Esercizi svolti su serie di Fourier
|
|
- Giorgina Turco
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Esercizi svolti su serie di Fourier Esercizio. (Onda quadra. Determinare i coefficienti di Fourier della funzione x [, f(x = x [, prolungata a una funzione -periodica su R (d ora in poi denoteremo con lo stesso simbolo f l estensione periodica a tutto R di una funzione f definita su un intervallo limitato. Si ha a = Invece si ha da cui b n = f(x dx = e a n = f(x sin(nx dx = Quindi la serie di Fourier associata a f è b n = + f(x cos(nx dx = cos(nx dx = per n. ( cos(n sin(nx dx = + = n n n n= se n è dispari se n è pari. sin((n + x. n + ( n n Esercizio. (Onda quadra II.. Sia A >. Determinare i coefficienti di Fourier della funzione A x [, g(x = x [, prolungata per periodicità (di periodo a R.. Sia A >. Sviluppare in serie di Fourier h(x = prolungata per periodicità (di periodo a R. 3. Sia A >. Sviluppare in serie di Fourier j(x = prolungata per periodicità (di periodo a R. x [, A x [, A x [, A x [,
2 Parte. Notiamo che che g(x = Af(x, dove f è l onda quadra dell Esercizio. Per la linearità dei coefficienti di Fourier, la serie associata a g è ( A + sin((n + x = A n + + A sin((n + x. n + n= Parte. Notiamo che h(x = g(x A, dove g è l onda della parte precendente dell esercizio. Per linearità, la serie di Fourier di h è Fourier(h = Fourier(g Fourier(c n= con c funzione costante c(x A. Poiché c è un particolare polinomio trigonometrico (di ordine, la sua serie di Fourier coincide con c stessa: dunque tutti i coefficienti sono nulli tranne Concludiamo che la serie associata a h è A + A n= a = A c(x = a = A x R. n + sin((n + x A = A + A n= sin((n + x. n + Parte 3. La funzione j si ottiene sommando le funzioni g e h dei punti precedenti. Quindi la serie di Fourier associata a j è la somma delle serie di Fourier di g e h, cioè A n= sin((n + x. n + Esercizio 3. Sviluppare in serie di Fourier f(x = + sin x + 3 cos(x. ottengo Notare che f è un polinomio trigonometrico. Quindi confrontando + sin x + 3 cos(x = a + + a n cos(nx + b n sin(nx se n =, a n = 3 se n =, altrimenti, n= b n = se n =, altrimenti. Esercizio. Sviluppare in serie di Fourier f(x = 3 se x [, ] se x (,, estesa periodicamente a R. Discutere inoltre convergenza puntuale e uniforme sugli intervalli [, ] e [/, /3]. Scrivere la serie numerica associata alla convergenza puntuale in x = /.
3 Notiamo che f(x = + g(x dove g è un onda quadra di coefficiente A =, cioè se x [, ] g(x = se x (,. Dunque la serie di Fourier associata è f + + k= sin((k + x. k +. La serie converge puntualmente per ogni x [, a 3 per x (, per x (, se x =,,. in effetti = f(+ + f( = 3 + e idem in x =,. La convergenza non può essere uniforme perché il limite è discontinuo. Sull intervallo [/, /3] la convergenza è uniforme essendo f di classe C su tale intervallo.. Per x =, la serie converge a f(/ = 3: dunque si ha + sin((k + =. k + k= Ma da cui si ha cioè ( (k + sin = + k= se k è pari se k è dispari = ( k ( k k + = =. Esercizio 5. Sviluppare in serie di Fourier prolungata a una funzione -periodica su R. f(x = x, x [,, 3
4 Si noti che f è pari quindi b n = per ogni n N. Poiché il periodo non è ma T =, uso le formule a n = T ( n f(x cos T T x dx = x cos(nx dx. Quindi: e a n = Dunque a = x dx = 3 [ x cos(nx dx = x sin(nx ] n n = [ x cos(nx ] n n n x sin(nx dx f ( n n cos(nx. n= cos(nx dx = cos(n n = ( n n Esercizio 6. Determinare i coefficienti di Fourier della funzione ( x f(x = cos x [, [ prolungata per periodicità (di periodo ad R. Dedurre la somma della serie numerica n= n (n. b n = Poiché la funzione è dispari, si ha a n = per ogni n. Invece si ha f(x sin(nx dx = Quindi la serie di Fourier associata è = = = = [ Applicando l identità di Parseval otteniamo ( x cos sin(nx dx [ ( sin nx + x ( + sin nx x ] dx [ ( ( ] (n + x (n x sin + sin dx [ ( (n + x n + cos n + + ] = n n= 8n (n sin(nx. ( cos x dx = 6 n= n cos 8n (n n (n. ( ] (n x
