Convergenza puntuale ed uniforme delle serie di Fourier

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1 Convergenza puntuale ed uniforme delle serie di Fourier 8 aprile 009 In questi appunti prendiamo in considerazione funzioni di variabile reale che possono assumere però valori complessi. Una funzione F di variabile reale a valori complessi corrisponde a due funzioni di variabile reale a valori reali, rispettivamente, la parte reale e la parte immaginaria di F. In altre parole possiamo scrivere: F (x) = u(x) + iv(x), dove u e v sono funzioni a valori reali. La funzione F sarà continua, derivabile o integrabile, se sono rispettivamente continue, derivabili o integrabili ambdue le funzioni u e v. Scriveremo quindi e b a F (x)dz = F (x) = u (x) + iv (x) b a u(x)dx + i b a v(x)dx. Una funzione di variabile reale e a valori complessi molto importante è fornita dalla seguente formula (detta di Eulero): e ix = cos x + i sin x. Possiamo considerare questa formula come la definizione di e ix, a partire dalle funzioni note cos x e sin x. Dovremmo allora osservare che le formule di addizione del seno e del coseno, ci forniscono la seguente importante proprietà della funzione e ix : e i(x+y) = e ix e iy. In particolare (e ix ) n = e inx. Inoltre risulta, sempre dalle proprietà delle funzioni trigonometriche che e ix = cos x i sin x, è il coniugato di e ix. Possiamo

2 anche osservare che la funzione x e ix è un omomorfismo (continuo!) del gruppo addittivo dei numeri reali nel gruppo moltiplicativo dei numeri complessi di modulo uno. Infine possiamo ricordare che le funzioni trigonometriche sin x e cos x possono essere definite in termini di e ix, come segue: cos x = eix + e ix, sin x = eix e ix. i (Un utile osservazione banale è che l inverso di i è i e, in generale che l inverso di un numero complesso di modulo uno è il suo coniugato.) Il problema centrale della teoria delle cosiddette serie di Fourier si può sintetizzare nella domanda seguente: Ci si chiede sotto quali ipotesi una funzione reale f di variabile reale e periodica di periodo, sia la somma di una serie del tipo a 0 + (a k cos kx + b k sin kx) () k= Quando parliamo della somma di una serie di funzioni, intendiamo in primo luogo la convergenza punto per punto delle somme parziali, ed in secondo luogo la convergenza uniforme delle stesse somme parziali. In questi appunti cercheremo di dare risposte a questa domanda proprio nei termini della convergenza punto per punto e della convergenza uniforme. Vale però la pena di ricordare che lo sviluppo della teoria delle serie di Fourier, specialmente dopo l introduzione, agli inizi del secolo scorso, della teoria della misura e dell integrazione secondo Lebesgue, ha portato a considerare la somma della serie, anche in termini diversi. Si considera cioè la convergenza delle somme parziali della serie () rispetto a diverse nozioni di distanza, e talvolta la convergenza punto per punto per punto ristretta ad insiemi il cui complemento è considerato negligibile. Questi problemi più raffinati saranno considerati negli insegnamenti di Analisi Reale e/o Analisi Funzionale. In questi appunti dimostreremo prima di tutto che se f (a valori reali) è continua e periodica ed ha derivata continua, allora f può essere espressa attraverso una serie del tipo (), che converge uniformemente ad f. Questo risultato può essere esteso parzialmente a funzioni che possiedono alcune discontinuità di prima specie, come svolto nel libro di testo. Prima di entrare nel merito della questione della convergenza è opportuno esaminare più da vicino le funzioni a k cos kx + b k sin kx. ()

3 Ricordando la formula di Eulero e ix = cos x + i sin x, possiamo osservare che a k cos kx + b k sin kx = (a k ib k ) e ikx + (a k + ib k ) e ikx = c k e ikx + c k e ikx, dove abbiamo posto per ogni interno positivo k, c k = a k ib k. Questo significa che, posto, per k intero positivo c k = c k = a k+ib k, e c 0 = a 0, risulta per ogni n intero non negativo a 0 + (a k cos kx + b k sin kx) = k= k= Pertanto dire che puntualmente o uniformemente risulta c k e ikx. f(x) = a 0 + (a k cos kx + b k sin kx), k= equivale a dire che in termini di convergenza puntuale o uniforme risulta lim n k= cioè con una notazione più espressiva che f(x) = c k e ikx = f(x), + k= c k e ikx. Ricordiamo che per quanto la serie a secondo membro si presenti come una serie a valori complessi, le somme parziali ( da a n) della serie risultano a valori reali, in virtù del fatto che il coefficiente c k è il coniugato di c k, ed inoltre e ikx è il coniugato di e ikx. In altre parole a ciascun addendo c k e ikx, corrisponde un addendo coniugato c k e ikx. Ma perché passare dalle funzioni seno e coseno all esponenziale complesso? Sostanzialmente perché questo ci consentirà di semplificare molti calcoli. Ricordiamo infatti che la semplice proprietà moltiplicativa dell esponenziale e i(x+y) = e ix e iy sostituisce efficacemente tutto il bagaglio delle formule trigonometriche. Un primo esempio di questa semplificazione è fornito dalla seguente osservazione. Osservazione Se n Z, allora e inx dx = { 0 se n 0 se n = 0 3

