Testi e soluzioni degli esercizi degli esami di Probabilitá del 25 Giugno 2004

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Carlo Meli
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1 Testi e soluzioni degli esercizi degli esami di Probabilitá del 5 Giugno 4 Esercizio n1 Un tordo si posa su un filo telefonico Un cacciatore puó colpire il tordo con probabilitá 5, mentre la probabilitá di spezzare il filo é di, inoltre la probabilitá di colpire entrambe é di 1 Un gruppo di cacciatori tirano sul tordo (ciascuno indipendentemente dagli altri) a) Calcolare la probabilitá di poter ancora telefonare b) Calcolare la probabilitá di vedere il tordo fuggire indenne c) Calcolare la probabilitá di avere il filo indenne e il tordo in buona salute d) Giustificare l indipendenza degli eventi il filo é tagliato e il tordo é colpito Soluzione Indichiamo con A i l evento il cacciatore i colpisce il filo e con B i il cacciatore i colpisce il tordo Abbiamo allora gli eventi A 1, B 1, A, B, A, B P (A 1 ) = P (A ) = P (A ) = 1 5, P (B 1) = P (B ) = B(B ) = 1 P (A 1 B 1 ) = P (A B ) = P (A B ) = 1 1 Mediante la relazione otteniamo P (A B) = P (A) + P (B) P (A B), P (A 1 B 1 ) = P (A B ) = P (A B ) = 5 Ma P (A 1 B 1 ) = P (A 1 )P (B 1 ) perché eventi indipendenti Per la stessa ragione, A e B, A e B sono indipendenti Tre eventi corrispondenti ai vari cacciatori sono mutualmente indipendenti poiché il tiro di un cacciatore non influenza il tiro degli altri Per esempio gli eventi A 1, B, B sono mutuamente indipendenti Indichiamo con F l evento il filo é spezzato e con G il tordo é stato colpito a) F é l evento il filo non é spezzato Allora F = Ā1 Ā Ā Gli eventi sono mutuamente indipendenti, dunque ( 4 ) 64 P (F ) = P (A 1 )P (A )P (A ) = = 5 15 = 51 b) G é l evento il tordo vola via Allora abbiamo G = B 1 B B Gli eventi sono mutuamente indipendenti, allora ( 1 ) P (G) = P (B 1 )P (B )P (B ) = = 15 c) Mostrare che F e G sono indipendenti vuol dire mostrare che F e G sono indipendenti Calcoliamo P (F G) Ora F G é l evento A 1 B 1 A B A B Che é l intersezione di eventi mutuamente indipendenti aventi la stessa probabilitá uguale 8 5 Deduciamo allora che P (F G) = 15 = P (F )P (G) F e G sono indipendenti e ne consegue che F e G sono indipendenti 1

2 Esercizio n Si lanciano tre dadi non truccati Calcolare da probabilitá degli eventi A Avere tre numeri della stessa paritá B Avere uno dei numeri strettamente maggiore alla somma degli altri due C Sia C l evento: avere un 6 Calcolare la probabilitá dell evento C sapendo che l evento B é realizzato Soluzione: L evento certo é Ω = [1, 6] dotato delle probabilitá uniforme, ció vuol dire supporre l equiprobabilitá e l indipendenza dei risultati dei dadi, supposti indistinguibili P (A) = ( ) () 1 + = = 1 4 infatti A é l unione di due eventi incompatibili: i tre numeri sono pari o sono dispari Si ha poi P (B) = P (B 1 ) + P (B ) + P (B ), dove B i é l evento: il numero del i mo dado é strettamente superiore alla somma degli altri due: essendo questi eventi, incompatibili (se ad esempio x > y + z si avrá in particolare x > y e x > z per cui non si puó avere y > x + y o z > x + y con x, y, z [1, 6]) ed equiprobabili, i tre dadi hanno lo stesso ruolo Per cui P (B) = P (B 1 )dove P (B 1 ) = 1 6 Card {(x, y, z) [1, 6] x > y + z} Metodo n1 Per x = 1 o x = non esiste alcuna coppia (y, z) [1, 6] tale che x > y + z Il caso x = é impossibile se non quando y = z = 1 Per x = 4 si hanno tre soluzioni (y, z) {(1, 1), (1, ), (, 1)} Per x = 5 sei soluzioni (y, z) {(1, 1), (1, ), (1, ), (, 1), (, ), (, 1)} Per x = 6 si considerano i precedenti e si aggiungono le coppie (1, 4), (, ), (, ), (4, 1), dieci in totale Allora P (B 1 ) = 1 [ ] = 6 16 = 5 54, per cui P (B) = = 5 18 Metodo n Piuttosto che un calcolo manuale si puó procedere cosi : Si denoti con X 1, X, X le variabili aleatorie uniformi su [1, 6] associati ai tre dadi, con P (B) = P (B 1 ) e B 1 = [X 1 > X + X ] = ([X 1 = h] [X + X = n]) (k,n)con n<h unione é di eventi disgiunti Osservazione Si ha sempre n, dunque anche k

