PROBABILITA. ESERCIZIO: In un urna ci sono 2 biglie rosse, 2 biglie bianche ed 1 biglia gialla.

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1 PROBABILITA ESERCIZIO: In un urna ci sono 2 biglie rosse, 2 biglie bianche ed 1 biglia gialla. a) Si eseguono due estrazioni con rimessa, calcolare la probabilità che le biglie estratte abbiano lo stesso colore. b) Calcolare la probabilità di ottenere due biglie dello stesso colore se si estrae senza rimessa.

2 PROBABILITA CON RIMESSA: Indichiamo con R l evento biglia rossa, con B l evento biglia bianca e con G l evento biglia gialla. L evento di cui è richiesto il calcolo della probabilità è RR oppure BB oppure GG Ad ogni estrazione P( R) = 2/5, P(B) = 2/5, P(G) = 1/5 L evento RR ha dunque probabilità (2/5) 2 (essendo eseguite le estrazioni con rimessa, gli eventi sono indipendenti). Analogamente P(BB) = (2/5) 2 ( ed infine P(GG) = (1/5) 2, l evento richiesto ha probabilità p= (2/5) 2 + (2/5) 2 + (1/5) 2 =9/25

3 PROBABILITA SENZA RIMESSA: Indicando sempre con R l evento biglia rossa, con B l evento biglia bianca e con G l evento biglia gialla, si ha P(RR) = (2/5) (1/4) =P(BB), mentre P(GG)=0 Dunque la probabilità dell evento richiesto, se le estrazioni avvengono senza rimessa, è 2 (2/5) (1/4) = 1/5

4 PROBABILITA ESERCIZIO: In una popolazione molto ampia, una certa caratteristica è presente con probabilità Si scelgono a caso 10 individui, calcolare la probabilità che: a) esattamente due presentino la caratteristica; b) almeno due presentino la caratteristica; c) al massimo due presentino la caratteristica.

5 PROBABILITA a) esattamente due presentino la caratteristica; 10 2 (0.25)2 (0.75) 8 b) almeno due presentino la caratteristica; 1-(0.75) (0.25) (0.75) 9 a) al massimo due presentino la caratteristica (0.75) (0.25))(0.75) (0.25)2 (0.75) 8

6 PROBABILITA ESERCIZIO: Una compagnia aerea rileva che il 4% delle persone che prenotano un posto su un certo volo non si presentano alla partenza. La compagnia decide quindi di vendere a 75 persone la prenotazione di un posto su un aereo che ha esattamente 73 posti. Qual è la probabilità che ci sia un posto disponibile per ogni persona che si presenta alla partenza?

7 PROBABILITA Conviene calcolare la probabilità q che la compagnia non possa soddisfare a tutte le richieste e poi passare alla probabilità p=1-q dell evento contrario. Dobbiamo supporre che ogni persona si presenti o meno alla partenza indipendentemente l una dall altra. La probabilità di non presentarsi è, per ogni persona, 0.04, quindi la probabilità di presentarsi è q = (0.96) (0.04)(0.96) 74, quindi la probabilità p richiesta è p = 1 (0.96) 75 75(0.04)(0.96) 74

8 PROBABILITA ESERCIZIO: Per un esame viene assegnato un test consistente in 10 domande, per ogni domanda sono formulate tre possibili risposte; l esame viene superato se le risposte esatte sono almeno 6. Calcola la probabilità che uno studente, che risponde a caso a ciascuna domanda, superi l esame.

9 PROBABILITA ESERCIZIO: Un tiratore ha probabilità 1/3 di colpire un bersaglio, ad ogni tentativo indipendentemente dagli altri. Se dispone al massimo di 4 tentativi, qual è la probabilità che ha di colpire il bersaglio?

10 Abbiamo calcolato che la probabilità che un padre di due figli Rh + sia del genotipo Aa, sapendo che la madre è aa, è, espressa in funzione di p (frequenza dell allele A nella popolazione data), f(p) = (1-p)/(p+1), dove f: (0, 1) R Rispondi alle seguenti domande: a) Calcola f(1/2) b) Esiste un p tale che f(p) = 1/2? c) La funzione è surgettiva? f((0,1))=? d) La funzione è iniettiva?

