Michela Eleuteri ESERCIZIARIO DI ANALISI MATEMATICA I

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1 Michela Eleuteri ESERCIZIARIO DI ANALISI MATEMATICA I Università degli Studi di Verona, Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica a.a. /

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3 A Giulia con la speranza che almeno nella matematica non assomigli al papà

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5 Indice Numeri 7. Equazioni e disequazioni: esercizi proposti Trigonometria: esercizi proposti Estremo superiore e inferiore/massimo e minimo: esercizi proposti Numeri complessi Esercizi svolti Esercizi proposti Test a risposta multipla Esercizi riguardanti graci di funzioni elementari 37. Esercizi proposti Esercizi riguardanti domini di funzioni reali di variabile reale Esercizi proposti di primo livello Esercizi proposti di secondo livello Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse Funzioni inverse: esercizi proposti Funzioni composte: esercizi proposti Funzioni composte e inverse: test a risposta multipla Esercizi riguardanti limiti di successioni e funzioni 6 5. Limiti di successioni: esercizi proposti Denizione di limite di funzioni: test a risposta multipla Limiti di funzioni: esercizi svolti Limiti di funzioni: test a risposta multipla Attenzione! Applicazioni del teorema dei valori intermedi Il problema del monaco buddista

6 INDICE 6. Test a risposta multipla Derivate di funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Derivate: test a risposta multipla Retta tangente: test a risposta multipla Continuità e derivabilità: test a risposta multipla Derivate: esercizi di ricapitolazione proposti Esercizi riguardanti estremi locali di funzioni reali di una variabile reale 5 8. Continuità, derivabilità, massimi e minimi: domande di tipo teorico Estremo superiore e inferiore, massimi e minimi, asintoti obliqui Studio del graco di funzioni reali di una variabile reale 5 9. Studio di funzioni: esercizi proposti Andamento qualitativo del graco di una funzione attorno all'origine: esercizi proposti Esercizi riguardanti approssimazione e polinomi di Taylor 5. Algebra degli o piccoli Stima dell'errore Limiti di funzioni risolti tramite l'uso di polinomi di Taylor Polinomi di Taylor e approssimazione Esercizi riguardanti serie numeriche 39. Esercizi proposti Test a risposta multipla Esercizi proposti (di secondo livello) Esercizi riguardanti integrali 53. Integrali indeniti Integrali immediati e per sostituzione Integrali di funzioni razionali Integrali per parti Esercizi di riepilogo Integrali deniti Integrali generalizzati e funzione integrale Esercizi di tipo teorico Aree e volumi

7 INDICE 3 Esercizi riguardanti equazioni dierenziali ordinarie 9 3. Equazioni dierenziali ordinarie del primo ordine Esercizi svolti Esercizi proposti Test a risposta multipla Equazioni dierenziali ordinarie del secondo ordine Esercizi svolti Esercizi proposti Principio di induzione e successioni denite per ricorrenza 3 4. Principio di induzione Successioni denite per ricorrenza Esercizi con traccia della soluzione Esercizi proposti

8 INDICE 6

9 CAPITOLO Numeri.. Equazioni e disequazioni: esercizi proposti Esercizio.. Risolvete le seguenti disequazioni )x 5x + 6 > )(x + )(x )(x 3) < 3)(x )(x + )(x x 6) 4) x x + x + x < 5)3x ) 6 x 4 7)3( x) < (3 + x) 8) x + x 9) x ) x 3x 4 x < x + ) 3x 7 < ) x + 5 < 3) x x 4) < 5) x + > x 3 6) x 3 < x 7)(e x 5) + 5(e x 5) + > 8) x(x 3) 9) x + x ) x x + ) x(x 3) > x 7

10 Numeri R. ) x < 5 6 x > ) x < < x < 3 3) 4)x < < x < + x > 5) 6) 7) 8) 9) ) ) 5 3 < x < 3 ) 3 < x < 3) 4) 5)x > 6)x < 3 x > 7) 8) 9) ) ) 5) La soluzione è x >. Infatti si distinguono tre casi: x <, x 3, x > 3. Si ha: x < x > x + 3 x 3 x + > x + 3 x > 3 x + > x 3 quindi x < impossibile x 3 x > x > 3 qualunque x Mettendo assieme i risultati dei vari sistemi si ottiene la soluzione data. 6) La soluzione è x < 3 x >. Infatti si distinguono tre casi: x <, x 3, x > 3. Si ha: x < x + 3 < x x 3 x + 3 < x x > 3 x 3 < x quindi x < x < 3 x 3 x > x > 3 x > Mettendo assieme i risultati dei vari sistemi si ottiene la soluzione data. 8

11 . Equazioni e disequazioni: esercizi proposti Esercizio.. Risolvete le seguenti equazioni ) x 4 x = (x ) x + 3) x = 4 x 4) 3x x = x 5) x + = x 3 6) x = 7)7 x = 8)4 x = 3 9)4 x = 3 x 3) x = 3 x+ 3)3 x 3 x 5 = 3) log 3 x = 3 33) log 3 x = log 3 log 3 (x + ) 34) log x + log 4 x = 3 35)4 log 4 x log ( + x) = 36) log x e + log x = 37) log π x = R. )x 3)x = 6 3 4)x = 5)x = 6) 7) 8)x = log 4 3 oppure equivalentemente x = log 3 log 4 log 3 3)x = log log 3 3)x = 3)x = 7 33)x = 9) 34)x = 4 35) 36)x = e 37) ( log + ) ) La soluzione è x. Infatti innanzitutto bisogna porre l'esistenza delle radici, quindi bisogna mettere a sistema x 4, x e x + che dà x. A questo punto si semplicano ambo i membri per cui l'equazione data diventa un'identità, ragion per cui ogni x che soddisfa le condizioni di esistenza delle radici va bene. 3) La soluzione è x = 6 3. Infatti innanzitutto bisogna porre l'esistenza della radice, quindi x. D'altra parte, siccome sto uguagliando un secondo membro a una radice, che è sempre positiva (o nulla), devo porre l'ulteriore condizione che anche il secondo membro sia non negativo, altrimenti avrei un assurdo, quindi pongo anche 4 x cioè x 4. Le condizioni 9 log 3

12 Numeri sono dunque x 4. A questo punto elevo a quadrato ambo i membri e ottengo, dopo semplici calcoli, le soluzioni x = 6 ± 3; scarto la soluzione x = perché non rientra nell'intervallo individuato prima e ho la soluzione proposta. 4) La soluzione è x =. Infatti innanzitutto bisogna porre l'esistenza della radice a destra cioè x ; poi devo porre l'esistenza della radice a sinistra, cioè 3x x. Per risolvere quest'ultima prima pongo x poi elevo a quadrato e ottengo 9x 4x che risolta dà x x 4/9. Mettendo a sistema le tre condizioni x, x e x x 4/9 si ottiene la condizione 4/9 x. Ora posso elevare a quadrato nella mia equazione di partenza e ottengo 3x x = x che porta a x = x. A questo punto, prima di elevare di nuovo al quadrato, occorre porre una nuova condizione di compatibilità, cioè x (il secondo membro deve essere non negativo perché uguagliato a una radice) che messa a sistema con la precedente porta a / x. Ora posso elevare nalmente a quadrato ambo i membri e ottengo l'equazione 4x 5x + = che risolta dà: x = accettabile e x = /4 non accettabile per quanto detto sopra. 5) La soluzione è: x =. Infatti, si distinguono i tre casi: x < che non dà soluzioni, x 3 che dà come soluzione x = e inne ( x > 3 che non dà soluzioni. + log ) 3) L'unica soluzione accettabile è: x =. Infatti si pone 3 x = t; notare che deve log 3 essere t >, quindi se troverò t non positivi dovrò scartarli. Allora si deve risolvere t t 5 = che fornisce le soluzioni t = + accettabile e t = non accettabile perché negativa, da cui la soluzione proposta. 3) x = 7. Infatti basta ricordare che = log 3 3 da cui log 3 x = 3 log 3 3 = log quindi x = 7. 33) x =. Infatti basta prendere i logaritmi di ambo i membri, si ottiene x = da cui x = x+ oppure x = ; la soluzione x = non è accettabile a causa delle condizioni di esistenza del logaritmo (x > e x >, da cui deve necessariamente essere x > ) 34) x = 4. Infatti basta ricordare la formula del cambiamento di base log b x = log a x log a b e il fatto che log(ab) = log a + log b; quindi l'equazione di partenza si riduce a log x + log x log 4 = 3 log x + log x = 6 log (x x) = 6 3 log x = 6 x = 4 36) x = e. Infatti dalla formula del cambiamento di base si ottiene in particolare che log x a = log a x quindi l'equazione di partenza si riduce a log e x + log e x =