5 Essendo si ha ( cos x + cos x dx = dx = n= n (n = 6. Esercizio 7. Sviluppare in serie di Fourier f(x = x per x, estesa per periodicità a tutto R. Se n da cui Poichéf è pari, b n = per ogni n. Invece a n = a = Dunque la serie di Fourier di f è ( x dx = ( x cos(nx dx = k= a n = = = (x dx = [ (x (x cos(nx dx [ (x sin(nx n [ cos(nx n se n è pari, n ] se n è dispari. k= ] ] = sin(nx n = (cos(n n + + a k+ cos((k + x = + cos((k + x (k + Abbiamo che la serie di Fourier converge uniformemente a f su R perchéf èc a tratti su R. Ma si può vedere che. la serie converge totalmente essendo (k + cos((k + x (k +, e (k + < + ;. la serie converge uniformemente ad una funzione g, ed in particolare vi converge in media quadratica; 3. ma la serie di Fourier converge in media quadratica a f: dunque f = g, e la serie converge uniformemente a f. k= dx Esercizio 8. Sviluppare in serie di Fourier la funzione f(x = e x, x [,, estesa con periodicità a tutto R. 5
6 Si ha e per n si ha a n = da cui e a = e x dx = e e e x cos(nx dx. Abbiamo che = sinh. e x cos(nx dx = [e x cos(nx] + n e x sin(nx dx = [e x cos(nx] + n [ex sin(nx] n e x cos(nx dx Similmente (n + e x cos(nx dx = [e x cos(nx] = e cos(n e cos( n = ( n sinh a n = e x cos(nx dx = b n = ( n n sinh (n. + ( n (n sinh. + Esercizio 9. Sviluppare in serie di Fourier f(x = (cos x +, prolungata a una funzione -periodica su R. x [,, Siccome f è pari, si ha b n = per ogni n N. D altra parte, si ha e per n a n = a = a = (cos(x + dx = (cos(x + cos(x dx = (cos(x + cos(nx dx = / / / / / / cos (x dx = cos(x dx =, / / + cos(x dx = cos(x cos(nx dx = / [cos((n + x + cos((n x] dx / = [ ] / sin((n + x sin((n x + = [ n + sin n + ( n + Quindi: se n è dispari, si ha a n = ; se n = k è pari, si ha ( ( n + n sin = ( k e sin = ( k per cui Dunque la serie di Fourier associata è a n = a k = [ k + ( k ] k ( k = ( k k. + cos x k= ( k k cos(kx. n + n sin / ( n ] 6
7 Esercizio. Sia f la funzione -periodica definita da f(x = sin(5x, x [, ]. dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:. la sua serie di Fourier converge in media quadratica in [, ];. la sua serie di Fourier converge uniformemente in R; 3. i coefficienti b n sono tutti nulli.. Vero: f è continua su R ed f è di classe C a tratti su R.. Vero: la funzione è infatti pari. 3. Vero: poiché f è a quadrato sommabile. Esercizio. Data f(x = cos x se x < se x si consideri la sua estensione -periodica a R. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:. la sua serie di Fourier converge puntualmente a f(x su [, ];. la sua serie di Fourier converge uniformemente su R; 3. la sua serie di Fourier converge uniformemente a f su [ 39. si ha b 3 = ;, ]; 5. si ha a = ; 6. si ha 3 lim n + f n(x dx = 3 f (x dx;. Falso. La serie converge alla funzione -periodica cos x se x < g(x = se < x se x = ± + k. Infatti, f è continua a tratti: continua su (, ( (, continua su, e su,, e e sono punti di salto. In x = si ha e idem in x = (f è pari. f ( + + f ( = + lim x cos(x =. Falso. Il limite puntuale g è discontinuo mentre i polinomi trigonometrici approssimanti sono funzioni continue, dunque non si può avere convergenza puntuale. 7