11 a) f(1/2) =1/3 b) Si deve verificare se esiste p tale che (1-p)/(p+1) = 1/2, si ricava p=1/3 c) Si osserva che, essendo 0<p<1, (1-p)/(p+1) è sempre positivo, quindi non si può avere la surgettività su R. Calcoliamo l insieme immagine, vale a dire f((0,1)) = {b R p (0,1) f(p)=b} (1-p)/(1+p) = b, da cui p= (1-b)/(1+b) esiste se e solo se 0<(1-b)/(1+b)<1, quindi se e solo se 0<b<1, quindi f((0,1)) = (0,1)

12 d) Per verificare se la funzione è iniettiva, possiamo verificare se esiste al più una soluzione dell equazione (1-p)/(1+p)=b, si ha 1-p=b(1+p), da cui 1-b= p (b+1), per b=-1 non si ha nessuna soluzione, per b -1 si ha p=(1-b)/(1+b), si osserva che per 0<b<1 si ha una sola soluzione, per b<0 oppure b>1 non si ha soluzione per p (0,1), dunque la funzione risulta iniettiva.

13 Sia f: R/{1} R, tale che f(x) = (x+1)/(x-1) Rispondi alle seguenti domande: a) Calcola f(0) b) Esiste un x tale che f(x) = 0? c) La funzione è surgettiva? d) La funzione è iniettiva? e) La funzione è invertibile? Se no, potresti renderla invertibile?

14 a) f(0) =-1 b) Si deve verificare se esiste x tale che (x+1)/(x-1) = 0 Affinchè il rapporto tra due numeri sia uguale a 0, deve essere uguale a 0 il numeratore, quindi x+1 =0, da cui x=-1, per cui si ha f(-1)=0 c) Per stabilire se f è surgettiva su R, possiamo controllare se l equazione (x+1)/(x-1) = b ammette almeno una soluzione per ogni b reale Moltiplichiamo ambo i membri dell equazione per x-1

15 Si ottiene x+1 =bx -b, da cui bx x=1+b, quindi x(b-1) = 1+b, questa equazione non ha soluzione per b=1 (perché?), f non è dunque surgettiva su R d) Per controllare se f è iniettiva, torniamo all equazione precedente. Se f è iniettiva l equazione deve aver al massimo una soluzione per ogni b reale; questo è vero in quanto per b=1 non ci sono soluzioni, per ogni b 1 c è sempre una sola soluzione x= (1+b)/(b-1), dunque f è iniettiva.

16 Per rendere f invertibile possiamo modificare il codominio, sostituendo R con R/{1}, f: R/{1} R/{1} in questo caso f risulta oltre che iniettiva anche surgettiva e quindi è invertibile. La sua inversa è f -1 : R/{1} R/{1} dove f -1 (b) =(1+b)/(b-1)

17 Sia f: R R, tale che f(x) = x 2 2x 3 Rispondi alle seguenti domande: a) Calcola f(0) b) Esiste un x tale che f(x) = 0? c) La funzione è iniettiva? d) La funzione è surgettiva? e) La funzione è invertibile? Se no, potresti renderla invertibile?

18 a) Calcola f(0) f(0) = -3 b) Esiste un x tale che f(x) = 0? x 2 2x 3 = 0 per x=-1 oppure x=3 c) La funzione è iniettiva? Dalla risposta data al punto b), sappiamo che f non è iniettiva

19 d) La funzione è surgettiva? Affinchè f sia surgettiva su R, l equazione x 2 2x 3 = b dovrebbe avere almeno una soluzione per ogni b reale; l equazione di secondo grado per avere soluzioni reali deve avere Δ = b+4 0, quindi Imf =[-4, + ), dunque f non è surgettiva su tutto R. e) La funzione è invertibile? Se no, potresti renderla invertibile? La funzione non è invertibile.

20 Vediamo se esiste un sottoinsieme del dominio per cui f potrebbe essere iniettiva: l equazione x 2 2x 3 = b, dovrebbe avere al massimo una sola soluzione. Per b= -4, si ha l unica soluzione x=1, per cui prendendo come dominio x 1 (oppure x 1) possiamo ottenere una restrizione di f che risulta iniettiva. Poichè Imf =[-4, + ), possiamo rendere f invertibile definendola nel modo seguente: f: =[1, + ) [-4, + ), con f(x) =x 2 2x 3