13 . Equazioni e disequazioni: esercizi proposti Si pone poi log e x = t da cui t t + = quindi t = e quindi x = e. Esercizio..3 Determinare, al variare di k R, il numero di soluzioni delle equazioni: 38) x 4 = k 39) 3x + = k 4) x 4 x = k Esercizio..4 Determinate i valori di x per cui si ha: 4) sin x = 3/ 4) cos x / 43) 3 sin x + cos x = 44) sin x cos x = R. 4)x = π 3 + kπ e x = π 3 + kπ, k Z 4) π 3 + kπ x 5 3 π + kπ, k Z 44) x = π e x = π. Infatti basta operare la sostituzione sin x = Y e cos x = Z mettendo a sistema l'equazione data che diventa Y Z = con la formula Y + Z = e risolvere poi il sistema ottenuto. Alternativamente si può operare la sostituzione t := tan x da cui sin x = t cos x = t + t + t Esercizio..5 Dite se le seguenti uguaglianze sono vere e motivare la risposta: 45)(( + a ) /3 ) 3/4 = + a 46)(( + a) /3 ) 3/4 = + a 47) a = a

14 Numeri.. Trigonometria: esercizi proposti Esercizio.. Dite per quali valori ha senso calcolare le seguenti espressioni 5) cos x 5) sin((x log( x)) 5) log(sin x + cos x) e 3x R. 5) kπ π 4 < x < 3 4 π + kπ, k Z oppure equivalentemente kπ < x < 3 4 π + kπ kπ + 7 π < x < π + kπ 4 Esercizio.. Determinate la tangente di x, dove x risolve l'equazione sin x 6 cos x sin x cos x = Esercizio..3 Determinate la tangente di x/ dove x risolve l'equazione sin x + 7 cos x + 5 =.3. Estremo superiore e inferiore/massimo e minimo: esercizi proposti Esercizio.3. Sia A = { } n : n N \ {}. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: n è crescente in n, quindi /n è decrescente in n, cioè <. Quindi sup A = n+ n raggiunto per n = quindi è anche un massimo. Congetturo che l'inf A =. Per dimostrarlo rigorosamente, devo far vedere che: (i) l = è minorante, cioè n N \ {} si ha < il che è sempre vero; n (ii) l = è il massimo dei maggioranti. Come si dimostra: ssato ε >, devo determinare n

15 .3 Estremo superiore e inferiore/massimo e minimo: esercizi proposti tale che + ε non sia più minorante, cioe' trovo un elemento di A più piccolo di ε, ossia + ε > n n > ε che è sempre vero proprietà di archimede. Allora inf A = e il minimo non esiste ( non appartiene ad A). Esercizio.3. Sia A = { n : n N \ {} }. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: analogamente all'esercizio precedente, si dimostra che inf A = min A = ; sup A = e max A non esiste. Esercizio.3.3 Sia A = { } n n + : n Z. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: A è limitato superiormente e inferiormente. Infatti è possibile dimostrare (risolvendo esplicitamente le disequazioni) che n Z n n + Eventuali estremanti sono pertanto ±, che sono raggiunti rispettivamente per n = ±. Quindi inf A = min A = ; sup A = max A =. Esercizio.3.4 Sia A = {n + n : n N \ {} }. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: n cresce mentre /n decresce ma all'innito n ha comportamento predominante (considerando le rispettive successioni associate, n è un innito di ordine superiore a /n; quindi sup A = + e max A non esiste. D'altra parte, osservo che per n = e n = si ha 3

16 Numeri n + /n = 3; per n > si ha n + /n > n 3; quindi inf A = min A = 3. Esercizio.3.5 Sia A = { } n n + : n N. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: Voglio far vedere che la successione n è crescente. Per fare questo, devo mostrare n+ che n n + < n + n + + n n + < n n + n + n n < n + n < dove ho potuto eliminare i denominatori perché stiamo lavorando in N e quindi n. Allora l'estremo inferiore è quello raggiunto per n =, quindi inf A = min A =. Ora dimostriamo che sup A = (e quindi max A non esiste). maggiorante, quindi occorre far vedere che Dobbiamo prima di tutto mostrare che è un n n + < n < n + < che è sempre vero. Ora bisogna far vedere che è il minimo dei maggioranti, cioè che per ogni ε, ε non è un maggiorante, ossia D'altra parte ε >, n N : ε < n n +. ε < n n + n + n + n + < ε n + < ε n > ε che di nuovo è vero per la proprietà di Archimede. Da cui la tesi. Esercizio.3.6 Sia A = { } n + ( ) n n : n N \ {}. n Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: innanzitutto possiamo riscrivere l'insieme A nel seguente modo: + n pari A = n n dispari. n 4

17 .3 Estremo superiore e inferiore/massimo e minimo: esercizi proposti Quindi ragiono separatamente nei due casi, che sono analoghi ai primi esempi trattati. modo semplice si può far vedere che se n è pari, sup A = max A = 3 mentre inf A = e il minimo non esiste; se n è dispari si fa vedere che sup A = ma il massimo non esiste, mentre inf A = min A =. A questo punto ci si ricorda delle seguenti formule (di immediata dimostrazione): sup(e F ) = max{sup E, sup F } inf(e F ) = min{inf E, inf F } quindi possiamo concludere che qualunque sia n, In inf A = min A = sup A = max A = 3 Esercizio.3.7 Sia A = { x R : 9 x + 3 x+ 4 }. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: basta risolvere la disequazione 3 x x 4 da cui sostituendo t = 3 x si ha t + 3t 4 t 4 t 3 x 4 3 x 3 x x Quindi inf A = min A = ; sup A = + e ovviamente il massimo non esiste. Esercizio.3.8 Sia A = { ( ) } x > : cos =. x Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Hint: si osserva che cos ( ) = x x = π + kπ, k N perché si chiede che x >. Quindi x = π( + k), k N. 5

18 Numeri Allora sup A = max A = raggiunto per k =. Mostriamo che inf A = e che min A non π esiste. Prima di tutto è banalmente minorante. Inoltre è il massimo dei minoranti perché ssato ε >, ε non è più un minorante, infatti che è possibile. ε >, k N : ε > π( + k) k > π ε Esercizio.3.9 Sia A = { [ + ( ) n ]n + n +, } n N. Determinare inf A e sup A e dite se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Esercizio.3. Sia A = { n n + : } n N. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Esercizio.3. Sia { n + [n + ( ) n ] A = n + } : n. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. Esercizio.3. Sia A = { } n n cos(nπ) + n + n cos(nπ) + : n. Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R. 6

