Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica 1

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica 1 16 febbraio 017 Scrivere subito nome e cognome e matricola sul foglio risposte e preparare il libretto sul banco per il controllo. Tempo 30 minuti. Durante la prova non si può uscire dall aula. Non si possono consultare libri, appunti, manuali. Non si possono usare calcolatrici, computer di ogni genere o telefoni cellulari. Consegnare solo il foglio risposte. Le risposte valide sono SOLO quelle segnate sul foglio che si consegna. Ogni domanda ha una e una sola risposta giusta. N.A. significa nessuna delle altre, mentre N.E. significa non esiste Non usare matite e/o penne rosse sul foglio risposte. Indicare la risposta nell apposita maschera con una X. Per effettuare correzioni, barrare tutta la linea e scrivere CHIARAMENTE e INEQUIVOCABILMENTE la risposta corretta a destra della linea stessa. CODICE=65885

2 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica 1 16 febbraio 017 (Cognome) (Nome) (Numero di matricola) A B C D E CODICE=65885

3 PARTE A 1. La derivata della funzione (sin(x)) cos(πx) nel punto x = 1/ vale A: N.A. B: π sin(1/) cos(π/) sin(π/) C: + D: π log ( sin ( )) 1. La funzione f(x) : [0, π] R definita da f(x) = 1 + sin(x) è E: π log ( ) π A: iniettiva B: surgettiva C: derivabile almeno una volta D: N.A. E: negativa o nulla 3. La serie di potenze risulta convergente per n= arctan(n) 3n + 4n xn A: x < 1 B: x = 0 C: N.A. D: 1 x 1 E: R 4. Inf, min, sup e max dell insieme valgono A = {x R : e x > 1 e } A: N.A. B: { 1, N.E., 1, N.E.} C: {1/e, 1/e, e, e} D: {, N.E., +, N.E.} E: {1, 1, +, N.E.} 5. Il minimo della funzione f(x) = 1 + tan(x) e 4 1+x su ( 1, 1) è A: N.A. B: N.E. C: 0 D: 1 E: 1 + tan(π/4) e 4 1+π /16 6. Il limite vale A: 1 B: 0 C: + D: N.A. E: 1/ 7. L integrale vale e x 1 sin(x) lim x 0 sin(x) tan(x) + 1 x 3x dx A: log(3/). B: N.A. C: log(/3) D: 0 E: 1 8. L integrale vale 3 x 1 x dx A: log(3/8) B: N.A. C: log(8/3) D: N.E. E: arctan(3) arctan() { y 9. Data y soluzione del problema di Cauchy = xy allora y(1) vale y(0) = 1 A: 0 B: e C: N.A. D: N.E. E: e 10. Trovare il modulo del numero complesso z w dove z = e iπ e w = 1 + i A: + i B: C: D: N.A. E: 5 CODICE=65885

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7 PARTE A 1. Inf, min, sup e max dell insieme valgono A = {x R : e x > 1 e } A: N.A. B: { 1, N.E., 1, N.E.} C: {, N.E., +, N.E.} D: {1/e, 1/e, e, e} E: {1, 1, +, N.E.}. La funzione f(x) : [0, π] R definita da f(x) = 1 + sin(x) è A: surgettiva B: derivabile almeno una volta C: negativa o nulla D: N.A. E: iniettiva 3. Trovare il modulo del numero complesso z w dove z = e iπ e w = 1 + i A: + i B: C: D: N.A. E: 5 4. L integrale vale 3 x 1 x dx A: log(3/8) B: N.E. C: arctan(3) arctan() D: N.A. E: log(8/3) 5. Il minimo della funzione f(x) = 1 + tan(x) e 4 1+x su ( 1, 1) è A: N.E. B: 0 C: 1 + tan(π/4) e 4 1+π /16 D: N.A. E: 1 6. Data y soluzione del problema di Cauchy A: e B: N.A. C: 0 D: e E: N.E. { y = xy y(0) = 1 allora y(1) vale 7. Il limite vale A: + B: 1 C: 1/ D: 0 E: N.A. e x 1 sin(x) lim x 0 sin(x) tan(x) 8. La derivata della funzione (sin(x)) cos(πx) nel punto x = 1/ vale A: + B: π log ( ) π C: N.A. D: π log ( sin ( )) 1 E: π sin(1/) cos(π/) sin(π/) 9. L integrale vale + 1 x 3x dx A: N.A. B: log(3/). C: 1 D: 0 E: log(/3) 10. La serie di potenze risulta convergente per n= arctan(n) 3n + 4n xn A: x < 1 B: R C: x = 0 D: 1 x 1 E: N.A. CODICE=78691