4 Questa osservazione, di verifica immediata, a partire, ad esempio dalla formula e inx = cos nx+i sin nx, sostituisce efficacemente le formule [4.8] a pag. 97 del secondo volume del libro di testo, per ottenere il seguente risultato preliminare: Lemma Supponiamo che f sia una funzione periodica di periodo, e supponiamo inoltre che nella convergenza uniforme, f(x) = a 0 + (a k cos kx + b k sin kx) = k= k= dove c 0 = a 0, e c k = c k = a k ib k, per k positivo. Allora a k = π e, per ogni intero k, f(x) cos kxdx, b k = π c k = f(x)e ikx. c k e ikx, f(x) sin kxdx dimostrazione. Le relazioni tra i coefficienti a k, b k e c k e la linearità dell integrale ci consentono di limitarci a considerare il calcolo di c k. Poiché si suppone che la serie converga uniformemente possiamo integrare termine a termine. Pertanto f(x)e ikx dx = h= h= π c h e i(h k)x dx. c h e ihx e ikx dx = Per la Osservazione, tutti gli integrali che appaiono nella somma sono zero tranne quello in cui h = k, che vale. Ne segue che c k = f(x)e ikx dx. Il risultato che abbiamo appena dimostrato ci porta a definire per ogni funzione periodica integrabile f ed ogni intero n il coefficiente di Fourier n-esimo come ˆf(n) = c n = f(x)e inx dx, 4

5 e a chiederci se la serie n= ˆf(n)e inx, converge alla funzione f. Osserviamo subito che se f ha valori reali (come supporremo sempre) ˆf() = ˆf(n), pertanto la serie che abbiamo appena scritto e che vorremmo convergesse ad f, si può scrivere anche nella forma (), con coefficienti a n e b n definiti come nell enunciato del Lemma. Aggiungiamo che la serie ˆf(n)e inx, n= prende il nome di serie di Fourier della funzione f. Con lo stesso nome si indica ovviamente la corrispondente serie scritta in termini di a k cos kx + b k cos kx, con i coefficienti a k e b k come nell enunciato del Lemma. Nota Vale forse la pena di osservare che per funzioni periodiche di periodo, l integrazione sull intervallo [, π] può essere sostituita con uguale risultato dalla integrazione sull intervallo [0, ] o su qualsiasi intervallo di lunghezza. La scelta dell intervallo [, π] è stata fatta per discostarsi il meno possibile dalle notazioni del libro di testo. Lemma. Se f è una funzione periodica di periodo, integrabile nell intervallo [, π], allora dimostrazione. Sia Allora Osserviamo ora che 0 ˆf(n) S n (x) = (f(x)) dx k= (f(x)) dx. ˆf(n)e inx. (f(x) S n (x)) dx = f(x)s n (x)dx = f(x)s n (x)dx + (S n (x)) dx. ˆf(k) f(x)e ikx dx = 5

6 Inoltre ˆf(k) ˆf( k) = π S n (x) dx = h,k= ˆf(k) ˆf(k) = ˆf(k). ˆf(h) ˆf(k) e i(h+k)x. Gli integrali nell ultima espressione sono tutti nulli eccetto quando h = k, e pertanto π S n (x) dx = ˆf(k). Questo significa che la disuguaglianza precedente si riduce a f(k) f(x) dx. Da quest ultima disuguaglianza segue la tesi passando al limite per n. Corollario Se f è una funzione periodica di periodo integrabile nell intervallo [, π] allora ˆf(n) = 0 lim n dimostrazione. La convergenza della serie ˆf(n) implica che converge a zero il termine n-esimo da cui segue la tesi del corollario. Lemma 3 Sia f una funzione periodica di periodo. Supponiamo che la derivata Df di f esista e sia integrabile, allora Df(n) = in ˆf(n) (3) dimostrazione. Integrando per parti e sfruttando la periodicità della funzione f(x)e inx si ottiene: π Df(x)e inx dx = f(x)e inx π in f(x)e inx dx = in ˆf(n). Lemma 4 Sia f una funzione periodica di periodo integrabile in ogni intervallo di R. Definiamo, per y R, f y (x) = f(x y). Allora ˆf y (n) = e iny ˆf(n). (4) 6

