ANALISI MATEMATICA 1 ESERCIZI ASSEGNATI IN AULA O A CASA Corso di Laurea in Matematica aa 2003/04 01/03/04

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1 ANALISI MATEMATICA ESERCIZI ASSEGNATI IN AULA O A CASA Corso di Laurea in Matematica aa 2003/04 0/03/04 Esercizio. Calcolare la somma della serie ( 2 k ). 3 k 2 k Esercizio 2. Scrivere sotto forma di frazione i seguenti numeri 0. 7, 0. 2, 0. 9, Esercizio 3. Stabilire il carattere della serie k=0 k 4 2k. 03/03/04 Esercizio 4. Se scriviamo i numeri reali in forma decimale, come distinguiamo se sono razionali o irrazionali? Motivare la risposta. Esercizio 5. Dato un numero reale scritto in forma decimale, esso corrisponde ad una serie. Sono sicuro che si tratti di una serie convergente? Esercizio 6. Stabilire il carattere delle serie k= k e k, k= k! e log k k= k. 3 05/03/04 Esercizio 7. Stabilire il carattere delle serie log k, log k k= k 2 Esercizio 8. Stabilire il carattere della serie k= a k,sea k := { Ripetere l esercizio se a k := k, k pari, k, k dispari. 5 { e ( k= tan( k )) 2. 2 k, k pari, 3 k, k dispari. in aula 08/03/04 Esercizio. Stabilire il carattere delle seguenti serie numeriche n n 3 +, n sin( n 3 + ), ( log +q n) con 0 <q<.

2 Esercizio 2. a. 2n 5. n b. Determinare i valori x IR per cui la serie ( ) n 2x +x converge e scriverne il 2 valore della somma. Esercizio 3. n= 2n n! n n Esercizio 4. (l asterisco indica un esercizio un po più impegnativo) (i) Sia a n una successione a termini nonnegativi e sia f :[0, + ) [0, + ) Lipschitziana (ossia esista L>0 tale che f(x) f(y) L x y, x, y [0, + )) e tale che f(0) = 0. Dimostrare che a n < + implica f(a n) < +. (ii) Trovare una successione a n a termini nonnegativi e una f :[0, + ) [0, + ) continua e tale che f(0) = 0 per cui valgano a n < + e f(a n)=+. Per casa (da consegnare ai docenti per riaverlo corretto) Esercizio 5. a. Determinare per quali x 0 la serie ( n n= 2n x+ n x+3) converge. 2 b. Studiare, al variare di a>0, la convergenza della serie an a 2 n. 0/03/04 Esercizio 6. Studiare se converge semplicemente e se assolutamente la serie k= xk k, x IR. Esercizio 7. In analogia al procedimento usato per studiare la serie armonica generalizzata, dimostrare il seguente criterio per serie a termini positivi: CRITERIO INTEGRALE. Sia a k = f(k) dove f : [, + ) [0, + ) è una funzione decrescente. Allora a) + f(x)dx converge k= a k converge, b) + f(x)dx diverge k= a k diverge. /03/04 Esercizio 8. Studiare se converge semplicemente e se assolutamente la serie k= ( ) k k k.

3 2/03/04 Esercizio 9. Studiare per quali x IR converge semplicemente e per quali assolutamente la serie (sin x) k 3 k2. Esercizio 0. (difficile) Studiare per quali x [ 2, 2] converge la serie (k + x) kx k=3 k!. in aula 5/03/04 Esercizio. Studiare se converge semplicemente e se assolutamente la serie ( ) k k log k. Esercizio 2. Per ciascuna delle seguenti serie studiare per quali x IR converge k= x k k!, k=0 ( x ) k, +x 2 k k x k. k= Esercizio 3. Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche n= ( n 2 5n + ) n 2 n 2, 4n +2 n= ( n log + 4 ). n Esercizio 4. usando il criterio integrale stabilire per quali β>0 converge la serie n=2 n log β n. 3

4 Per casa (da consegnare ai docenti per riaverlo corretto) Esercizio 5. Studiare, al variare di x IR, la convergenza semplice ed assoluta della serie n= xn n. 2 Esercizio 6. Sia a n una serie assolutamente convergente. Dimostrare che la serie a n +a n è assolutamente convergente (dove a n, n IN). 9/03/04 Esercizio 7. Sia f n (x) = nx2 2 n +nx. Dire se le derivate delle f n convergono uniformemente nell intervallo [, 5] e dedurne quanto possibile sul comportamento delle f n per n. Ripetere l esercizio negli intervalli [0, 5] e poi in [, + ). in aula 22/03/04 Esercizio 8. a) Studiare per x 0 la convergenza puntuale e uniforme della successione f n (x) = x 2 + n sin( nx ), x 0. b) Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione {, 0 <x f n (x) = n, 0, n <x. Se la convergenza non fosse uniforme, trovare un sottintervallo in cui lo sia. Esercizio 9. Per x [0, 2] studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione f n (x) =x nx2 +n, e disegnare il grafico approssimativo della f n generica e della funzione limite f (dopo averne calcolato i punti di massimo e minimo assoluti e i valori massimo e minimo assoluto). 4

