Serie di Fourier Richiami di teoria. Funzioni periodiche. Ci poniamo il problema dello sviluppo in serie di Fourier per funzioni f 1 : R R

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1 Serie di Fourier Richiami di teoria Funzioni periodiche Ci poniamo il problema dello sviluppo in serie di Fourier per funzioni f 1 : R R 2π-periodiche. Esempio 1. Consideriamo il prolungamento 2π-periodico f 1 : R R di { f1 : [, 2π) R f 1 (x) := x f 1 : R R Esempio 2. Data { f2 : [, 1) R f 2 (x) := x la prolunghiamo a una funzione f 2 : R R 1-periodica. Osservazioni: Le funzioni prolungate f 1 e f 2 hanno infiniti punti di discontinuità di tipo salto su R. In effetti le serie di Fourier si configurano come strumenti di approssimazione di funzioni non necessariamente continue. Si confronti questo con le serie di aylor per funzioni C, analitiche..

2 La teoria delle serie di Fourier si dà per funzioni g : R R, -periodiche, con > generico, riconducibili a funzioni f : R R 2π-periodiche ponendo ( ) f(x) = g 2π x infatti ( ) f(x + 2π) = g (x + 2π) 2π ( ) ( ) = g 2π x + = g 2π x = f(x). Coefficienti di Fourier Data una funzione f : R R, 2π-periodica, quale è la serie trigonometrica α k cos(kx) + β k sin(kx) k= candidata ad approssimare f? f : R R 2π-periodica Ipotesi di base: f integrabile su [, 2π]. Conseguenze: 2π f(x) dx = a+2π f(x) dx a R, a f 2 integrabile su [, 2π].

3 Problema: Sia S n := {polinomi trigonometrici di ordine n} e si consideri il problema di minimizzare lo scarto quadratico medio f(x) P n (x) 2 dx fra f e il generico polinomio trigonometrico di ordine n n P n (x) = α k cos(kx) + β k sin(kx). k= Si dimostra che per ogni n N il polinomio S n che risolve il problema di minimo, cioè f(x) S n (x) 2 dx f(x) P n (x) 2 dx P n S n è il polinomio trigonometrico di Fourier associato a f S n (x) = a n 2 + a k cos(kx) + b k sin(kx) k=1 con coefficienti (i coefficienti di Fourier associati a f) a n = 1 π b n = 1 π f(x) cos(nx) dx, n =, 1, 2,... f(x) sin(nx) dx, n = 1, 2,... che danno luogo alla serie di Fourier associata a f a n=1 a n cos(nx) + b n sin(nx)

4 Osservazioni Grazie all ipotesi di integrabilità su f, gli (a k ) k (b k ) k sono ben definiti. e I coefficienti si possono ottenere integrando su un periodo (=intervallo di lunghezza 2π) qualsiasi di f, ad esempio su [ π, π]. il calcolo degli (a k ) k e (b k ) k si semplifica in presenza di simmetrie: f pari a n = 1 π = 2 π π π π b n = n 1, f(x) cos(nx) dx f(x) cos(nx) dx, n f si sviluppa in serie di soli coseni a n = n f dispari b n = 1 π = 2 π π π π f(x) sin(nx) dx f(x) sin(nx) dx, n 1 f si sviluppa in serie di soli seni

5 Se f è periodica con periodo >, le formule diventano a n = 2 ( ) 2π f(x) cos nx dx, n =, 1, 2,... b n = 2 f(x) sin ( ) 2π nx dx, n = 1, 2,... Convergenza della serie di Fourier Sia S n la ridotta n-esima: S n (x) = a n 2 + a k cos(kx) + b k sin(kx) k=1 come converge la successione di funzioni S n a f? utti i risultati che enunceremo valgono con ovvie modifiche per funzioni -periodiche. eorema 1: convergenza in media quadratica Sotto l ipotesi di base f : R R 2π-periodica f integrabile su [, 2π] la successione (S n ) converge a f in in media quadratica, cioè S n (x) f(x) 2 dx =, n +

6 da cui n + n + S n (x) 2 dx = S n (x) dx = Inoltre vale l identità di Parseval f 2 (x) dx, f(x) dx. 1 π f 2 (x) dx = a n=1 (a 2 n + b2 n ). Osservazioni: Corollario (teorema di Riemann-Lebesgue): n n f(x) cos(nx) dx = f(x) sin(nx) dx = (poiché la serie + n=1 (a2 n + b 2 n) converge, la successione a 2 n + b2 n è infinitesima..) Se f è periodica con periodo >, l identità di Parseval è e si ha 2 n + f 2 (x) dx = a n=1 (a 2 n + b2 n ) S n (x) f(x) 2 dx =.

7 La convergenza in media quadratica NON implica la convergenza puntuale, cioè non implica lo sviluppo f(x) = a 2 + a k cos(kx) + b k sin(kx) x R. k=1 Si migliora il tipo di convergenza (media quadratica puntuale uniforme convergenza delle derivate) aumentando le ipotesi di regolarità su f. eorema 2: convergenza puntuale Se f : R R, 2πperiodica è continua a tratti in [, 2π] (quindi integrabile su [, 2π]) in x R f è derivabile, oppure f è continua in x e ed esistono finite la derivata destra f + (x ) e la derivata sinistra f (x ), oppure f ha un punto di salto in x e ed esistono finite la pseudoderivata destra x x + e la pseudoderivata sinistra x x allora S n converge in x a f(x+ )+f(x ) 2. f(x) f(x + ) x x f(x) f(x ) x x (oppure, Criterio di Dirichlet: f itata e monotona a tratti). cioè f è continua in [, 2π] tranne che in al più un numero finito di punti {x 1,..., x m } tali che per ogni i = 1,..., m f ha in x i una discontinuità di tipo salto

8 eorema 3: convergenza uniforme Sia f : R R, 2π-periodica. Supponiamo che 1. f C ((, 2π)) 2. f : [, 2π] R sia C 1 a tratti su [, 2π]. Allora per ogni [a, b] (, 2π) S n f uniformemente su [a, b]. Se oltre alle condizioni 1 & 2 si ha anche che f è continua in e in 2π (quindi f C (R)) allora S n f uniformemente su [, 2π] (e quindi uniformente su R). Osservazione: Si noti che f C (R) è condizione necessaria per la convergenza uniforme su R perché le S n sono funzioni continue e la convergenza uniforme preserva la continuità. L ipotesi f è continua in e in 2π è scritta in modo ridondante: in effetti la continuità in (che significa f( + ) = f() = f( )) da sola implica, per periodicità, anche f(2π + ) = f(2π) = f(2π ). cioè f è derivabile in [, 2π] tranne che in al più un numero finito di punti {x 1,..., x m } tali che per ogni i = 1,..., m esistono finite le derivate destre e sinistre f + (x i) e f (x i) e inoltre f è di classe C 1 sull intervallo (x i 1, x i )

9 Se la funzione di partenza è solo data sull intervallo [, 2π), la condizione f è continua in sulla sua prolungata 2π-periodica f si traduce, a livello di f, nella richiesta che f() = f( + ) = f(2π ). eorema 4: convergenza delle derivate Sia f : R R, 2π-periodica. Supponiamo che f C (R) e f C 1 ((, 2π)) e f C (R) e f : [, 2π] R sia C 1 a tratti su [, 2π] Allora la serie di Fourier si può derivare termine a termine, cioè f (x) = (a k cos(kx) + b k sin(kx)) x R. n= Osservazione: la condizione f C (R) significa che deve valere f () = f ( + ) = f (2π ).