19 .4 Numeri complessi Esercizio.3.3 Sia A = { } n + : n [, ). Determinate inf A e sup A e dire se sono minimo e/o massimo di A rispettivamente. R..4. Numeri complessi.4.. Esercizi svolti Esercizio.4. Calcolate ( i) ( + 3i) Si ha ( i) ( + 3i) = + 6i i + ( i)(3i) = 5i + 3 = 5 + 5i. Esercizio.4. Calcolate ( i) + ( + 3i) Si ha ( i) + ( + 3i) = i + + 3i = 3 + i. Esercizio.4.3 Calcolate i( i) + (3 i)(i + ) Si ha i( i) + (3 i)(i + ) = i + 3i i = 6 i. 7

20 Numeri Esercizio.4.4 Calcolate parte reale, parte immaginaria e il coniugato del numero i(i 3) + (i )(3 + 4i) Si ha i(i 3) + (i )(3 + 4i) = 3i + (i )(3 4i) = 3i + 3i i = + 4i da cui R(z) =, I(z) = 4, z = 4i. N.B. I(z) = 4 4i!!! Esercizio.4.5 Calcolate i 3 + i Si ha i 3 + i = 6 i 3i 9 + = 5 5i = i. Esercizio.4.6 Calcolate 3i Si ha + 3i 3i + 3i = + 3i 3. Esercizio.4.7 Calcolate + i (3 i) 3i + 8

21 .4 Numeri complessi Si ha + i (3 i) 3i + = + i 3 i 3i + 3i 3i = 3i. N.B. un errore molto comune sarebbe stato moltiplicare ambo i membri per 3i e non per 3i. Infatti il complesso coniugato del numero 3i + è 3i e non 3i. Esercizio.4.8 Calcolate iz z i + z se z = 3 + i Si ha i(3 + i) (3 i) 3 + i 3 i 3 i = ( 7 + 5i)(3 i) 3 = + 9i. 3 Esercizio.4.9 Calcolate 3z i z ( i)z R(z) I(z) se z = + i Si ha 3( + i) i(4 + ) ( i)( i) 4 = 6 + 3i 4i i 4 + 4i + 3 = + i 3. Esercizio.4. Calcolate I ) (iz z + z z se z = + 3i Si ha iz z + z z 3i = i + + 3i 3i = i + 3i = + 7i da cui I ) (iz z + z = 7. z 9

22 Numeri Esercizio.4. Calcolate ( ) z z R iz se z = + i Si ha innanzitutto z = + i, z = i z = 5 iz = i da cui ( ) z z R iz ( i = R i ( ) 3 4i = R 5 ) ( i + i = R i + i = 3 5. ) i = R i ( ) 4i N.B. Di nuovo osserviamo che i = i i +!!! Esercizio.4. Trovare le soluzioni (z, w) con z, w C del seguente sistema { zw = i z w + z =. Prima di tutto osserviamo che z, altrimenti si avrebbe l'assurdo = i. Quindi passando ai coniugati nella seconda riga del sistema e ricordando le proprietà del coniugio, si ottiene z w + z = z w + z = z w + z = visto che z è un numero reale. Sostituendo dalla prima equazione (ok, visto che abbiamo visto che z ) A questo punto, so che z = z z quindi z i z + z =. zzi z + z =

23 .4 Numeri complessi da cui zi + z =. A questo punto poniamo z = a + ib da cui z = a ib e quindi l'equazione da risolvere diventa (a ib)(i + ) = da cui ai + a + b ib =. Uguagliando parte reale e parte immaginaria si ottiene { a b = a + b =. Quindi a = b = da cui z = + i = i +, w = i z = i i + i i = i + = i +, w = i. Per curiosità, facciamo la prova per vericare che eettivamente la soluzione trovata soddisfa il sistema di partenza. Si ha z w = + i (i + ) = ( + i) = ( + ( ) + i) = i e inoltre z w + z = ( 4 + ) ( i) + + i 4 = ( i + + i) =. Esercizio.4.3 Trovare le soluzioni (z, w) con z, w C del seguente sistema { z + w = + i w + z = i. Dalla prima equazione si ricava z = + i w, da cui z = i w quindi sostituendo nella seconda equazione si ottiene w + iw = i da cui w(w ) =

24 Numeri che porta a due casi: w = da cui si deduce w = e w =. Allora le soluzioni del sistema sono ( + i, ) e (i, ). Esercizio.4.4 Trovare le soluzioni (z, w) con z, w C del seguente sistema { z z = 4i ( + i)z = ( i)z. Ponendo z = a+ib si ha z = a ib e z = (a+ib) = a +abi b e dunque z = a abi b. Quindi il sistema dato si riduce al seguente sistema (dove a e b stavolta sono numeri reali!!!) { 4abi = 4i ( + i)(a + ib) = ( i)(a ib) { ab = (a + b)i =. Dalla seconda equazione si deduce a = b che inserito nella prima non dà alcuna soluzione (visto che a, b per denizione sono numeri reali)..4.. Esercizi proposti Esercizio.4.5 Trovare modulo e argomento dei seguenti numeri complessi e scrivere trigonometrica )z = + i )z = 3i + 3)z = i. z nella forma

25 .4 Numeri complessi Esercizio.4.6 Descrivere geometricamente l'insieme dei punti z che soddisfano 4) z = 5) z 6)arg(z) = π 3 7) z i 3 8) z 3 + 4i 5 9)π arg(z) 7 4 π. 3

26 Numeri Esercizio.4.7 Disegnare nel piano complesso il luogo dei punti z tali che ) z = z + i )R(z) > )I(z) = 4 3)z = 8 + i 4)z = 3 i 5) z < e z i < 6) z i = z e z i 7) z < z + e z + i < 8) z > z + e z + i < 9) z < z + e z + i > ) z + < e Rz = Iz ) z + < e Rz > Iz ) z + = e Rz < Iz 3) z + < e Rz < Iz 4) z > e z i < 5) z < e z i > 6) z + < z + i 7) z + = z + i 8) z > z + i 9) z + > z + i 3) z i < z + i e z + i < 3) z i > z + i e z + i < 3) z + i > z e z + < 33) z + i < z e z + < 34) z + i > z e z + > 35) z + i < z e z + > 4

27 .4 Numeri complessi Esercizio.4.8 Risolvere in C le seguenti equazioni 36)z + z z 4 + 4i = ( ) 3 z i 37) = i i 38)z + i 3z + i = 39)5 z z = z z + 6i 4)( z z + 6i)Iz = 9i 4)(z + z 3)Rz = 6 i 4)5z + z = z z + 4i 43)(z z + )Rz = 3 3i 44)(z + ) z = iz 45)( z )z = iz 46)(z ) z = i z 47)( z + )z = i z 48)z + i z 49)z i z 5)z +i z 5)z + +i z = + i = + i = i = + i 5)z(4 z) = 4 3i 53)i z Iz = z 54) z + z = + i 55) z + z = i 56)(z + ) 3 = i 5