8 3. Vero. Per periodicità, l intervallo [ 39, ] è equivalente all intervallo [, ] che cade nella zona dove f è C. Dunque si ha convergenza uniforme a f.. Falso: f è pari, allora b n = n N. 5. Vero. Si ha a = f(x cos(x dx = f(x cos(x dx = = / / cos (x dx + + cos(x / cos(x dx dx + [sin x] / = 6. Vero perché si ha convergenza in media quadratica su tutto [, ]. Anche senza convergenza uniforme su [, 3 ], passo al limite sotto il segno di integrale. Esercizio. Data f(x = x x x < x < si consideri la sua estensione -periodica a R. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:. la sua serie di Fourier converge uniformemente a f su R. la sua serie di Fourier converge a per x = 3 3. il coefficiente a vale Vero: f è continua su R ed è C a tratti.. Falso: per periodicità si ha f(3 = f( =. 3. Vero: si ha a = f(x dx = ( x dx + [ x x dx = ] + [ x 3 3 ] = + 3 =
CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
DettagliINTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER. poi più in generale la somma dei termini da 0 ad n (che chiamerò s n )
INTRODUZIONE ALLE SERIE DI FOURIER. Definizione di Serie Data una successione di numeri reali a k posso considerare la somma dei numeri da 0 a 5 (che chiamerò s 5 ): 5 s 5 = a k = a 0 + a + a + a 3 + a
DettagliSuccessioni e serie di funzioni
Successioni e serie di funzioni A. Albanese, A. Leaci, D. Pallara In questa dispensa generalizzeremo la trattazione delle successioni e delle serie al caso in cui i termini delle stesse siano non numeri
DettagliIngegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni Prova scritta di ANALISI B - 06/04/2006
Ingegneria Elettronica, Informatica e delle Telecomunicazioni Prova scritta di ANALISI B - 06/04/2006 CORSO DI STUDI IN INGEGNERIA... NOME E COGNOME:... NUMERO DI MATRICOLA:... (scrivere nome e cognome
DettagliSerie di Fourier - Esercizi svolti
Serie di Fourier - Esercizi svolti Esercizio 1 È data la funzione f con domf) = R, periodica di periodo, tale che onda quadra) 1 se < x < fx) = se x = e x = 1 se < x < 1) 1 Calcolare i coefficienti di
DettagliSUCCESSIONI NUMERICHE
SUCCESSIONI NUMERICHE Una funzione reale di una variabile reale f di dominio A è una legge che ad ogni x A associa un numero reale che denotiamo con f(x). Se A = N, la f è detta successione di numeri reali.
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema
DettagliI appello - 24 Marzo 2006
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,
DettagliCRITERI DI CONVERGENZA PER LE SERIE. lim a n = 0. (1) s n+1 = s n + a n+1. (2) CRITERI PER LE SERIE A TERMINI NON NEGATIVI
Il criterio più semplice è il seguente. CRITERI DI CONVERGENZA PER LE SERIE Teorema(condizione necessaria per la convergenza). Sia a 0, a 1, a 2,... una successione di numeri reali. Se la serie a k è convergente,
DettagliEsercizi sugli integrali impropri
Esercizi sugli integrali impropri Esercizio. Studiare 2 x4 dx. Svolgimento: è un integrale improprio, in quanto f(x) =, x (, 2] ha una singolarità in : x4 lim x + x4 = +. Osserviamo che f è positiva, quindi
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
DettagliSIMULAZIONE TEST ESAME - 1
SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R
DettagliSVILUPPO IN SERIE DI FOURIER. Prof. Attampato Daniele
SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Prof. Attampato Daniele SVILUPPO IN SERIE DI UNA FUNZIONE Uno dei problemi più frequenti in matematica è legato alla necessità di approssimare una funzione. Uno degli strumenti
DettagliMatematica generale CTF
Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione
DettagliESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla
ESERCITAZIONI DI ANALISI FOGLIO FOGLIO FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI Marco Pezzulla gennaio 05 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) arccos x x + π/3.