3 P [X 1 > X + X ] = = ( 1 6 h= ( P [X 1 = h] P [X + X = n]) = h= n= n= r+s=n P [X = r] P [X = s]) Per n compreso tra e 5 il numero di coppie (r, s) tali che r + s = n é uguale a n 1 1 P [X 1 > X + X ] = 6 ( n 1 6 ) = ( 1 (h )(h 1) ) = 6 = ( 1 6 ) 5 h= h= n= h(h 1) = ( 1 6 ) ( da cui P (B 1 ) = (dove si é utilizzata l uguaglianza n h= 5 Ch) = ( 1 6 ) C6 h= h=p Cp h = Cp+1 n+1 P (B) = 5 18 ( 1 6 ) = 5 54 ) Per cui si conclude che Si osservi che se l evento B é realizzato allora uno dei dadi dovrá segnare la faccia 6, questo non puó che essere quello il cui risultato é maggiore alla somma degli altri due, da cui P (C B) = P (X 1 = 6 B), poiché C = [X 1 = 6] [X = 6] [X = 6] e [X i = 6] B é disgiunto da [X j = 6] B per i j E si ha e P [X = 1 = 6 B] = P [X 1 = 6 (X + X 5)] = = P [X = r] P [X = s] = n= r,s = n=,r+s=n P [X 1 = C B] = P ([X 1 = 6] A ) P [A ] P (C B) = 1 (n 1) = 5 6 = = 1 6 Esercizio In un certo college il 4% dei ragazzi e l 1% delle ragazze sono piú alti di 18m Il 6% degli studenti sono ragazze Ora se uno studente é scelto a caso e si trova che la sua statura é maggiore di 18m qualé la probabilitá che lo studente sia una ragazza? Soluzione Sia A l evento lo studente é piú alto di 18m Allora P (W A) é la probabilitá che uno studente é una donna dato che lo studente selezionato é piú alto di 18m Dal teorema di Bayes P (W A) = P (W )P (A W ) P (W )P (A W ) + P (M)P (A M) = (6)(1) (6)(1) + (4)(4) = 11

4 4 se x <, Esercizio 4 Sia f, la funzione definita da f(x) = a x se a x a se x > a dove a é una costante reale strettamente positiva a) Come occorre scegliere la costante a perché f sia una densitá di probabilitá? b) Sia X una variabile aleatoria di densitá f Determinare la funzione di ripartizione di X c) Calcolare la speranza matematica E(X) e la varianza D (X) Soluzione f é continua su R (ivi compresi i punti ±a) E a valori positivi e sará una densitá di probabilitá se l integrale generalizzato f(t)dt converge e vale 1 Questo integrale si riduce a (a t )dt = f sará una densitá se a = 4 (a t )dt = 4 a (a t )dt b) La funzione di ripartizione F X di X definita da da cui abbiamo vari casi f(t)dt 1caso x, perché f é nullo sull intervallo ], x] caso x a caso x > a (a t )dt = 1 + ( ) x x 4 f(t)dt = f(t)dt = 1 c) (i) E(X) se l integrale generalizzato tf(t)dt converge Questo integrale si riduce a t(a t )dt = la funzione integranda é dispari Se ne deduce che E(X) esiste e che E(X) = per cui la va é centrata (ii) Analogamente D(X) esiste se X ammette un momento di ordine, E(X ), cioé se l integrale generalizzato t f(t)dt

5 5 converge Questo integrale si riduce a Si ottiene t (a t )dt = E(X ) = [ a t t5 5 E(X ) = 1 5 (t a t 4 )dt ] a = 4 15 a5 = 4 15 ( 4) D (X) = E(X ) [E(X)] = 1 5 (( 4)1 ) 5 ( 4)

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