28 Numeri Esercizio.4.9 Disegnare nel piano di Gauss i seguenti insiemi: (a) {z + i : z E} (b) {z i : z E} (c) { iz : z E} (d) {iz : z E} (e) { z : z E} (f) { z + i : z E} (g) {z : z E} (h) {z 3 : z E} (i) { z : z E} dove E di volta in volta è l'insieme ) E = {z C : z, arg(z) π} ) E = {z C : z 3, π arg(z) 3 π} 3) E = {z C : z =, arg(z) π} 4) E = {z C : π arg(z) π} Esercizio.4. Trovare modulo e argomento del numero complesso 3 + i 3 ed esprimere poi in forma algebrica il numero complesso di modulo 5 ed argomento 7π/4. Esercizio.4. Calcolare z 3 iz 5 + z 7 dove z = ( + i)/ e calcolare poi z3 i z z z dove z = ( i)/. Esercizio.4. Sostituite z = i nell'espressione ed esprimete il risultato in forma algebrica. ( z) + iz i z z 6

29 .4 Numeri complessi Esercizio.4.3 Scrivete in forma algebrica il numero complesso ove z = + i. w = z i z z i z Esercizio.4.4 Sostituite z = i nell'espressione ed esprimete il risultato in forma algebrica. ( z) + iz i z z Esercizio.4.5 Determinare le eventuali soluzioni z, w C del seguente sistema di equazioni: i + z + w = π izw = π. Esercizio.4.6 Sostituite z = 3 4i nell'espressione z z + i z i + z, ed esprimete il risultato in forma algebrica. Fate la stessa cosa con z = 4 3i Esercizio.4.7 Determinate le soluzioni (z, w), con z, w C, del sistema (z w )(iz + z) = w z i = + i(w w) z = w. 7

30 Numeri Esercizio.4.8 Determinate le soluzioni (z, w), con z, w C, del sistema (w + z )(i w + w) = z + w + 3i = 3 + z + z z = w. Esercizio.4.9 Ridurre nella forma z = a + ib e disegnare nel piano di Gauss i seguenti numeri complessi (a)( i) 3 (b)( + 3i) 3 (c)( + i) 3 (d)( 3 + i) 3 Esercizio.4.3 Trovare le radici cubiche dei seguenti numeri complessi e disegnarle nel piano di Gauss (a)z = 5 5i (b)z = 5 5i (c)z = 5 + 5i (d)z = 5 + 5i (e)z = + i (f)z = + i (g)z = i (h)z = i Esercizio.4.3 Ridurre nella forma z = a + ib e disegnare nel piano di Gauss il numero complesso ( i) 5 Esercizio.4.3 Calcolate le radici quarte di z = 3 + 3i e disegnatele nel piano complesso 8

31 .4 Numeri complessi Esercizio.4.33 Trovate i tre numeri complessi soluzione dell'equazione (z ) 3 = (suggerimento: risolvete prima w 3 = ) Esercizio.4.34 Sia E il sottoinsieme del piano complesso C denito da E = {z C : z < } Disegnate l'insieme E e anche l'insieme F denito da F = {z C : iz E}.4.3. Test a risposta multipla Esercizio.4.35 Sia z C, z. Allora z = (a) + z + z (b) z z (c) z z (d) z z Esercizio.4.36 Sia z C, z. Le seguenti espressioni, tranne una, sono sempre numeri reali. Quale non è necessariamente reale? (a) z z (b) z (c)z + z z z Esercizio.4.37 i 5 = (a) i (b) (c) (d)i 9

32 Numeri Esercizio.4.38 i 5 = (a) i (b) (c) (d)i Esercizio.4.39 Sia E C l'insieme denito da E = {z C : z + i = z i = } Allora: (a) E contiene esattamente 4 punti (b) E = (c) E contiene esattamente un solo punto (d) E contiene esattamente due punti Esercizio i = +3i (a) 5 (7 i) (b) 5 ( + 7i) (c) ( 3i) (d) (7 i) Esercizio.4.4 L'insieme dei numeri complessi z tali che z + z = è (a) l'insieme vuoto (b) un punto (c) una retta (d) una circonferenza Esercizio.4.4 Nel piano complesso, l'insieme delle soluzioni dell'equazione z Rz + z = 3i è: (a) una circonferenza (b) una retta verticale (c) una retta orizzontale (d) un punto 3

33 .4 Numeri complessi Esercizio.4.43 Nel piano complesso, l'insieme delle soluzioni dell'equazione 3 z + Iz + z = è: (a) una circonferenza (b) una retta verticale (c) una retta orizzontale (d) un punto Esercizio.4.44 Nel piano complesso, l'insieme delle soluzioni dell'equazione 3 z Rz z = i è: (a) una circonferenza (b) una retta verticale (c) una retta orizzontale (d) un punto Esercizio.4.45 Le soluzioni diverse da zero dell'equazione z Iz = z sono (a) inniti numeri complessi (non reali e non immaginari puri) (b) nessuna (c) inniti numeri immaginari (d) inniti numeri reali Esercizio.4.46 L'equazione (z z) z = ha: (a) due soluzioni reali distinte (b) due soluzioni complesse coniugate (c) una sola soluzione complessa (d) nessuna soluzione Esercizio.4.47 Quale dei seguenti numeri è un reale per qualsiasi z C? (a)z iz (b)z z (c)z z (d)z + i z 3

34 Numeri Esercizio.4.48 Se θ è l'argomento del numero complesso z, allora l'argomento (a meno di multipli di π) di z è: (a) θ (b) θ + π (c)θ (d) θ Esercizio.4.49 Se z C e z = allora (a) z = (b) z (c) z < z (d)im (z ) = Esercizio.4.5 Se z = 3 + i e w = ( cos π 3 + i sin π 3 ) allora z w = (a) (b) e i π (c) (d) e i π Esercizio.4.5 Quale delle seguenti espressioni è un numero reale per ogni z C? (a)(z + i) (b)i(z z) (c) z + z i (d)i z z Esercizio.4.5 L'insieme dei numeri complessi z = x + iy C tale che z + < z < z + 4 è (a) una corona circolare compresa tra due circonferenze di raggio e 4 (b) {x + i : < y < } (c) {x + iy : < x < } (d) 3

35 .4 Numeri complessi Esercizio.4.53 Se z = + i allora z + = (a)5 (b)3 (c)5 (d) Esercizio.4.54 L'insieme dei numeri complessi z = a + ib C tali che z + < z è (a) {a + ib : (a ) + b < } (b) {a + ib : (a ) + b > } (c) {a + ib : a < } (d) {a + ib : a > } Esercizio.4.55 Se z = + i allora z z = (a) 5 (b) 3 (c) 5 (d) Esercizio.4.56 Se z = 3 + 4i allora z = 3 4i (a) i (b) 5 (c) 3 4i 5 (d) 3 + 4i 5 Esercizio.4.57 L'insieme dei punti z C tali che z = z + è (a) una circonferenza di raggio (b) una coppia di rette ortogonali (c) una retta parallela all'asse reale (d) una retta parallela all'asse immaginario Esercizio.4.58 Se z = ( cos π 6 + i sin π 6) allora z 8 = (a) 8 i (b) 8 (c)6i (d) 6 33

36 Numeri Esercizio.4.59 Le soluzioni dell'equazione (z + ) + = sono (a)z = ± (b)z = ± + i (c)z = ±i (d)z = ±i + Esercizio.4.6 Le soluzioni dell'equazione (z ) + = sono (a)z = ± (b)z = ± + i (c)z = ±i (d)z = ±i + Esercizio i +i (a) i (b) + i (c) i (d)4 + i Esercizio i +i (a) i (b) + i (c) i (d)4 + i Esercizio i +i = (a) i (b) + i (c) i (d)4 + i Esercizio.4.64 Se z = a + ib soddisfa l'equazione z z = 8i allora z = (a) + i (b) i (c)i (d) i 34

