1 Funzioni reali di una variabile reale

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1 1 Funzioni reali di una variabile reale Qualche definizione e qualche esempio che risulteranno utili più avanti Durante tutto questo corso studieremo funzioni reali di una variabile reale, cioè Si ha f : R R o f : A R R o f : A R B R. Definizione 1.1 Sia A un sottoinsieme non vuoto di R. Una funzione f da A in R (o in B R) è una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento x di A uno ed un solo elemento y = f(x) in R. In simboli A y f : A R x y = f(x) x argomento di f immagine di x tramite f dominio o insieme di definizione di f Definizione 1. Diciamo immagine di A tramite f il sottoinsieme di R dei valori assunti da f(x) al variare di x in A: IR Im(f) = {y R : esiste x in A tale che f(x) = y}. In generale possiamo definire l immagine di un qualsiasi s.i. di A. Se X A l immagine di X tramite f è f(x) R (o B) definito da f(x) = {y B : esiste x X : f(x) = y}. Esempio 1.3 Sia f : [0, 1] R la funzione che ad x [0, 1] associa x. Allora l immagine di [0, 1] tramite f è f([0, 1]) = [0, 1]. Diamo anche la seguente Definizione 1.4 Se Y R (o B) l immagine inversa o controimmagine di Y mediante f indicata con f 1 (Y ) è il sottoinsieme di A definito da f 1 (Y ) = {x A : f(x) Y }. 1

2 Esempio 1.5 Sia f : R R la funzione che ad x associa x. Allora la controimmagine di [0, 1] tramite f è f 1 ([0, 1]) = [ 1, 1]. Infatti 0 x 1 sse 1 x 1. Inoltre vogliamo sottolineare che la maniera migliore di rappresentare una funzione è quella di ricorrere al suo grafico che non è altro che il s.i. del piano cartesiano formato dalle coppie (x, f(x)) al variare di x A: G(f) = {(x, y) R R : x A e y = f(x)}. Esempi 1.1 Abbiamo costruito un numero reale non razionale e abbiamo visto che tale numero gode della proprietà di avere il quadrato uguale a e si indica x =. Osserviamo che di numeri reali il cui quadrato vale ne esiste un altro: x, cioè. Tra i due numeri reali il cui quadrato vale due scegliamo il positivo. Ora, fissato un qualsiasi numero reale y, esiste un unico numero reale positivo x tale che x = y. È ovvio che se y < 0 tale numero x non esiste dato che x 0 per ogni x reale. Limitiamoci pertanto agli y 0. Si dimostra che per ogni y 0 esiste un unico numero reale x 0 tale che x = y. Definiamo y l unico numero reale positivo il cui quadrato vale y. Abbiamo costruito così una funzione poichè ad ogni numero reale y 0 associa l unico numero reale x 0 tale che x = y: : R + R + y y Quanto vale x? Non può valere ±x avendo appena detto che una funzione (come lo è la radice quadrata) associa uno ed un solo numero reale al proprio argomento. Non può valere nemmeno x dal momento che la funzione radice quadrata ha come immagine R + (falso per x = 1!!). Facendo altri tentativi si arriva a definire la funzione valore assoluto o modulo,, da R in R definita da: { x se x 0, x = x se x < 0. come si vede il dominio di è tutto R, mentre l immagine è R +. Le successioni sono esempi di funzioni reali di una variabile reale definite su N R. Esempi: N n a n = 1 n R, N n b n = n n + 1 R

3 Definizione 1.6 Una funzione f : A B si dice suriettiva, quando Im(f) = B. Si dice iniettiva, se porta elementi distinti in elementi distinti, cioè se f(x 1 ) = f(x ) x 1 = x. Si dice biunivoca se è sia iniettiva che suriettiva. Esempi f 1 : IR IR, f 1 (x) = x non è nè iniettiva nè suriettiva.. f : IR + IR, f (x) = x è iniettiva ma non è suriettiva. 3. f 3 : IR IR +, f 3 (x) = x non è ma è suriettiva. 4. f 4 : IR + IR +, f 4 (x) = x è iniettiva e suriettiva, dunque biunivoca. Definizione 1.7 Una funzione f : A R si dice pari se risulta si dice dispari se risulta Esempi 1.3 Esempi di funzioni pari: Esempi di funzioni dispari: f( x) = f(x) x A; f( x) = f(x) x A. f 1 (x) = x e f (x) = ax + a x. f 1 (x) = x 3, e f (x) = ax + 1 a x 1. Definizione 1.8 Sia f : A R una funzione. Si dice che f è crescente in A se per ogni x 1 e x di A x 1 x f(x 1 ) f(x ), (al crescere dell argomento cresce anche la funzione). Si dice che f è strettamente crescente in A se per ogni x 1 e x di A x 1 < x f(x 1 ) < f(x ). Si dice che f è decrescente in A se per ogni x 1 e x di A x 1 x f(x 1 ) f(x ). Si dice che f è strettamente decrescente in A se per ogni x 1 e x di A x 1 < x f(x 1 ) > f(x ), 3