DettagliProva parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:...
Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8 Cognome:................ Nome:................ Matricola:................ (Dare una dimostrazione esauriente di tutte le
DettagliINTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.
INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati
DettagliPer lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme
1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R
DettagliAnalisi I - IngBM - 2014-15 COMPITO A 21 Febbraio 2015 COGNOME... NOME... MATRICOLA... VALUTAZIONE... +... =...
Analisi I - IngBM - 2014-15 COMPITO A 21 Febbraio 2015 COGNOME........................ NOME............................. MATRICOLA....................... VALUTAZIONE..... +..... =...... 1. Istruzioni Gli
DettagliSerie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari
Serie numeriche Definizioni e proprietà elementari Sia { } una successione, definita per ogni numero naturale n n. Per ogni n n, consideriamo la somma s n degli elementi della successione di posto d s
Dettagli3.1 Successioni. R Definizione (Successione numerica) E Esempio 3.1 CAPITOLO 3
CAPITOLO 3 Successioni e serie 3. Successioni Un caso particolare di applicazione da un insieme numerico ad un altro insieme numerico è quello delle successioni, che risultano essere definite nell insieme
DettagliEsame di Analisi Matematica prova scritta del 23 settembre 2013
Esame di Analisi Matematica prova scritta del 23 settembre 2013 1. Determinare dominio, limiti significativi, intervalli di monotonia della funzione f (x) = (2x + 3) 2 e x/2 e tracciarne il grafico. In
DettagliAnno 5 4. Funzioni reali: il dominio
Anno 5 4 Funzioni reali: il dominio 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire cos è una funzione reale di variabile reale e a ricercarne il dominio. Al termine di questa lezione sarai in grado
DettagliSviluppi di Taylor Esercizi risolti
Esercizio 1 Sviluppi di Taylor Esercizi risolti Utilizzando gli sviluppi fondamentali, calcolare gli sviluppi di McLaurin con resto di Peano delle funzioni seguenti fino all ordine n indicato: 1. fx ln1
DettagliCorso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor
a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli
DettagliAnalisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012
Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione
DettagliALGORITMO PER GENERARE COSTANTI MATEMATICHE
ALGORITMO PER GENERARE COSTANTI MATEMATICHE di Zino Magri ino.magri@libero.it Copyright ZINO MAGRI 03 Vorrei porre alla vostra attenione un algoritmo in grado di generare una π quantità illimitata di costanti
DettagliCONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE
CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e
DettagliEsercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di
Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva
DettagliSulle funzioni di W 1,p (Ω) a traccia nulla
Sulle funzioni di W 1,p () a traccia nulla Sia u W 1,p (R n ) e supponiamo che il supp u, essendo un aperto di R n. Possiamo approssimare u con una successione di funzioni C il cui supporto è contenuto
DettagliCorso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche
a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Successioni e serie numeriche Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità
Dettagli3 GRAFICI DI FUNZIONI
3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom
DettagliTeoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26
Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo
DettagliSuccessioni di funzioni reali
E-school di Arrigo Amadori Analisi I Successioni di funzioni reali 01 Introduzione. In questo capitolo applicheremo i concetti di successione e di serie alle funzioni numeriche reali. Una successione di
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti
FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti 1 Discutendo graficamente la disequazione x > 3+x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi Rappresentare nel piano x, y) l insieme
DettagliPROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA I, ANNO 2015/16
PROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA I, ANNO 5/6 Prova scritta del //6 Si studi, al variare di x, il comportamento della serie n= n Ax n Ax, dove A denota il numero delle lettere del nome. Si studi la funzione
DettagliSerie di Fourier 1. Serie di Fourier. f(t + T )=f(t) t R.