37 .4 Numeri complessi Esercizio.4.65 Se z = a + ib soddisfa l'equazione z z = 8i allora z = (a) + i (b) i (c)i (d) i Esercizio.4.66 Se z = a + ib soddisfa l'equazione z z = i allora z = (a)i (b) i (c) + i (d) i Esercizio.4.67 Si denoti con z = x + iy x, y R un generico numero complesso. soluzioni di z + z = z? Qual è l'insieme delle (a){ x, y = } (b){ x, y = } (c){} {} (d){} { } Esercizio.4.68 Si denoti con z = x + iy x, y R un generico numero complesso. soluzioni di z z = z? Qual è l'insieme delle (a){ x, y = } (b){ x, y = } (c){} {} (d){} { } Esercizio.4.69 L'insieme dei numeri complessi z tali che z > è (a) una circonferenza (b) un semipiano (c) l'esterno di un disco (d) un disco Esercizio.4.7 L'insieme dei numeri complessi z tali che z < è (a) una circonferenza (b) un semipiano (c) l'esterno di un disco (d) un disco 35

38 Numeri Esercizio.4.7 L'insieme dei numeri complessi z tali che z = è (a) una circonferenza (b) un semipiano (c) l'esterno di un disco (d) un disco Esercizio.4.7 Qual è l'insieme delle soluzioni dell'equazione z = z? (a){} {} (b){} {} (c){} {} { + i 3} { i 3} (d){} {} {( + i 3)/} {( i 3)/} Esercizio.4.73 Qual è l'insieme delle soluzioni dell'equazione z = z? (a){} {} (b){} {} (c){} {} { + i 3} { i 3} (d){} {} {( + i 3)/} {( i 3)/} Esercizio.4.74 Se z = 3 + 4i allora z = (a) 3 (b) 3 (c) 5 (d) 5 36

39 CAPITOLO Esercizi riguardanti graci di funzioni elementari.. Esercizi proposti Esercizio... Disegnare i graci delle seguenti funzioni elementari: )y = x + )y = x + 3)y = x )y = sin x + 5)y = e x+ 6)y = log(x + 5) 7)y = x + 8)y = x 9)y = x )y = (x + 3) 3 )y = e x + )y = log( x) 3)y = x + 4)y = ( x + 3) 3 5 5)y = 3 x 6)y = e x 37

40 Esercizi riguardanti grafici di funzioni elementari 4 3 y = x y = x y = x f

41 CAPITOLO 3 Esercizi riguardanti domini di funzioni reali di variabile reale 3.. Esercizi proposti di primo livello Esercizio 3... Calcolare il dominio naturale (cioè il più grande insieme di R su cui hanno senso le espressioni analitiche di seguito elencate) ) + x ) x 3) 8 x 4) x 5) x 6) x 7) x 8) x 9) log x + ) x ) log( x x 6x + 5) ) x 3) sin(x x) 4) x x 5) 6) x x 7) log(x x 3 ) 8) e x 6 9) ) log(x x cos x ) ) x + + x ) log( x) log(x + ) 3) tan(x x + ) 4) log 4 x x 39

42 3 Esercizi riguardanti domini di funzioni reali di variabile reale R. )R ){x : x } 3){x : x 4} 4){x : x } 5)R 6){x : x > } 7)x x 8)x < x > 9)x /e )x )x < x > 5 )x < 3)x / 4)x, x 3 5)x > 6)x x 7)x < < x < 8)x log 6 9)x πk, k Z )x ) x ) < x / 3)x, x x + π/ + k π, k Z 4) < x, x 9) Si ha x /e. Infatti bisogna dare la condizione di esistenza del logaritmo x > e la condizione di esistenza della radice x /e e quindi globalmente si ha x /e. ) Si ha x < x > 5. Infatti bisogna porre la condizione di esistenza del logaritmo, che è x e x 5 perché la radice è sempre positiva o nulla; poi bisogna porre la condizione di esistenza della radice quindi x 6x + 5 e quindi in denitiva si ha x < x > 5. ) Si ha x <. Infatti bisogna porre la condizione di esistenza della radice, cioè x e la condizione di esistenza della frazione, quindi denominatore diverso da zero, da cui la soluzione. 3) x /, infatti basta porre la condizione di esistenza della radice. 4) x con x 3. Infatti la prima viene dalla condizione di esistenza della radice, la seconda dalla condizione di esistenza della frazione (denminatore diverso da zero). 7) x < < x < Infatti basta porre la condizione di esistenza del logaritmo che è x x 3 > 9) x πk, con k Z. Infatti basta porre la condizione di esistenza della frazione (denominatore diverso da zero). ) x. Infatti si parte dalla condizione di esistenza della radice, cioè x ; poi si aggiunge la condizione di esistenza del logaritmo, cioè x x >. Prima di elevare a quadrato si deve porre ovviamente x. Elevando a quadato ottengo 3x + > che è sempre vericata, da cui la soluzione proposta. ) < x /. Infatti bisogna porre l'esistenza dei logaritmi, cioè x > e x + >, poi la condizione di esistenza della radice, che ci porta a x /. Mettendo insieme le tre condizioni si ottiene la soluzione proposta. 4

43 3. Esercizi proposti di secondo livello 4) < x con x. Infatti bisogna porre l'esistenza del logaritmo, cioè x >, l'esistenza della radice, cioè log 4 x che porta a x e inne l'esistenza della frazione (denominatore diverso da zero) che dà x. 3.. Esercizi proposti di secondo livello Esercizio 3... Calcolare il dominio naturale (cioè il più grande insieme di R su cui hanno senso le espressioni analitiche di seguito elencate) x + ) ) log(x x ) x + 3 4x + 5 3) log( + x ) 4) sin x + sin x x 5) log(3 + cos x cos log x x) 6) x 3 x 4 3 log(x + x) log( tan x) 7) 8) x + sin x log x + cos x x x 3 9) )e x5 sin x log x 3 ) x + x + (x 4 + x + ) 5/3 ) log(x x 3) 3) x + + x + 4) sin(x + x + ) arcsin 5)(x + ) log(x +) 6) log(x ) sin(x ) ( 7) x + ) /x 8)x xx x ( 9) sin x) / tan x ) 3 log x x ) sin log( + cos x) )x x log x x 3) log log log( + x / log x ) 4)(log x) 5)( + log x) / log(log x) 6)( x + ) x x 7) x x+ 9) log 3 ((x 3) (x 3) x ) 3) 8)(x 6x + 5) x x x 3 + log / ( x ) + x 4

44 3 Esercizi riguardanti domini di funzioni reali di variabile reale R. )x, x + 3 4x + 5 ) < x < 3)x 4) + kπ x 7/6π + kπ /6π + kπ x π + kπ, k Z 5) 6)x >, x 7) + 4e 3 x < < x + + 4e 3 8)π/ + kπ < x π + kπ, k Z +, x e 9)x, x 8 )R )R )x < x > 3 3)R 4)R 5)R 6)x < e x > e 7)x > 8)x > 9)kπ < < π + kπ, k Z, x kπ, x x )R )R, x π + kπ, k Z )x >, x 3)x < e x > e 4)x > 5)x > /e, x e 6) x < 3 7)R \ { } 8) 9)x < 3 < x < 3) ) < x <. Infatti la condizione di esistenza del logaritmo porta a x x > cioè < x <. 4