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11 PARTE A 1. Data y soluzione del problema di Cauchy A: e B: N.E. C: N.A. D: e E: 0 { y = xy y(0) = 1 allora y(1) vale. L integrale vale + 1 x 3x dx A: log(3/). B: N.A. C: 1 D: log(/3) E: 0 3. La funzione f(x) : [0, π] R definita da f(x) = 1 + sin(x) è A: derivabile almeno una volta B: negativa o nulla C: surgettiva D: N.A. E: iniettiva 4. Trovare il modulo del numero complesso z w dove z = e iπ e w = 1 + i A: B: N.A. C: D: 5 E: + i 5. Il minimo della funzione f(x) = 1 + tan(x) e 4 1+x su ( 1, 1) è A: N.E. B: N.A. C: 1 D: 1 + tan(π/4) e 4 1+π /16 E: 0 6. La derivata della funzione (sin(x)) cos(πx) nel punto x = 1/ vale A: + B: π log ( ) π C: π log ( sin ( )) 1 D: N.A. E: π sin(1/) cos(π/) sin(π/) 7. La serie di potenze risulta convergente per n= arctan(n) 3n + 4n xn A: R B: x < 1 C: x = 0 D: 1 x 1 E: N.A. 8. L integrale vale 3 x 1 x dx A: N.A. B: log(3/8) C: arctan(3) arctan() D: log(8/3) E: N.E. 9. Inf, min, sup e max dell insieme valgono A = {x R : e x > 1 e } A: N.A. B: { 1, N.E., 1, N.E.} C: {1/e, 1/e, e, e} D: {1, 1, +, N.E.} E: {, N.E., +, N.E.} 10. Il limite vale A: 0 B: 1 C: + D: 1/ E: N.A. e x 1 sin(x) lim x 0 sin(x) tan(x) CODICE=03570

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15 PARTE A 1. Il limite vale A: 1/ B: 0 C: N.A. D: + E: 1 e x 1 sin(x) lim x 0 sin(x) tan(x). Il minimo della funzione f(x) = 1 + tan(x) e 4 1+x su ( 1, 1) è A: 1 B: 0 C: N.A. D: 1 + tan(π/4) e 4 1+π /16 E: N.E. 3. L integrale vale + 1 x 3x dx A: log(3/). B: 1 C: N.A. D: 0 E: log(/3) 4. La derivata della funzione (sin(x)) cos(πx) nel punto x = 1/ vale A: π log ( sin ( )) 1 B: π log ( ) π C: π sin(1/) cos(π/) sin(π/) D: + E: N.A. 5. Inf, min, sup e max dell insieme valgono A = {x R : e x > 1 e } A: {, N.E., +, N.E.} B: N.A. C: {1/e, 1/e, e, e} D: {1, 1, +, N.E.} E: { 1, N.E., 1, N.E.} 6. La funzione f(x) : [0, π] R definita da f(x) = 1 + sin(x) è A: iniettiva B: negativa o nulla C: surgettiva D: N.A. E: derivabile almeno una volta 7. Trovare il modulo del numero complesso z w dove z = e iπ e w = 1 + i A: 5 B: + i C: N.A. D: E: { y 8. Data y soluzione del problema di Cauchy = xy y(0) = 1 A: N.A. B: e C: 0 D: N.E. E: e 9. L integrale vale 3 x 1 x dx allora y(1) vale A: N.A. B: N.E. C: arctan(3) arctan() D: log(8/3) E: log(3/8) 10. La serie di potenze risulta convergente per n= arctan(n) 3n + 4n xn A: 1 x 1 B: N.A. C: x = 0 D: R E: x < 1 CODICE=796987

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19 PARTE A 1. La serie di potenze risulta convergente per n= arctan(n) 3n + 4n xn A: R B: 1 x 1 C: N.A. D: x = 0 E: x < 1. Inf, min, sup e max dell insieme valgono A = {x R : e x > 1 e } A: N.A. B: {, N.E., +, N.E.} C: {1/e, 1/e, e, e} D: {1, 1, +, N.E.} E: { 1, N.E., 1, N.E.} 3. L integrale vale 3 x 1 x dx A: log(3/8) B: N.E. C: log(8/3) D: N.A. E: arctan(3) arctan() 4. Il minimo della funzione f(x) = 1 + tan(x) e 4 1+x su ( 1, 1) è A: 1 + tan(π/4) e 4 1+π /16 B: 1 C: N.A. D: N.E. E: 0 5. L integrale vale + 1 x 3x dx A: N.A. B: 1 C: 0 D: log(3/). E: log(/3) 6. La derivata della funzione (sin(x)) cos(πx) nel punto x = 1/ vale A: + B: N.A. C: π sin(1/) cos(π/) sin(π/) D: π log ( sin ( )) 1 7. Data y soluzione del problema di Cauchy A: N.A. B: e C: N.E. D: 0 E: e { y = xy y(0) = 1 allora y(1) vale E: π log ( ) π 8. La funzione f(x) : [0, π] R definita da f(x) = 1 + sin(x) è A: surgettiva B: negativa o nulla C: derivabile almeno una volta D: N.A. E: iniettiva 9. Trovare il modulo del numero complesso z w dove z = e iπ e w = 1 + i A: N.A. B: C: + i D: 5 E: 10. Il limite vale A: 1/ B: N.A. C: 0 D: 1 E: + e x 1 sin(x) lim x 0 sin(x) tan(x) CODICE=446754

