Relazione e funzione inversa

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1 Relazione e funzione inversa Invertiamo una relazione Una relazione tra due insiemi e, come abbiamo detto, è direzionata, opera una specie di passaggio da a : agisce associando a ogni elemento dell insieme u o più elementi dell insieme, e n viceversa. Possiamo infatti individuarla in un insieme di coppie ordinate (a; b), aventi primo elemento a e secondo elemento b. L espressione : e la rappresentazione sagittale, in cui le frecce so dotate di un verso, sottolinea questo carattere (fig. ). a b Figura La coppia (a; b), : Tra le relazioni che opera in senso opposto, da verso, andiamo alla ricerca di quella che ripercorre il passaggio della da a tornando indietro dall insieme all insieme. Pensiamo cioè a una nuova relazione, distinta dalla, che agisce nella direzione opposta, da verso. Essa deve consentire, dopo essere partiti con la da a per arrivare a b, di partire da b e ritornare proprio in a. Chiamiamo questa nuova relazione inversa della, e la indichiamo con il simbolo : in questo modo, pur essendo distinta dalla di partenza, la relazione è definita attraverso la (fig. ). Vale che :. a b La coppia (a; b), : La coppia (b; a), : Figura La distinzione tra la e la è sottolineata dal fatto che per esprimere occorre cambiare linguaggio. Lo vediamo attraverso alcuni esempi. 00 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, Prestipi, Saporiti - Matematica Controluce

2 ESEMPI. Se = {Roma, Londra, Parigi, Madrid, erli}, = {Italia, Germania, Spagna, Francia, Gran retagna} e la relazione : è a è la capitale di b, per definire la relazione : inversa di dobbiamo dire b ha per capitale a.. Dati i due insiemi = {n n 0}, = {n n 0}, se la relazione : è espressa da a è divisore di b, la relazione : inversa di si esprime dicendo b è multiplo di a. Quindi, per esempio, la coppia (; ) perché è divisore di, mentre la coppia (; ) perché è multiplo di. Diamo ora la definizione: Definizione Data una relazione : nella quale b è immagine di a, si dice relazione inversa della la relazione da ad, :, che associa a ogni elemento b la sua controimmagine a nella relazione. Nel passaggio da una relazione alla sua inversa si opera u scambio tra dominio e codominio: il codominio di diventa il dominio della e viceversa, il dominio della diventa il codominio della. Una relazione e la sua inversa posso essere rappresentate con tabelle a doppia entrata. ESEMPI. Sia = = e sia : la relazione a è il doppio di,,,,,,,,,,, b. La relazione :, definita da a è il doppio di b, è rappresentata nella tabella di figura. La relazione inversa di, :, è definita da b è la metà di a, e la tabella che la rappresenta è riportata in figura. - Figura Figura 00 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, Prestipi, Saporiti - Matematica Controluce

3 . Consideriamo = e la relazione : nell insieme = {,,, 0}, che associa a ogni a il suo successivo b : (a; b) R se e solo se a è il precedente di b, cioè a = b. Facciamone la rappresentazione in tabella a doppia entrata: la tabella che otteniamo è quadrata Figura Per invertire la, dobbiamo esprimere la relazione :, dicendo che alla relazione appartengo le coppie (b; a) se e solo se b è il successivo di a. Nella tabella n è visibile lo scambio tra dominio e codominio, però vediamo una diversa relazione Figura 00 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, Prestipi, Saporiti - Matematica Controluce

4 Funzione inversa Data una relazione : tra due insiemi e, si può costruire una particolare relazione :, inversa della, che torna indietro da ad associando a ogni elemento di le sue controimmagini nella. Considerando le funzioni, che so relazioni con caratteristiche precise (univoche), ci possiamo porre il problema se sia possibile invertire una funzione f, in modo tale che la relazione inversa sia anch essa una funzione, che chiameremo funzione inversa della f, e che indicheremo con f. Prendiamo in considerazione tre grafici di funzioni e analizziamone la funzione inversa. X Figura 7.a f b X Figura 7.b Vediamo che, invertendo la relazione f b, ci so elementi di a cui so associate due controimmagini in : la relazione inversa perciò n è una funzione, e diremo che f n è invertibile. f b f b X f c X f c f c Figura 8.a Figura 8.b La funzione f c è biiettiva, la sua relazione inversa è a sua volta una funzione: in questo caso diciamo che f c è invertibile, e la f c è la funzione inversa di f c. X f a f a f a Figura.a Figura.b Nella relazione inversa f a osserviamo che in c è un elemento che n corrisponde ad alcun elemento del dominio X, perché n appartiene al codominio. llora, è possibile associare la controimmagine, unica, nella f a solo agli elementi del codominio. Diremo che f a n è invertibile su tutto l insieme : ma se operiamo una restrizione al sottoinsieme di, in possiamo considerare f a come funzione inversa di f a. 00 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, Prestipi, Saporiti - Matematica Controluce