45 3. Esercizi proposti di secondo livello Poi bisogna porre la condizione di esistenza della radice, cioè log(x x ) che porta a x x e che è sempre vericata. 3) x. Infatti la condizione di esistenza del logaritmo è sempre vericata. Basta quindi porre sin x x. 4) + kπ x 7/6π + kπ /6π + kπ x π + kπ con k Z. Infatti la condizione di esistenza della radice porta a sin x /. 5) Dominio uguale all'insieme vuoto. Infatti la condizione di esistenza del logaritmo porta a 3 + cos x cos x >. Con la sostituzione cos x = t si risolve facilmente in termini di t e si giunge a (cos x + )(cos x 3) <. Ora di sicuro cos x < 3 e anche cos x + per ogni x quindi la condizione di esistenza del logaritmo non è mai vericata. 6) x > con x. Infatti la condizione di esistenza del logaritmo porta a x >. Poi basta porre denominatore diverso da zero che porta alla soluzione proposta. 7) + 4e 3 x < < x + + 4e 3, con x 3. Infatti la condizione di esistenza del logaritmo porta a x < x >. Poi la condizione di esistenza della radice porta a 3 log(x + x) cioè x + x e 3. Questa si risolve facilmente e dà come soluzione + 4e 3 x + + 4e 3. Inne dalla condizione di esistenza della frazione (denominatore diverso da zero) si ottiene x e x 3 da cui la soluzione proposta (dopo aver vericato che +4e 3 < 3). 8) π/ + kπ < x π + kπ, k Z +, x e. Infatti prima di tutto analizziamo il numeratore. Esistenza del logaritmo: tan x >. Esistenza radice log( tan x) che equivale a tan x. Riassumendo dunque si ha tan x, cioè π/ + kπ < x π + kπ, k Z. Al denominatore: siccome sin x + cos x =, basta porre log x con x > (esistenza logaritmo) cioè x > con x e. 9) x, x 8. Infatti basta porre le seguenti condizioni: x x 3 (esistenza della radice) che porta a x ; log x 3 (denominatore diverso da zero) che porta a x 8 e inne x > (esistenza logaritmo) che viene conglobata dalla prima condizione, da cui la soluzione proposta. ) x < x > 3. Infatti basta porre la condizione di esistenza del logaritmo, che porta a x x + 3 > 4) R. Infatti basta porre le seguenti condizioni: + x (esistenza della funzione arcoseno) che viene vericata per ogni x e x + (denominatore diverso da zero), anch'essa vericata per ogni x. 6) x < e x > e. Infatti scrivendo log(x ) sin x = exp( sin x log(log x )) 43

46 3 Esercizi riguardanti domini di funzioni reali di variabile reale si ha che basta porre x > cioè x e log(x ) > cioè x > e, da cui la soluzione proposta. 7) x >. Infatti scrivendo ( x + x) /x ( ( = exp x log x + )) x si ha che basta porre x + > (condizione di esistenza del logaritmo) e x (esistenza della x frazione), da cui la soluzione proposta. 8) x >. Infatti, pensando di intendere convenzionalmente x xx = (x x ) x, si ha: da cui la soluzione proposta. 9) kπ < x (x x ) x = (e x log x ) x = exp(x log(exp(x log x))) = exp(x log x) < π + kπ, con k Z e x kπ, x. Infatti scrivendo ( sin x) / tan x ( ( = exp tan x log sin )) x si ha che basta porre sin > (condizione di esistenza del logaritmo) con x e tan x x (esistenza delle frazioni), da cui la soluzione proposta. ) R, con x π+kπ, k Z. Infatti basta la condizione di esistenza del logaritmo (cos x+ > ). ) x > con x. Infatti scrivendo x x log x x = exp ( x log ) x x si ha che basta porre x > (condizione di esistenza del logaritmo) e x (esistenza della frazione), da cui la soluzione proposta. 3) x < e x > e. Infatti le condizioni da porre sono: + x > che viene vericata da ogni x, log( + x ) > che porta a x >, vera per ogni x e inne log log( + x ) > che porta a log( + x ) > da cui + x > e e quindi si ha la soluzione proposta. 4) x >. Infatti scrivendo ( ) log(x) / log x = exp log x log(log(x)) si ha che basta porre x >, log x > e log x, da cui la soluzione proposta. 5) x > /e con x e. Infatti se riscriviamo come ( ) ( + log x) / log(log x) = exp log log log( + log x) x 44

47 3. Esercizi proposti di secondo livello allora le condizioni da porre sono: esistenza logaritmi : x >, + log x > e log x >. La terza viene vericata da ogni x, la seconda per x > /e, la prima viene conglobata dalla seconda; denominatore diverso da zero: log log x che porta a log x se e soltanto se log x ± quindi log x che porta a x e e log x che porta a x /e, da cui la soluzione proposta. 6) x < 3. Infatti scrivendo ( x + ) x x = exp(x x log( x + ) si ha che basta porre x e x + > cioè x < 3, da cui la soluzione proposta. 7) R \ { }, infatti basta porre x +. 9) x < 3 < x <. Prima di tutto infatti scriviamo (x 3) x = exp(x log(x 3)) da cui si vede immediatamente che deve essere x 3 > quindi x < 3 x > 3. D'altra parte la condizione di esistenza del logaritmo in base 3 porta a (x 3) (x 3) x > (x 3)[ (x 3) x ] > (x 3) x < visto che dalla prima condizione avevamo x 3 >. A questo punto (x 3) x < exp((x ) log(x 3)) < e (x ) log(x 3) < Quindi si hanno due casi possibili: x > log(x 3) < e x < log(x 3) > Il primo sottocaso porta a x < x > 4 mentre il secondo a x > x < 4, quindi insieme portano a x < < x <. Mettendo insieme questa condizione con la prima si ottiene la soluzione proposta. 45

48 3 Esercizi riguardanti domini di funzioni reali di variabile reale Esercizio 3... Calcolare il dominio naturale (cioè il più grande insieme di R su cui hanno senso le espressioni analitiche di seguito elencate) 3) log(sin(3x)) + e /x 3) log log x 4 sin x 33) + log(x ) 34) log(ex 3e x + ) + log x x 3 + cos 5 e x 35) arctan e x + log x 3 log x log x 36) 5ex 4 e x x 37) (sin(x))+x 38) 4 x ( x ) x 3 ( (( log(4 x x )) ) 39) 4) arctan log x + e / + 3 4) 4)( log 3 (x ) log 3 (x + )) x 4)(7 x+ + 7 x 5 x ) log x 43) log 3 x3 4x + 5x 44) 4 e x x e x 45) e x 3e x 5 46)(x 5x 6) /(x 4) 47) 5 x(x )(x ) 48) x (x + ) ( ) x 49) log + 5) 3 5 (x ) x + 5 x + R. 46

49 CAPITOLO 4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse 4.. Funzioni inverse: esercizi proposti Esercizio 4... Mostrare che le funzioni f nei seguenti esercizi sono biunivoche e calcolare le loro funzioni inverse f. Specicare il dominio e l'immagine di f e f )f(x) = x )f(x) = 3x 3)f(x) = x 4)f(x) = x 5)f(x) = x 3 + 6)f(x) = ( 3x) 3 9)f(x) = x + )f(x) = 3x x + )f(x) = x + x x )f(x) = x + R. ) f : R R. f è iniettiva: infatti presi x x allora x x f è suriettiva: infatti y = x implica x = y +. Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R R denita da f (y) = y +. ) f : R R. f è iniettiva: infatti presi x x allora 3x 3x e quindi 3x 3x 47

