Lezione 1-03/10/2018, dalle alle in aula 3 - Esempi svolti: Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 28/09/2018.

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Lazzaro Volpe
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1 DIARIO DELLE LEZIONI DI TUTORATO DI ANALISI MATEMATICA I Corsi di laurea in Ingegneria delle Comunicazioni e Ingegneria Elettronica Tutor: Dott. Salvatore Fragapane Lezione 1-0/10/018, dalle 1.00 alle in aula Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 8/09/018. Inoltre: Es.1 Determinare i seguenti insiemi numerici: {x R : x 4 x + x = 0} {x R : 1 x + 1 x 0}. i) Dimostrare la seguente uguaglianza: (b) {x R : x + x + 1}. A \ (B \ C) = (A \ B) (A C). ii) Dati gli insiemi e A = {n N : n < 6} B = {n N : n è un divisore primo di 0} {1, 4}, dire se c è una qualche relazione di inclusione tra essi. iii) Provare che inf( 1, ) = 1. iv) Determinare inf e sup dei seguenti insiemi numerici, specificando se si tratta di min e max: A = { n + 7 n + 1 : n N}.

2 (b) B = { ( 1)n+1 n : n N}. n + (c) C = { ( 1)n n n + 1 : n N}. v) Determinare i seguenti insiemi numerici: {x R : x 4 10x + 9 = 0} {x R : x 5}. (c) {x R : (b) {x R : x + x + < x + }. x + x + x 1} {x R : 4 x < 1}. (d) {x R : x } {x R : x + x < 0}. (e) {x R : x x < x } {x R : x 4 x > 7}. Lezione - 10/10/018, dalle 1.00 alle in aula Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 05/10/018. Inoltre: Es.1 Dimostrare, usando il principio di induzione, che la seguente proprietà P (n) è vera per ogni n N. n P (n) : k (n + 1)(n + )(n + 1) =. 6 k=1 i) Raprresentare graficamente le seguenti funzioni, precisandone il dominio, l immagine, la monotonia e le eventuali simmetrie: f(x) = max{ x, x } (b) f(x) = min{1, x} ii) Determinare il dominio naturale delle seguenti funzioni: f(x) = log 8(x + x + 1), 5 x 1 15 x + 1 (b) f(x) = log (x 1) + x,

3 x4 x (c) f(x) = + log (log 1 (x )), (d) f(x) = x + 5 π x 4 + x iii) Determinare l insieme numerico individuato dalle soluzioni delle seguenti equazioni: x+1 > x, (b) log (x 1) + log (x + ) > 1 + log x, (c) x + x > x, (d) log ( 1 x ) 1, 1 x (e) x, x (f) x x 7 > 1 4x, (g) 4 x 4 x log (7 x ). Lezione - 17/10/018, dalle 1.00 alle in aula Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 1/10/018. Inoltre: Es.1 Rappresentare graficamente le seguenti funzioni, precisando sup e inf (ed eventuali minimi e meassimi assoluti): f(x) = log (x 7), (b) f(x) = sin(x + π ). 4 Es. Determinare il dominio naturale delle seguenti funzioni: f(x) = x + 1 x + x 1, (b) f(x) = sin(arcsin(7x 4)), (c) f(x) = tan(arcsin(x )),

4 log (d) f(x) = (x 1) log (4x 7) 1. i) Rappresentare graficamente le seguenti funzioni, precisando sup e inf (ed eventuali minimi e meassimi assoluti): f(x) = log 5 (x ) +, x (, 5], (b) f(x) = x+1, x (0, 7). ii) Determinare il dominio naturale delle seguenti funzioni: f(x) = arcsin( x 5), (b) f(x) = arctan(x + x 4 x 4), (c) f(x) = tan(x + π ), (d) f(x) = x+log 5 (x ) 1. (e) f(x) = log (log ( x 1)), (f) f(x) = (7x 8x + 1) π 1. x x 1 1 iii) Determinare inf e sup (min e max) delle seguenti successioni: a n = n + 1 n + 5, (b) a n = n n + 1, (c) a n = n 4 + 4n, Lezione 4-4/10/018, dalle 1.00 alle in aula Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 19/10/018. i) Verificare i seguenti iti usando la definizione. n n + 1 = 4 x ; (b) x 0 x 4 = ;