5 Sintetizziamo le considerazioni fatte negli esempi, dando le definizioni di funzione inversa e di invertibilità per una funzione. Definizione Data una funzione f di dominio X e codominio, f : X, la funzione inversa di f, indicata con f, se esiste, è la funzione che associa a ogni elemento y del codominio la sua controimmagine x X per la f. Vale che f : X, e che x = f (y) se e solo se è y = f(x). Definizione La funzione f è detta invertibile se esiste la sua funzione inversa. Dalle considerazioni fatte possiamo concludere che una funzione è invertibile se e solo se è biiettiva. ESEMPI. La funzione f : che associa a ogni intero x il suo successivo y, ed ha equazione y = x +, è biiettiva, perciò è invertibile. La sua funzione inversa f associa a ogni intero y il suo precedente x ed ha equazione x = y.. La funzione f: + che associa a ogni intero x il suo quadrato y, ed ha equazione y = x, n è iniettiva e neppure suriettiva, perciò n è invertibile. Infatti, dato un intero y +, se esso n è un quadrato perfetto, n è possibile associargli alcuna controimmagine; se invece è un quadrato perfetto, esisto due interi che ne so controimmagini.. Nella figura 0 è rappresentata una funzione f : X. Ricosciamo che è invertibile perché è iniettiva e suriettiva. La sua inversa f : X è rappresentata nella figura. 0 X 0 0 X 0 Figura 0 Figura. Se una funzione è data attraverso lo schema di calcolo, come nel seguente caso: x y = f(x) Figura è intuitivo ottenere lo schema di calcolo della sua inversa: basta percorrerlo al contrario, invertendo le operazioni che vi compaio: x = f - (y) + y Passando alle equazioni, da y = x otteniamo x = y +. Figura 00 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, Prestipi, Saporiti - Matematica Controluce

6 ESERCIZI Relazione inversa In figura è rappresentata la relazione : : rosso giallo verde a. Esprimere a parole la. b. Elencare gli elementi di. c. Esprimere a parole la relazione inversa :. d. Elencare gli elementi di. [ : al colore a corrisponde la parola b ; : alla parola b corrisponde il colore a ] Completare, leggendo la tabella: a. = {...}, = {...}; b. definire a parole la relazione : ; c. ={...}; d. costruire la tabella che rappresenta la funzione inversa : ; e. definire a parole la relazione. LT! TTENZIONE! VI! So dati gli insiemi: = {a a 0} = {b b 0} Rappresentare con un grafico sagittale la relazione : : a è la metà del successivo di b. a. Determinare il dominio e il codominio della relazione. b. Esprimere a parole la relazione inversa. c. Costruire il grafico sagittale della relazione inversa. d.il dominio di coincide con il codominio di? [ : b è il doppio di a me ] Nell insieme dei numeri pari P è definita la relazione : P P che associa a ogni a P il suo successivo pari b. Individuare tra le coppie ( ; ), ( ; ), (; ), (; ), ( ; 0), (8; ), (0; ), ( 8; ): a. quali coppie so elementi di ; b. quali coppie so elementi di ; c. quali coppie n appartengo a. So dati gli insiemi = {,, } e = {, 0, } e la relazione : a è maggiore di b. a. Indicare le coppie che definisco la relazione. b. Esprimere a parole la relazione inversa :. c. Costruire la tabella di e di. [ : a è la terza parte di b ; : b è triplo di a ] So dati = {a 0 < a < 0} e la relazione = co definita: ={(a; b) a, b, a = b } a. Rappresentare la relazione con una tabella a doppia entrata. b. Individuare il dominio e il codominio di. c. Determinare la relazione inversa. d. Rappresentare la relazione inversa con una tabella a doppia entrata. 7 So dati gli insiemi: X = {x < x < } = {y < y < } e la relazione : X : x è discorde con y. a. Determinare quante e quali coppie definisco la. b. Esprimere a parole la relazione inversa. c. Determinare gli elementi della relazione inversa. d. Rappresentare la e la, ciascuna su una tabella a doppia entrata. 00 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, Prestipi, Saporiti - Matematica Controluce

7 8 So dati X ={x 0 < x 0} e la relazione = X X co definita: ={(x; y) x, y X, y = 0 } x a. Elencare gli elementi della relazione. b. Determinare il dominio di. c. Determinare gli elementi della relazione inversa. d. Rappresentare la e la, ciascuna su un reticolo cartesia. f: Invertibilità e funzione inversa Date le funzioni rappresentate nei seguenti grafici sagittali, completare le tabelle. Nel caso di funzioni invertibili, rappresentare sul grafico la funzione inversa. f Date le funzioni rappresentate nelle seguenti tabelle, completare ciascuna tabella. Nel caso di funzioni invertibili, rappresentare in tabella a doppia entrata la funzione inversa. 8 X f: 0 X 7 8 f: 7 00 RCS Libri S.p.., ETS - ndreini, Manara, Prestipi, Saporiti - Matematica Controluce