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31 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Prova scritta di Analisi Matematica 1 16 febbraio 017 PARTE B 1. a) Si studi la funzione f(x) = x 3 e x per x > 0, individuando in particolare i punti di massimo e minimo locale e assoluto. b) Si studi al variare di k R il numero di soluzioni di ke x = x 3. Soluzione. a) La funzione si può scrivere come { x f(x) = 3 e x, x 0 x 3 e x, x < 0 e si ha immediatamente che f(x) > 0 per x 0 e f(0) = 0. Inoltre lim f(x) =. Per la derivata prima abbiamo x { f (3 x)x (x) = e x, x > 0 (x 3)x e x, x < 0. lim f(x) = 0 e x + La funzione risulta anche derivabile in zero con f (0) = 0. Inoltre la funzione è decrescente fino a zero, crescente fino al punto x = 3 e di nuovo decrescente per x > 3, quindi in x = 0 abbiano un minimo locale e in x = 3 un massimo locale di valore f(3) = 7 e. Per la derivata 3 seconda abbiamo { f (x (x) = 6x + 6)xe x, x > 0 (x 6x + 6)xe x, x < 0, e la funzione in zero è derivabile anche una seconda volta con f (0) = 0. Dall espressione della derivata segue che la funzione ha un flesso per x = 3 3 e uno in x = b) Per trovare il numero di soluzioni basta vedere quante soluzioni ammette x 3 e x = k. Dallo studio di funzione segue immediatamente che il numero di soluzioni è : nessuna per k < 0; una per k = 0: tre per 0 < k < 7/e 3 ; due per k = 7/e 3 ; una per k > 7/e 3.. a) Si consideri, per n N, il problema di Cauchy { y (x) = x n y(0) = 0 e y (0) = 1. Chiamata y n (x) la soluzione, si calcoli, al variare di n lim y n(1/). n + CODICE=446754

32 Figura 1: grafico approssimativo di f(x) = x 3 e x b) Si trovi la soluzione del problema di Cauchy { y (x) = x y(1) = 0 e y (1) = 1. Soluzione. a) Integrando una volta si ottiene che y n = xn+1 n+1 + c 1 e integrando una seconda x volta si ha y n = n+ (n+1)(n+) + c 1x + c e sostituendo le condizioni iniziali si ottiene che x y n = n+ (n+1)(n+) + x. Quindi lim n y n ( ) 1 = lim n 1 n+ (n )(n + 1) + 1 = 1. b) Procedendo come prima si ha y n = 1 x + c 1 e y n = log(x) + c 1 x + c. Imponendo le condizioni iniziali si ottiene y n = x log(x). 3. Studiare, al variare di a > 0 la convergenza dell integrale 5 0 x 3ax + a x dx. 1 Se esistono valori di a per cui l integrale risulta convergente, calcolarne il valore. Soluzione. a) L integrando si può scrivere come a x = 1 si ha che x 3ax a x 1 (x a)(x a). Se a 1, 1/ allora vicino (x 1)(x + 1) 1 x 1, che diverge. Se invece a = 1 o a = 1/ il denominatore si semplifica e la funzione risulta limitata in [0, 5], dunque integrabile. Quindi l integrale è convergente se e solo se a = 1 o a = 1/. CODICE=446754

33 b) Per a = 1 si ha 5 0 x x + 1 dx = 5 In modo del tutto analogo per a = 1/ si ottiene x 1/ x + 1 dx = ( 1 3 ) dx = [x 3 log x + 1 ] 5 0 x + 1 = 5 3 log(6). 5 0 ( 1 3 ) 1 dx = 5 3 x + 1 log(6). 4. Data la funzione f(x) = sin ( π ) x ]1/100, 1]. x sia A l insieme dei punti di massimo relativo e B l insieme dei punti di minimo relativo. Calcolare #A #B. Soluzione. Con la sostituzione x = 1/t, si scopre che il problema è equivalente a calcolare la differenza tra il numero di massimi e il numero dei minimi locali della funzione g(t) = sin ( π t) per t ]1, 100[. Sappiamo che i massimi relativi si ottengono quando π t = π + kπ, ovvero per t = 1 + 4k e che i minimi relativi si ottengono quando π t = 3π + kπ, ovvero per t = 3 + 4k. Quanti di questi punti stanno in ]1, 100[? Per k = 0 nessun punto appartiene all intervallo. Per k = 1,..., 4 entrambi i punti stanno nell intervallo, mentre per k 5 nessun punto appartiene all intervallo considerato. Quindi #A #B = 0. CODICE=446754