Serie di Fourier 1 Serie di Fourier In questo capitolo introduciamo le funzioni periodiche, la serie di Fourier in forma trigonometrica per le funzioni di periodo π, e ne identifichiamo i coefficienti.
DettagliNumeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.
Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,
DettagliBasi di matematica per il corso di micro
Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione
DettagliCalcolo differenziale Test di autovalutazione
Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia
DettagliCOGNOME... NOME... Matricola... Corso Prof... Esame di ANALISI MATEMATICA I - 11 Febbraio 2011, ore 8.30
Esame di ANALISI MATEMATICA I - 11 Febbraio 2011, ore 830 A ESERCIZIO 1 (8 punti) Data la funzione = 1 + sin x 2 2 x (a) determinare lo sviluppo di MacLaurin al terzo ordine della funzione ; (b) determinare
DettagliCorso di Analisi Matematica Serie numeriche
Corso di Analisi Matematica Serie numeriche Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 25 1 Definizione e primi esempi 2 Serie a
DettagliDiario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2015/16)
Diario del corso di Analisi Matematica (a.a. 205/6) 4 settembre 205 ( ora) Presentazione del corso. 6 settembre 205 (2 ore) Numeri naturali, interi, razionali, reali. 2 non è razionale. Introduzione alle
DettagliSerie di Fourier Richiami di teoria. Funzioni periodiche. Ci poniamo il problema dello sviluppo in serie di Fourier per funzioni f 1 : R R
Serie di Fourier Richiami di teoria Funzioni periodiche Ci poniamo il problema dello sviluppo in serie di Fourier per funzioni f 1 : R R 2π-periodiche. Esempio 1. Consideriamo il prolungamento 2π-periodico
Dettagli4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale
4 Quarta lezione: Spazi di Banach e funzionali lineari. Spazio duale Spazi Metrici Ricordiamo che uno spazio metrico è una coppia (X, d) dove X è un insieme e d : X X [0, + [ è una funzione, detta metrica,
Dettagli5. La teoria astratta della misura.
5. La teoria astratta della misura. 5.1. σ-algebre. 5.1.1. σ-algebre e loro proprietà. Sia Ω un insieme non vuoto. Indichiamo con P(Ω la famiglia di tutti i sottoinsiemi di Ω. Inoltre, per ogni insieme
DettagliEsercitazioni di Calcolo Numerico 23-30/03/2009, Laboratorio 2
Esercitazioni di Calcolo Numerico 23-30/03/2009, Laboratorio 2 [1] Metodo di Bisezione gli estremi a e b di un intervallo reale trovi uno zero della funzione f(x) nell intervallo [a, b] usando il metodo
DettagliAnno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza
Anno 3 Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza 1 Introduzione In questa lezione parleremo delle funzioni. Ne daremo una definizione e impareremo a studiarne il dominio in relazione alle diverse
Dettaglia) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:
ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire
DettagliI appello - 26 Gennaio 2007
Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 I appello - 6 Gennaio 007 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. (N.B. il quesito teorico è obbligatorio)
DettagliLE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE
LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe
DettagliLe funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1
Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato
DettagliAlcune note sulle serie di potenze 1
Alcune note sulle serie di potenze Contents G. Falqui Preliminari 2 Serie di potenze 3 3 Rappresentazione di funzioni mediante serie di potenze 7 3. Esempi notevoli........................... 9 3.2 Formula
DettagliPolitecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).
Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................
DettagliLezione 6 (16/10/2014)
Lezione 6 (16/10/2014) Esercizi svolti a lezione Esercizio 1. La funzione f : R R data da f(x) = 10x 5 x è crescente? Perché? Soluzione Se f fosse crescente avrebbe derivata prima (strettamente) positiva.