50 4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse f è suriettiva: infatti y = 3x implica x = y + 3. Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R R denita da f (y) = y ) f : [, + ) R +. f è iniettiva: infatti presi x x allora x x e quindi x x f è suriettiva: infatti y = x (nota che da qui deve essere y!!!) implica x = y + (nota che da qui risulta x!!!) Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R + [, + ) denita da f (y) = y +. 4) f : [, + ) R. f è iniettiva: infatti presi x x allora x x e quindi x x da cui la tesi f è suriettiva: infatti y = x (nota che da qui deve essere y!!!) implica x = y + (nota che da qui risulta x!!!) Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R [, + ) denita da f (y) = y +. 5) f : R R. f è iniettiva: infatti presi x x allora x 3 x 3 e quindi x3 x 3 f è suriettiva: infatti y = x 3 implica x = 3 y Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R R denita da f (y) = 3 y. 6) f : R R. f è iniettiva: infatti presi x x allora 3x 3x e quindi 3x 3x da cui ( 3x ) 3 ( 3x ) 3 f è suriettiva: infatti y = ( 3x) 3 implica x = 3 y 3 Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R R denita da f (y) = 3 y. 3 7) f : R R +. f è iniettiva: infatti presi x x allora x x perché x, x f è suriettiva: infatti y = x implica x = y Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R + R denita da f (y) = y. 8) f : R R. f è iniettiva: infatti presi x x allora 3 x 3 x e quindi + 3 x + 3 x f è suriettiva: infatti y = + 3 x implica x = (y ) 3 Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R R denita da f (y) = (y ) 3. 9) f : R \ { } R \ {}. Infatti non esiste nessuna x tale che f(x) = f è iniettiva: infatti presi x x allora x + x + da cui f è suriettiva: infatti y = x implica x = y y 48 x + x +

51 4. Funzioni inverse: esercizi proposti Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R \ {} R \ { } (infatti non esiste nessuna x tale che f (x) = ) denita da f (y) = y. y ) f : R \ { } R \ {}. Infatti non esiste nessuna x tale che f(x) = f è iniettiva: infatti f(x) si può anche scrivere come x + x = +x x = x + Allora presi x x si ha x x da cui x + x + e quindi la tesi f è suriettiva: infatti y = x y implica x = + x y Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R \ {} R \ { } (infatti non esiste nessuna x tale che f (x) = ) denita da f (y) = y y. ) f : R \ { } R \ { 3}. Infatti non esiste nessuna x tale che f(x) = 3 f è iniettiva: infatti f(x) si può anche scrivere come 3x x + = x + Allora presi x x si ha x + x + da cui x + x + e quindi 4 4 x + x da cui la tesi + f è suriettiva: infatti y = 3x x + implica x = y y + 3 Allora f è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : R \ { 3} R \ { } (infatti non esiste nessuna x tale che f (x) = ) denita da f (y) = y y + 3. ) f : R R. f è iniettiva ma la dimostrazione non è banale. Il seguente modo non è corretto per mostrare l'iniettività: x x x x x x x + x + x + x + x x + x x + In particolare la prima implicazione è falsa, perché x non è iniettiva su tutto R e l'ultima implicazione è falsa perché se si hanno due quantità diverse e si moltiplicano per due quantità diverse, a priori si potrebbe ottenere lo stesso risultato, esempio 3 ma moltiplicando il primo membro per / e il secondo per /3 si ottiene =. Per agire correttamente si osserva che per x, h(x) = x x + = x x + x quindi supponiamo di prendere x x ; non è restrittivo supporre x < x (l'altro caso si tratta in maniera analoga. Allora distinguiamo i casi: 49

52 4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse ) x < x < in tal caso si ha la seguente catena di implicazioni: x x x x x x + x + x + x + x + x + x + x + x h(x ) h(x ) perché stavolta x è iniettiva su R. ) < x < x la dimostrazione è la stessa, ci si ferma al terzultimo passaggio (non c'è il segno meno in h(x)) 3) x = < x oppure x < x = si ha banalmente < h(x ) o rispettivamente h(x ) < quindi la tesi è immediata 4) x < < x si ha immediatamente h(x ) < < h(x ) da cui la tesi. f è suriettiva: infatti posto y = a quadrato si ha y = x x + si vede subito che y e x hanno lo stesso segno. Elevando x x + = x + x + = x + da cui x + = y e da qui si legge che deve essere y [, ] perché il primo membro è non negativo. A questo punto, operando le necessarie semplicazioni, si arriva a x = y y e visto che x e y devono avere lo stesso segno si ha x = y y Quindi f : R (, ) è biunivoca e perciò invertibile con inversa f : (, ) R denita da f y (y) =. y 5

53 4. Funzioni inverse: esercizi proposti Esercizio 4... Nei seguenti esercizi sia f una funzione biunivoca con inversa f. Esprimere le inverse delle funzioni indicate in funzione di f 3)g(x) = f(x) 3 4)g(x) = f(3x) 5)g(x) = 3f(x) 6)g(x) = f(x 3) 7)g(x) = 3 + f(x) 9)g(x) = 3f(3 3x) 8)g(x) = f(x) 3 3 )g(x) = + f(x) f(x) R. Esercizio Dire quali tra le seguenti funzioni sono iniettive, surgettive o biunivoche, e in caso, trovatene la funzione inversa )f : R \ {} R f(x) = x + x )f : R R f(x) = + sin x 3)f : R + R f(x) = x x 4)f : R \ {} R f(x) = x 3 R. ) Non è iniettiva. Infatti basta prendere i valori x = 3 ± 5 per avere f(x) = 3 in entrambi i casi Non è surgettiva. Infatti non esiste alcun valore di x tale che ad esempio f(x) = ) Non è iniettiva. Infatti ad esempio per x = o x = π si ha f(x) = Non è surgettiva. Infatti non esiste alcun valore di x tale che ad esempio f(x) = 3) Non è iniettiva su R, lo è su R +. Infatti f (x) = + x > quindi la funzione è strettamente monotona e perciò iniettiva. È surgettiva su R. Infatti per ogni k R si ha che l'equazione x = k ha almeno una x soluzione (in generale ha due soluzioni, una positiva e una negativa). Quindi f : R + R è biunivoca e perciò invertibile, con inversa f : R R + data da x = y + y + 4 5

54 4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse 4) È iniettiva e surgettiva come funzione da R R, ma come dice il testo, visto che il dominio è R \ {}, la funzione è iniettiva (lo si dimostra anche direttamente, se x x allora x 3 x 3 da cui la tesi) ma non è surgettiva come funzione da R \ {} infatti non esiste x R \ {} tale che f(x) =. Esercizio Delle seguenti funzioni determinatene l'immagine, dite se sono iniettive, se sono surgettive, se sono biunivoche e in tal caso calcolarne l'inversa { x + x > 5)f(x) = + x x x x 6)f(x) = x < x < x + x { x + x 7)f(x) = x + x < { x 3 x 8)f(x) = x /3 x < 9)f(x) = x x + R. 5) Non è iniettiva: basta prendere x = e x = che danno entrambe f(x) =. È surgettiva. Infatti se y > posso prendere ad esempio x = y, se y invece x = y 6) È iniettiva e surgettiva. Iniettiva perché lo sono le singole componenti nei vari intervalli e inoltre se x, x appartengono a due intervalli diversi, i corrispondenti valori di f(x) sono distinti. È surgettiva perché lo sono le singole componenti nei diversi intervalli e quindi viene coperto tutto l'asse reale. Quindi f : R R è invertibile con inversa y y f (y) = y < y < y y 7) È iniettiva e surgettiva perché lo sono le singole funzioni nei rispettivi intervalli di denizione 5

