 + b ) = x 3. (4) Determinare l ordine di infinitesimo della funzione f(x) = log(cos x) per x 0. (5) Determinare l ordine di infinitesimo della funzione f(x) = e x x 2 5x + 6 per x 2. ( ) (6) Determinare l ordine di infinitesimo della funzione f(x) = e /x cos per x +. x ( x ) (7) Determinare l ordine di infinito della funzione f(x) = x 2 + x + x per x +.

32 32 (8) Determinare l ordine di infinito della funzione f(x) = log( + x) x x 4 per x 0. () a) 2, b) Soluzioni degli Esercizi 8, c) 3, d), e) 4, f) e, g) 0 h) 4 π, i) 0, j) 2, k) 0, l) 2, m) 0, n) 0 π o) + (2) a =, b = 6 (3) a =, b = 2 (4) 2 (5) 2 (6) (7) (8) 2

33 33 ESERCIZI 2 () Calcolare i seguenti integrali indefiniti: cos x dx sin x cos(log x) dx x log x x + log 2 x dx sin(2x) cos xdx e x dx + e2x x + log 2 x dx e tan x cos 2 x dx (sin 3 x + cos 3 x)dx cos x sin 2 x 5 sin x + 6 dx (3e x + )e x e 2x 5e x + 6 dx cos x 3 sin x dx sin x cos x cos 2 x + cos x + dx x ( + x) 2 dx x log 2 xdx x(log 2 x 2 log x + ) dx ( + tan 2 x) log( + tan x)dx sin x cos 2 x + cos x + dx x + + x 2 dx x x dx e arcsin x dx xe x cos xdx x 2 e x cos xdx arctan x (x ) 2 dx x cos x sin 2 xdx 4 x 2 dx x sin 2x cos 2 (cos x) dx x 2 x + 2 dx 3 x dx.

34 34 (2) Calcolare la media integrale della funzione f(x) nell intervallo I, dove a) f(x) = 2 2x+3 I = [, ] b) f(x) = sin(2πx) I = [ 0, ] 2 c) f(x) = x + x I = [0, ] (3) Calcolare l area del rettangoloide di base I relativo alla funzione f(x), dove I = [, e] f(x) = x log x I = [0, ] I = [0, π] f(x) = x 2 e 3x f(x) = 2 sin 2 x I = [, 2] f(x) = 2 x x + [ π I = 4, π ] 3 f(x) = sin x cos x cos x I = [0, ] f(x) = 3 2x x 2 I = [, 2] f(x) = log(x + x). (4) Calcolare l area dei seguenti domini normali rispetto all asse x: D = { (x, y) R 2 : 0 x, log(4 + x 2 ) y 2 } D 2 = D 3 = D 4 = D 5 = {(x, y) R 2 : x 2, 2 y x 3 } + x 2 { (x, y) R 2 : { (x, y) R 2 : log(2 + 3x) x, y 2 x 2 } 2 x, x2 y x {(x, y) R 2 : 0 x π } 4, sin x y cos x. } (5) Si consideri la funzione G(x) = x 0 e t2 dt. (i) Per quali valori di x risulta G(x) 0? (ii) Calcolare G (x), G (x). (iii) Dimostrare che G(x) è una funzione crescente in R.

35 (iv) Studiare la convessità di G(x). (v) Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di G(x) nel punto di ascissa x 0 = 0. (6) Calcolare il seguente limite lim x 0 x 2 x 0 e t arctan tdt. (7) Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di K(x) = di ascissa x 0 = 0. (8) Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di K(x) = di ascissa x 0 =. (9) Sia f : R R una funzione continua tale che x 0 f(t)dt = xe 2x + Trovare l espressione esplicita di f(x). (0) Il grafico di H(x) = x 0 x 0 e t f(t)dt. sin(t 2 )dt in un intorno di 0 è: x 2 0 x log(+2t)dt nel punto log(+2t)dt nel punto 5 4-2,4 -,6-0,8 0 0,8,6 2, ,4 -,6-0,8 0 0,8,6 2, ,2 4 0,8 3 0, ,6 -,2-0,8-0,4 0 0,4 0,8,2,6 2-0,4-2 -,6 -,2-0,8-0,4 0 0,4 0,8,2,6-0,8 - -,2-2

36 36 Alcune soluzioni degli Esercizi 2 (2) a) 5 2 log 2 ; b) 2 π ; c) 4 ( ) (6) 2 (7) y = 0 (8) y = 2x log 3 2 log 3

37 37 ESERCIZI 3 () Date le matrici A = ( ) ( 2, B = 0 ), C = dire se è possibile calcolare i seguenti prodotti ed in caso di risposta affermativa calcolarli: AB, BA, AC, CA, BC, CB., (2) Date le matrici calcolare A = , B = A + B, A B, 2A + 3B, AB, BA., (3) Calcolare i determinanti delle seguenti matrici: A = , A 2 = A 4 = ( )., A 3 = , (4) Verificare che le seguenti matrici sono invertibili e calcolarne le inverse: ( ) A =, B = , C = (5) Calcolare i minori di ordine 2 della seguente matrice: A =

38 38 (6) Determinare il rango delle seguenti matrici: A = ( ), A 2 = A 4 = , A 3 = (7) Stabilire se i seguenti vettori sono linearmente indipendenti: (i) (, 0), (0, ), (, ); (ii) (2, 3, ), (0, 3, ), (2, 3, 0); (iii) (, 3), (2, 0); (iv) (,, ), (2, 3, ), (0, 0, ), (4, 2, 0) (8) Risolvere i seguenti sistemi lineari usando una prima volta il metodo di Gauss ed una seconda volta il metodo di Cramer, qualora possibile: { x + x 2 = x x 2 = 0; x +x 2 +x 3 = 2 x 4x 2 = 0 2x 3x 2 +x 3 = 5;. x 3x 2 +2x 3 = 0 x +x 3 = 2 x x 2 4x 3 = 4; x x 2 = x +x 2 x 3 = 2 2x 2x 2 +4x 3 = 6 x +x 2 +x 3 +x 4 = 4; { x 2x 2 +x 3 = 0 2x +x 2 +3x 3 = 6. 2x +x 2 4x 3 = 2 x 5x 2 = 3 x +6x 2 4x 3 = 5;, (9) Studiare i seguenti sistemi al variare del parametro reale λ: 2x λx 2 +2λx 3 = 2 x +2x 2 x 3 = 4 3x +λx 2 +λx 3 = 2; { x λx 2 +λx 3 = 2x 2λx 2 +x 3 = 0. x λx 2 = 2 2x +3x 2 = 0 3x 4x 2 = ;

39 (0) Una ditta di giocattoli ha ricevuto ordini da tre negozi a Napoli, Salerno e Caserta per 200 bambole ciascuno. Ci sono 200 bambole in una filiale a Genova e 400 in una a Savona. I costi di spedizione da Genova sono 8 euro per Napoli, 2 euro per Caserta e 5 euro per Salerno; i costi di spedizione da Savona sono 8 euro per Salerno, 0 euro per Caserta e 4 euro per Napoli. Come si possono evadere gli ordini minimizzando i costi di spedizione? () Determinare quale relazione deve intercorrere tra i numeri reali a, b, c affinché il seguente sistema ammetta soluzione 2x +x 2 = a 2x +x 3 = b 4x +x 2 +x 3 = c. (2) Scrivere un sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite, con un equazione dipendente da un parametro reale k, in modo che il sistema ammetta l unica soluzione (, 0, ) se k 0, ammetta invece infinite soluzioni dipendenti da un unica variabile libera se k = 0. 39