4 Esempi 1.4 a) f 1 (x) = x 3 è strettamente crescente (in R suo insieme di definizione) (vedremo meglio dopo più in generale!!) b) f (x) = 1 è strettamente decrescente x R + = R + \ {0} o R = R \ {0}, mentre non lo è nel suo insieme di definizione R = R \ {0}. { x per x, c) f 3 (x) = è crescente ma non strettamente crescente. 4 per x <. d) f 4 (x) = k =cost è sia crescente che decrescente. e) f 5 (x) = x non è nè crescente nè decrescente in R, suo insieme di definizione. Siano date due funzioni f : A B e g : B C, tali che l insieme B immagine della prima coincida con il (o sia contenuta nel) dominio della seconda. Allora si può considerare la funzione composta h : A C, definita da h(x) = g(f(x)) per x A. Spesso si usa la notazione h = g h. Esempi 1.5 a) Siano date due funzioni e allora e Osserviamo che f g g f. b) Siano date due funzioni f : R R x x + 1 g : R R y y f g : R R y y + 1 g f : R R x (x + 1) f : R R x 1 x 4

5 e g : R + R y y Poichè f(r) R +, dobbiamo considerare solo gli elementi di R che vanno in R + (la cui immagine è in R + ), cioè gli x R tali che 1 x 0, dunque si ha che g f : [ 1, 1] R x 1 x. Se f è una funzione biunivoca da A a B, essa definisce una funzione g : B A ottenuta Se risulta se y = f(x), ponendo: x = g(y). g f = I A e f g = I B, la funzione g si dice inversa della f, e si indica con f 1, in tal caso si dice anche che f è invertibile. Definizione 1.9 Data una funzione f : A B, si chiama inversa della f, la funzione f 1 : B A tale che: f 1 [f(x)] = x, x A; f[f 1 (y)] = y, y B. Sussiste il seguente importante Teorema 1.10 Se f : A B è strettamente monotona e suriettiva allora essa è invertibile, e la sua inversa è anche strettamente monotona. Osservazione 1.11 Notiamo che inverso non vuol dire reciproco!!! La funzione inversa di f(x) = x è f 1 (y) = y non è f 1 = 1 y!!! Esempi 1.6 a) La funzione f(x) = 1 x è invertibile in R + e risulta f 1 (y) = 1 y. b) La funzione f : R + R + con f(x) = x è invertibile; si ha f 1 : R + R +, con f 1 (y) = y. 5

6 c) Sia f : R R definita da f(x) = x + 1. f è strettamente crescente e suriettiva allora per il teorema precedente esiste l inversa ed è anch essa strettamente crescente. Si ha: y = x + 1 x = y 1. Dunque f 1 (y) = y 1. Verifichiamo e d) Sia la funzione: f 1 f : x x + 1 f f 1 : y y 1 f(x) = (x + 1) 1 = x ( ) y = y. { x + 1, per x R \ Q, x, per x Q. Questa funzione è ovviamente invertibile, ma non monotona. Infatti: x Q : x y = x, e y Q, x R\Q : x y = x+1, e y R\Q. Viceversa y Q : x x = y, e x Q, y R\Q : y x = y 1, e x R\Q. Questo è un controesempio al teorema precedente. Ora passiamo a considerare le funzione potenza con esponente n N: f(x) = x n, che è definita, per ogni x R, moltiplicando il numero x per se stesso n volte. La funzione f è strettamente crescente per x 0, cioè 0 x 1 < x x n 1 < x n. (1.1) Esercizio 1.1 Dimostrare la precedente affermazione. Suggerimento: usare il metodo di induzione La condizione di stretta monotonia (e la surriettività) implica, usando il teorema enunciato in precedenza che la funzione è invertibile. Dunque è definita la funzione inversa di f, detta radice n-sima e si indica con f 1 (x) = n x = x 1 n, per x 0. 6

7 Componendo le funzioni appena definite si può ottenere la funzione potenza con esponente razionale e così grazie all assioma di completezza (che riguarda numeri reali, capirete meglio più avanti!!) è possibile estendere la definizione di a b con a e b nei reali. Dall espressione a b derivano due diversi tipi di funzioni a seconda se facciamo variare a o b in R: funzione potenza f(x) = x b con b R fissato a la funzione esponenziale f(x) = a x con a R + fissato. Dalle proprietà di a b si deducono proprietà sulle funzioni sopra definite: 1. x b, per x > 0, è positiva, è strettamente crescente se b > 0 e strettamente decrescente se b < 0. a x, con a numero reale positivo, è una funzione positiva, è strettamente crescente se a > 1 e strettamente decrescente se a < 1. Se a = 1 la funzione è costante. Grazie alle proprietà di monotonia della funzione esponenziale per a 1, a x è invertibile. La funzione inversa è definita sui numeri reali positivi (dato che l immagine della funzione f(x) = a x è costituito dai numeri reali positivi); si chiama funzione logaritmo, si scrive f(x) = log a x ed è definita da: y = log a x a y = x. Se la base è maggiore di 1 il logaritmo è una funzione strettamente crescente, mentre è strettamente decrescente se la base è minore di 1. 7