55 4. Funzioni composte: esercizi proposti e perché se x, f(x), se x <, f(x) <. Quindi f : R R è invertibile con inversa y y f (y) = y y < 8) È iniettiva e surgettiva perché lo sono le singole funzioni nei rispettivi intervalli di denizione e perché se x, f(x), se x <, f(x) <. Quindi f : R R è invertibile con inversa 3 y y f (y) = y 3 y < 9) Dalla denizione di valore assoluto si ha che x + x f(x) = x + x < La funzione data dunque è iniettiva e surgettiva perché lo sono le singole funzioni nei rispettivi intervalli di denizione e perché se x, f(x), se x <, f(x) <. Quindi f : R R è invertibile con inversa y y f (y) = y y < 4.. Funzioni composte: esercizi proposti Esercizio 4... Nel caso in cui f(x) = x + 3 e g(x) = x 4 trovare: )f g() )g(f()) 3)f(g(x)) 4)g f(x) 5)f f( 5) 6)g(g()) 7)f(f(x)) 8)g g(x) 53

56 4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse R. )f g() = f(g()) = f( 4) = )g f() = g(f()) = g(3) = 5 3)f g(x) = f(g(x)) = f(x 4) = x 4)g f(x) = g(f(x)) = g(x + 3) = x + 6x + 5 5)f f( 5) = f(f( 5)) = f( ) = 6)g g() = g(g()) = g() = 4 7)f f(x) = f(f(x)) = f(x + 3) = x + 6 8)g g(x) = g(g(x)) = g(x 4) = x 4 8x + Esercizio 4... Nel caso in cui f(x) = x + e g(x) = x 4 trovare (se possibile) le seguenti (ove si possa, specicare il dominio della composta): 9)f g() )g(f()) )f(g(x)) )g f(x) 3)f f( 5) 4)g(g()) 5)f(f(x)) 6)g g(x) R. 9)f g() = f(g()) = f( 4) impossibile )g f() = g(f()) = g() = 3 Dominio g f : x )f g(x) = f(g(x)) = f(x 4) = x 3 Dominio f g : x 3 x 3 )g f(x) = g(f(x)) = g( x + ) = x 3 Dominio g f : x 3)f f( 5) = f(f( 5)) impossibile 4)g g() = g(g()) = g() = 4 Dominio g g : R 5)f f(x) = f(f(x)) = f( x + ) = x + + Dominio f f : x 6)g g(x) = g(g(x)) = g(x 4) = x 4 8x + Dominio g g : R 54

57 4. Funzioni composte: esercizi proposti Esercizio Nel caso in cui f(x) = x e g(x) = x x seguenti (ove si possa, specicare il dominio della composta): trovare (se possibile) le 7)f f(x) 8)g g(x) 9)f g(x) )g f(x) R. 7)f f(x) = f(f(x)) = f( ) = x x Dominio f f : R \ {} 8)g g(x) = g(g(x)) = g( x x x Dominio g g : R \ {, } 9)f g(x) = f(g(x)) = f( x x x Dominio f g : R \ {, } )g f(x) = g(f(x)) = g( ) = x x Dominio g f : R \ {, } Esercizio Nel caso in cui f(x) = x e g(x) = x trovare (se possibile) le seguenti (ove si possa, specicare il dominio della composta): )f f(x) )g g(x) 3)f g(x) 4)g f(x) R. )f f(x) = f(f(x)) = f( x ) = x x Dominio f f : R \ {, } )g g(x) = g(g(x)) = g( x ) = x Dominio g g : x 3)f g(x) = f(g(x)) = f( x ) = Dominio f g : [, + ) \ {} x 4)g f(x) = g(f(x)) = g( ) = x Dominio g f : x < x x Esercizio Nel caso in cui f(x) = x + e g(x) = sign(x) trovare (se possibile) le x seguenti (ove si possa, specicare il dominio della composta): 5)f f(x) 6)g g(x) 7)f g(x) 8)g f(x) Si ricorda che la funzione sign(x) vale per x >, per x < e non è denita per x =. 55

58 4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse R. Esercizio Completare mettendo al posto dei punti interrogativi la funzione mancante. Specicare il dominio della funzione composta 9)f(x) = x g(x) = x + f g(x) =??? 3)f(x) =??? g(x) = x + 4 f g(x) = x 3)f(x) = x g(x) =??? f g(x) = x 3)f(x) =??? g(x) = x /3 f g(x) = x )f(x) = (x + )/x g(x) =??? f g(x) = x 34)f(x) =??? g(x) = x f g(x) = /x R. 9)f g(x) = (x + ) Dominio di f g: R 3)f(x) = x 4 3)g(x) = x Dominio di f g: R Dominio di f g: R 3)f(x) = x Dominio di f g: R 33)g(x) = Dominio di f g: R \ {} x 34)f(x) = (x + ) Dominio di f g: R \ {} Esercizio Scrivere, se è possibile farlo, la composizione g f e la composizione f g, con i rispettivi domini, nei seguenti casi: 35)f(x) = x 36)f(x) = x x + 3 g(x) = 4 3x g(x) = log x 37)f(x) = sin x + cos x { g(x) = x x + x > 38)f(x) = x x { g(x) = x 39)f(x) = x + x > + x x g(x) = f(x) 56

59 4.3 Funzioni composte e inverse: test a risposta multipla R. 35) f g(x) = 3x. Dominio di f g: R g f(x) = 3x. Dominio di g f: R 36) f g(x) = log x log x + 3. Dominio di f g: R + (dominio logaritmo: x > ) g f(x) = log( x x + 3 ). Dominio di g f: R (infatti basta porre x x + 3 e x x + 3 > che sono vericate per ogni x R) 37) f g(x) = sin( x ) + cos( x ). Dominio di f g: x g f(x) = sin x + cos x. Dominio di g f: kπ x π + kπ, k Z (infatti basta porre sin x + cos x ) 38) x + x f g(x) = x = Dominio di f g: R (x + ) x > g f(x) = ( x) x Dominio di g f: R 4.3. Funzioni composte e inverse: test a risposta multipla Esercizio Sia f(x) = x x e g(y) = y y. Allora la funzione composta è data da: x x 3 + x 4 x 3x 4x 3 + x 4 x + x x 3 + x 4 x + 3x 4x 3 + x 4 R. 57

60 4 Esercizi riguardanti funzioni composte e inverse Esercizio Siano f(x) = x x + e g(y) = y +. Qual è l'insieme dove è denita la funzione composta (g f)(x)? (, ) [, + ) (, ) [ /3, + ) (, /3] [ 3, ) R. Esercizio Qual è l'insieme dei valori β per cui la funzione g(x) = x + βx è invertibile nell'intervallo [, ]? [, ) (, ] [, + ) (, ] [, + ) [, + ) R. Esercizio Per quali valori del parametro reale γ la funzione g : R R denita da è suriettiva? g(x) = x e x + γx γ γ > γ γ < R. Esercizio Per quali valori del parametro reale β la funzione g(x) = e x + βx è invertibile sull'intervallo [, ]? (, e] [ e, + ) (, e ] [e, + ) (, e] [, + ) (, ] [e, + ) 58