7 dimostrazione. Ricordiamo che l integrale su un intervallo di lunghezza uguale al periodo, di una funzione periodica è invariante per traslazione, come (quasi) dimostrato nella [4.] a pag. 95 del libro di testo (Giusti, secondo volume). Pertanto ˆf y (n) = f(x y)e inx dx = f(x)e in(x+y) dx = e iny ˆf(n). Abbiamo ora a disposizione tutti gli ingredienti per dimostrare il primo teorema di convergenza della serie di Fourier. Teorema Sia f una funzione continua e periodica di periodo. Supponiamo che esista la derivata di f in un punto y R. Allora la serie ˆf(n)e iny converge al valore f(y). dimostrazione. Supponiamo prima che y = 0. Dimostreremo cioè che se f è derivabile in 0 allora, lim N N N ˆf(n) = f(0). Consideriamo per x kπ la funzione Osserviamo che g(x) = f(x) f(0) e ix f(x) f(0) x lim g(x) = lim lim x 0 x 0 x x 0 cos x + i sin x = idf(0). Pertanto la funzione g può essere definita in 0 e tutti i multipli interi di in modo che risulti continua. Basta assegnarle in questi punti il valore idf(0). Osserviamo ora che f(x) = f(0) + e ix g(x) g(x). Se calcoliamo i coefficienti di Fourier dei due lati di quest ultima equasione, otteniamo ˆf(n) = f(0) e inx dx + g(x)e i(n )x dx g(x)e inx dx. Nel caso n 0 si ottiene dunque, ˆf(n) = ĝ(n ) ĝ(n). 7

8 Mentre nel caso n = 0 si ottiene invece ˆf(0) = f(0) + ĝ( ) ĝ(0). Combinando queste due formule e sommando da N ad N, si ottiene N n= N N ˆf(n) = f(0) + [ĝ(n ) ĝ(n)] = f(0) + ĝ( N ) ĝ(n). n= N Sappiamo però che g è una funzione integrabile e pertanto, Ne segue che lim ĝ(n) = lim ĝ( N ) = 0. N N lim N N n= N ˆf(n) = f(0). Supponiamo ora che y 0, e consideriamo la funzione f y (x) = f(x + y). Se f è differenziabile in y allora f y è differenziabile in zero. Si applica quindi quanto abbiamo dimostrato. Osserviamo però che f y (n) = e iny ˆf(n). Pertanto la prima parte della dimostrazione applicata alla funzione f y fornisce direttamente: N lim ˆf(n)e iny = f(y). N n= N Osservazione. Un esame accurato della dimostrazione ci porta a concludere che le ipotesi sulla funzione f possono essere alleggerite. Perché la serie di Fourier di f converga ad f nel punto y R è sufficiente supporre che f sia una funzione periodica integrabile in [, π] e che per y fissato risulti integrabile (secondo Riemann) la funzione f(x) f(y). x y Tanto basta infatti per ottenere che risulti integrabile la funzione, definita per x kπ, e periodica, g(x) = f y(x) f y (0), e ix che è quanto necessario per concludere la dimostrazione. Questo risultato più generale può essere utilizzato per dimostrare che la serie di Fourier di una funzione periodica regolare a tratti converge, in ogni punto, alla media tra il limite destro ed il limite sinistro in quel punto. 8

9 Definizione. Sia f una funzione periodica di periodo, integrabile nell intervallo [, pi]. Si dice che la serie di Fourier di f converge assolutamente se converge la serie, ˆf(n) (5) Osservazione 3 Osserviamo che ˆf(n) = a n + b n, dove ˆf(0) = a 0, ˆf(n) = a n ib n. Pertanto la serie (5) converge se e solo se converge la serie ( a n + b n ) n= I coefficienti a n e b n sono, naturalmente, quelli ottenuti con le formule [4.9] e [4.0] a pag. 98 del libro di testo. Osservazione 4 La convergenza assoluta della serie di Fourier di f implica la convergenza totale, e quindi uniforme, della serie ˆf(n)e inx, ed anche, naturalmente della corrispondente serie a 0 + (a n cos nx + b n sin nx). n= E facile ora dimostrare il seguente risultato: Teorema 3. Sia f una funzione periodica continua con derivata continua, allora la serie di Fourier di f converge, assolutamente e quindi uniformemente. dimostrazione. La derivata Df della funzione f è integrabile pertanto, per il Lemma, Df(n) = in ˆf(n) Df(x) dx. Pertanto ˆf(n) = n 0 n= n in ˆf(n) + n= 9 in ˆf(n) n Df(n). n 0

10 Osserviamo ora che la nota disuguaglianza xy x + y, implica che Ne segue che n= n Df(n) ( n + Df(n) ). ˆf(n) ˆf(0) + n + n 0 n 0 Df(n) <. 0