5 Esercizio 20. Verificare che la successione di funzioni f n (x) =nx( x 2 ) n, è uniformemente convergente nell intervallo [0, ]. Esercizio 2. Sia f n (x) = + x n + x, x IR. 2n i) Dimostrare che converge puntualmente in IR e determinare il limite f; ii) Dimostrare che non si ha convergenza uniforme in IR. iii) Dimostrare che si ha convergenza uniforme in I =( 2, 2 )einj = { x 2}. iv) Esiste un insieme che contiene strettamente I J in cui si ha convergenza uniforme? Per casa (da consegnare ai docenti per riaverlo corretto) Esercizio 22. i) Studiare la convergenza puntuale e uniforme di f n (x) := nx +nx nell intervallo [0,a], a > 0. Indicare con f la funzione limite. ii) Verificare che lim n f n(x) =f (x), x > 0. Potevo prevedere questo risultato dallo studio fatto in i)? a iii) Verificare che lim n 0 f n(x) dx = a f(x) dx. Potevo prevedere questo risultato 0 dallo studio fatto in i)? 25/03/04 Esercizio 23. i) Verificare che la serie k= kxk converge uniformemente nell intervallo [ 2, 2 ], e indicare con g(x) la sua somma. ii) Utilizzare il teorema di derivazione per serie nell intervallo [0,y], y [0, 2 ]e riconoscere che y g(x) dx è la somma di una serie nota. Estendere il discorso 0 all intervallo [ 2, 0]. iii) Dedurre qual è la somma g(x) della serie di partenza e osservare quali teoremi si sono utilizzati per rispondere alle varie domande. 29/03/04 Esercizio 24. Determinare l insieme di convergenza delle seguenti serie di funzioni k!x k, k= k= x k k k, (log k) 3 x k 5 k + k, ( ) k x k 2 k log k. 5

6 in aula 29/03/04 Esercizio 25. a) Stabilire per quali valori di a > 0 la serie [a, + ). b) Stabilire per quali valori di a>0 la serie n= su [a, + ). n= n x ( ) n+ n x converge totalmente su converge uniformemente Esercizio 26. Sia a>0. Provare che f n (x) =n log( + x n ), converge uniformemente in [ a, a] e calcolarne la funzione limite. [suggerimento: usare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata] Esercizio 27. Studiare la convergenza uniforme in [, ] della serie (x n n xn+ ) n + n= e calcolarne la somma. [suggerimento: la serie è telescopica, quindi se ne calcolano facilmente le somme parziali] Esercizio 28. Sia f (x) = { 0, x, +x, x (, 0], x, x (0, ], e si ponga f n (x) = n f ( x n ). Studiare la convergenza puntuale e uniforme su IR della successione di funzioni così ottenuta. Dire inoltre se vale la seguente uguaglianza + lim n f n(x) dx = + lim n f n (x) dx. [suggerimento: tracciare il grafico di una generica f n (x)] Per casa (da consegnare ai docenti per riaverlo corretto) Esercizio 29. Studiare la convergenza assoluta, uniforme e totale della serie n= ( ) n+ n + x 2, x IR. 6

7 0/04/04 Esercizio 30. Determinare l insieme di convergenza delle seguenti serie di potenze (x ) k k log k, k= (x +2) k ( ) 3 k+2 + (sin k) 2, cos(kπ) 4 k x k ( ) 00. log(k +) k= in aula 05/04/04 Esercizio 3. Studiare la convergenza della serie (x 2 +3x +) n n +. Esercizio 32. Scrivere la serie di Taylor di punto iniziale x 0 = 2 per la funzione f(x) =e x 2 e studiarne la convergenza. Esercizio 33. In IR studiare la convergenza della serie log ( + ) x n. n + Esercizio 34. Determinare il raggio di convergenza delle serie di potenze n= 5 n+ n(log n) 2 (x +3)n, n= (2 n +3 n ) (x +) n. n Per casa (da consegnare ai docenti per riaverli corretti) Esercizio 35. Scrivere la serie di Taylor della funzione sin(x 2 ) di punto iniziale x 0 =0, dire se essa converge alla funzione stessa e dire in particolare qual è il valore della sua derivata di ordine 30. [suggerimento: si usi una sostituzione e si giustifichi ogni affermazione] 7

8 Esercizio 36. Sia f C (IR) tale che f (x) =f(x)+e x, x IR e f(0) =. (i) Scrivere la serie di Taylor della f di punto iniziale x 0 =0. (ii) Dimostrare che sup f (k) (x) M k := sup ( f(x) + ke), k IN. x (,) x (,) (iii) Utilizzando la (ii) dimostrare che la f è somma della sua serie di Taylor in (, ) in aula 5/04/04 Esercizio 37. [6 punti] Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie k= ( ) k klog 2 (k +2). Esercizio 38. [7 punti] Calcolare il limite puntuale della successione di funzioni f n (x) =n sin x n per x [0,π] e studiarne la convergenza uniforme. Esercizio 39. [8 punti] Determinare l insieme di convergenza della serie di potenze k= ( k + ) k x k. 2k Esercizio 40. [6 punti] Calcolare l integrale 0 ex2 dx. Esercizio 4. [6 punti] Studiare la convergenza puntuale, assoluta ed uniforme della serie di funzioni ( ) k 2k + (x2 ) 2k k=0 in IR. Inoltre (i) determinare un intervallo in cui vi sia convergenza totale; (ii) la somma della serie è derivabile per x [ 2, ]? 8