5 1 (c) x 1 x + 1 = 1 ; (d) arctan(x) = π x ; (e) x x 9 x (g) x + 1 = 6 ; (f) x + 1 = + ; +1 x 5 x = 0 ; x (i) x 1 x + 1 (h) x 0 x = ; = 1 ; (l) sin ( 1 n ) = 0. Lezione 5-1/10/018, dalle 1.00 alle 1.0 in aula Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 6/10/018. Inoltre: Es.1 Calcolare, se esistono, i seguenti iti. (c) x + x ; (b) x + ( n + 1 n 1) ; ( n + n + 1 log n 1) ; (d) 4 (x + 4 x ) log (1 + x ). Es. Verificare il seguente ite, usando la definizione. 1 x x 0 x =. Lezione 6-07/11/018, dalle 1.00 alle in aula Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 0/11/018. i) Calcolare, se esistono, i seguenti iti: x 7 x + 1 x 6 x 7 + 7x ; arctan(ln(1 + x)) (c) ; (d) x 0 x (e) x π cos x (x π ) ; (f) 5 (b) x 1 7x + x x + ; n + 1 n a + 7n, a R ; 1 a ( x + 1 ) x 5 x ; x +

6 (k) (i) (g) [ x 1 ]x ; (h) x 0 + xx+1 ; 1 cos x tan x arcsin x ; (j) x x 0 (e x 1) ln(1 + x ) ; x [ln(x + x) ln(x + 1)] ; (l) (sin + n 1 n)n ; 4n + 7 (o) (m) n!e n n n 4n (1 e 1 x )x x 9 1 cos 1 ; (n) x sin(x ) x (a + 1) n 4 ; (p) n+1 + n, a 1. Lezione 7-14/11/018, dalle 1.00 alle in aula Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 09/11/018. Inoltre: Es.1 Dire per quali valori del parametro x R le seguenti serie risultano convergenti e calcolarne la somma. n=0 (x + x 1) n, (b) ( x 4 ) n. Es. Studiare, al variare di α R dove presente, il carattere delle seguenti serie numeriche. (c) [arctan(n + 1) arctan(n)], ( n α n ) +, (d) n α+1 + i) Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche. (b) ln(1 + 1 ) n sin 1, n ( n + 1 ) n. n + n n 5 + 1, (b) + 1 ne n, (c) 10 n + n 1, + (d) [ n + 7 n 1], 6

7 (e) [ n + n n]. Lezione 8-1/11/018, dalle 1.00 alle in aula Svolgimento di alcuni esercizi della settimana del 16/11/018. Inoltre: Es.1 Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche. ( ) n n + 1 Es. Studiare la continuità delle seguenti funzioni (al variare di α R dove richiesto). e 1 x, x 0 x α 1 f(x) =, (b) f(x) =, x > 1 cos x, x π x 1 x, (c) f(x) = π 0, x = 0 αx x + 1, x 1, x = π. i) Studiare il carattere delle seguenti serie numeriche (al variare di α R dove richiesto). ( 1 ) tan, (b) n + 1 tan n!en n n+, + (c) ( 1) n 1 n + 7, n=0 (f) (d) n=0 sin n n + n + 1, n n α + ln n, (e) + n α (1 e 1 n ), + (g) ( n n n ) n, n 1 ii) Studiare la continuità delle seguenti funzioni (al variare di α R dove richiesto). x sin 1 x f(x) =, x 0 ln(1+x ), x 0 (1 + αx 4 ) 1 x, x > 0 x, (b) f(x) =, (c) f(x) = 0, x = 0 0, x = 0 α, x = 0 x +αx, x < 0 x +x 7

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