DettagliUniversità di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott.
Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercitazioni per la preparazione della prova scritta di Matematica 3 Dott. Franco Obersnel Lezione 19: campi vettoriali e formule di Gauss-Green nel piano.
Dettagli11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni
2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi
DettagliApplicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni
Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,
Dettaglif(x) = x3 2x 2x 2 4x x 2 x 3 2x 2x 2 4x =, lim lim 2x 2 4x = +. lim Per ricavare gli asintoti obliqui, essendo lim
Esercizi 0//04 - Analisi I - Ingegneria Edile Architettura Esercizio. Studiare la seguente funzione e disegnarne il graco. Soluzione: f(x) = x3 x x 4x La funzione è denita dove il denominatore risulta
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
DettagliEsercizi di Analisi Matematica I
Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................
DettagliAnalisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06
Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o
DettagliVerica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1]
Verica di Matematica su dominio e segno di una funzione [COMPITO 1] Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: 1. y = 16 x ;. y = e 1 x +4 + x + x + 1; 3. y = 10 x x 3 4x +3x; 4. y =
DettagliQuesiti di Analisi Matematica A
Quesiti di Analisi Matematica A Presentiamo una raccolta di quesiti per la preparazione alla prova orale del modulo di Analisi Matematica A. Per una buona preparazione é consigliabile rispondere ad alta
Dettaglil insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere)
Che cos è una funzione? Assegnati due insiemi X e Y si ha una funzione elemento di X uno e un solo elemento di Y. f : X Y se esiste una corrispondenza che associa ad ogni Osservazioni: l insieme X è detto
DettagliSUCCESSIONI NUMERICHE
SUCCESSIONI NUMERICHE Definizione: Si chiama successione numerica una funzione definita su IN a valori in IR, cioè una legge che associa ad ogni intero n un numero reale a n. Per abuso di linguaggio, si
DettagliGrafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale
Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Mauro Saita 1 Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Dicembre 2014 Indice 1 Qualè il grafico
DettagliCapitolo 1 ANALISI COMPLESSA
Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.4 Serie in campo complesso 1.4.1 Serie di potenze Una serie di potenze è una serie del tipo a k (z z 0 ) k. Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi
Dettaglix ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno),
6 - Grafici di funzioni Soluzioni Esercizio. Studiare il grafico della funzione f(x) = x x + 3. ) La funzione è definita per x 3. ) La funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) La funzione è
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.
Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine
DettagliMetodi Matematici per l Economia A-K Corso di Laurea in Economia - anno acc. 2012/2013 12 febbraio 2013
Tempo massimo 2 ore. Consegnare solamente la bella copia. Metodi Matematici per l Economia A-K Corso di Laurea in Economia - anno acc. 212/213 12 febbraio 213 1. Disegnare il grafico della funzione: [1
DettagliVARIANZA CAMPIONARIA E DEVIAZIONE STANDARD. Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della varianza.
VARIANZA CAMPIONARIA E DEVIAZIONE STANDARD Si definisce varianza campionaria l indice s 2 = 1 (x i x) 2 = 1 ( xi 2 n x 2) Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione
Dettagli7 - Esercitazione sulle derivate
7 - Esercitazione sulle derivate Luigi Starace gennaio 0 Indice Dimostrare il teorema 5.5.3.a................................................b............................................... Dimostrazioni.a
DettagliDocente: Anna Valeria Germinario. Università di Bari. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 1 / 22
Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale e approssimazioni, formula di Taylor Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari
DettagliSerie numeriche e serie di potenze
Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima
DettagliLa funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f.
FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti
DettagliCaratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza
Capitolo 5 Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza 5. Introduzione In questo capitolo affrontiamo lo studio dei segnali aleatori nel dominio della frequenza. Prendiamo come esempio
DettagliProbabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a)
Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B Eventi indipendenti: un evento non influenza l altro Eventi disgiunti: il verificarsi di un evento esclude l altro Evento prodotto:
DettagliSe x* e punto di minimo (locale) per la funzione nell insieme Ω, Ω = { x / g i (x) 0 i I, h j (x)= 0 j J } lo e anche per F(x) = f o (x) + c x x 2
NLP -OPT 1 CONDIZION DI OTTIMO [ Come ricavare le condizioni di ottimo. ] Si suppone x* sia punto di ottimo (minimo) per il problema min f o (x) con vincoli g i (x) 0 i I h j (x) = 0 j J la condizione
Dettagli1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi
Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi (Criterio del rapporto.) Consideriamo la serie a (.) a termini positivi (ossia a > 0, =, 2,...). Supponiamo che esista il seguente ite a +
Dettagli11. Le funzioni composte
. Le funzioni composte Definizione Date le due funzioni f A B e g D C, dove f[ A] D, si dice funzione composta di f e g la funzione h A C che ad ogni elemento a Afa corrispondere l elemento g(()) f a Ce
DettagliMODULO O VALORE ASSOLUTO
Modulo o valore assoluto F. Bonaldi C. Enrico 1 MODULO O VALORE ASSOLUTO Questo concetto risulta spesso di difficile comprensione. Per capirlo, occorre applicare rigorosamente la definizione di modulo.
Dettagli1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche
. Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi
Dettagliu 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k
Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure
DettagliLimiti e continuità di funzioni reali di una variabile
di funzioni reali di una variabile Corso di Analisi Matematica - capitolo VI Facoltà di Economia, UER Maria Caterina Bramati Université Libre de Bruxelles ECARES 22 Novembre 2006 Intuizione di ite di funzione
DettagliProposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014
Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,
DettagliEquazione del calore e funzioni trigonometriche.
CAPITOLO 1 Equazione del calore e funzioni trigonometriche. 1.1. Spazi vettoriali trigonometrici Il concetto di spazio vettoriale euclideo dovrebbe essere familiare al lettore di queste note. Per comodità
DettagliSTRUTTURE ALGEBRICHE
STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione
DettagliSlide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche
Slide Cerbara parte1 5 Le distribuzioni teoriche I fenomeni biologici, demografici, sociali ed economici, che sono il principale oggetto della statistica, non sono retti da leggi matematiche. Però dalle
Dettagli3.2 Funzioni periodiche e sviluppi in Serie di Fourier
3. Funzioni periodiche e sviluppi in Serie di Fourier Una prima classe di funzioni per cui si può effettuare l analisi armonica (3.5 contiene le funzioni periodiche (di periodo, tali cioè che f(t + = f(t,
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
DettagliIntegrali doppi - Esercizi svolti
Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi senza cambiamento di variabili Si disegni il dominio e quindi si calcolino gli integrali multipli seguenti:... xy dx dy, con (x, y R x, y x x }; x + y
DettagliCOMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA II. Prova scritta del 20 gennaio 2014
Prova scritta del 2 gennaio 214 Studiare la convergenza puntuale e uniforme della serie di potenze n=1 n x 2n 2n + e n. Valutare poi la misurabilità e l integrabilità secondo Lebesgue della funzione somma
DettagliIndice. 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo... 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità...
Indice 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo............................. 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità.............. 5 i Capitolo 1 Introduzione
DettagliE naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n
Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile
DettagliProblema del trasporto
p. 1/1 Problema del trasporto Supponiamo di avere m depositi in cui è immagazzinato un prodotto e n negozi che richiedono tale prodotto. Nel deposito i è immagazzinata la quantità a i di prodotto. Nel
Dettaglix u v(p(x, fx) q(u, v)), e poi
0.1. Skolemizzazione. Ogni enunciato F (o insieme di enunciati Γ) è equisoddisfacibile ad un enunciato universale (o insieme di enunciati universali) in un linguaggio estensione del linguaggio di F (di
DettagliSTUDIO DI UNA FUNZIONE
STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)
Dettagli