Matematica A Corso di Laurea in Chimica. Prova scritta del Numero di matricola VOTO...

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1 Matematica A Corso di Laurea in Chimica Prova scritta del Tema A Nome Cognome Numero di matricola VOTO... Svolgere gli esercizi utilizzando ESCLUSIVAMENTE lo spazio predisposto P1) Data la funzione determinarne (a) campo di esistenza f(x) = x 2 e x+1 (b) zeri e segno (c) limiti agli estremi del campo di esistenza ed eventuali asintoti

2 (d) derivata prima (e) eventuali punti stazionari, intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente (f) derivata seconda, eventuali flessi, intervalli in cui la funzione è concava e convessa (g) grafico sommario

3 P2) Calcolare il seguente limite lim x 0 ( ) log(1 + x) x sin(x 2 ) T1) Enunciare il teorema di Weierstrass. Si può applicare il teorema alla funzione f(x) = 1 x 3 1 nell intervallo (0, 1)?

4 T2) Che relazione c è tra derivabità e continuità di una funzione? Illustrare con opportuni esempi. T3) Che cosa si intende per somma di una serie? Dire se converge la serie n=1 ( ) 7 n 8

5 Matematica A Corso di Laurea in Chimica Prova scritta del Tema B Nome Cognome Numero di matricola VOTO... Svolgere gli esercizi utilizzando ESCLUSIVAMENTE lo spazio predisposto P1) Data la funzione determinarne (a) campo di esistenza f(x) = xe x2 (b) zeri e segno (c) limiti agli estremi del campo di esistenza ed eventuali asintoti

6 (d) derivata prima (e) eventuali punti stazionari, intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente (f) derivata seconda, eventuali flessi, intervalli in cui la funzione è concava e convessa (g) grafico sommario.

7 P2) Calcolare il seguente limite lim x 0 ( log(1 + x 2 ) 1 ) x 4 x 2 T1) Una funzione continua è derivabile? Una funzione derivabile è continua? Illustrare con opportuni esempi.

8 T2) Dare la definizione di convergenza di una serie. Dire se converge la serie n=1 1 n T3) Enunciare il teorema di esistenza degli zeri Si può applicare il teorema alla funzione f(x) = 3 cos(x) nell intervallo [0, 5 6 π]?

9 Matematica A Corso di Laurea in Chimica Prova scritta del Tema C Nome Cognome Numero di matricola VOTO... Svolgere gli esercizi utilizzando ESCLUSIVAMENTE lo spazio predisposto P1) Data la funzione determinarne (a) campo di esistenza f(x) = x 2 e x 1 (b) zeri e segno (c) limiti agli estremi del campo di esistenza ed eventuali asintoti

10 (d) derivata prima (e) eventuali punti stazionari, intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente (f) derivata seconda, eventuali flessi, intervalli in cui la funzione è concava e convessa (g) grafico sommario.

11 P2) Calcolare il seguente limite lim x 0 ( ) log(1 + x) x x sin(2x) T1) Enunciare il teorema di Weierstrass. Si può applicare il teorema alla funzione f(x) = log(1 + x) nell intervallo ( 1, 0)?

12 T2) Che cosa si intende per somma di una serie? Dire se converge la serie n=1 ( ) 8 n 7 T3) Una funzione derivabile è continua? Una funzione continua è derivabile? Motivare le risposte anche con esempi.

13 Matematica A Corso di Laurea in Chimica Prova scritta del Nome Cognome Numero di matricola VOTO... Svolgere gli esercizi utilizzando ESCLUSIVAMENTE lo spazio predisposto P1) Data la funzione determinarne (a) campo di esistenza f(x) = x log(x 2 ) (b) zeri e segno (c) limiti agli estremi del campo di esistenza ed eventuali asintoti 1

14 (d) derivata prima (e) eventuali punti stazionari, intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente; (f) derivata seconda, eventuali flessi, intervalli in cui la funzione è concava e convessa (g) grafico sommario. 2

15 P2) Calcolare il seguente limite lim x 0 ( 2e x 2 2x x 2 ) x sin x 2 T1) Enunciare il teorema di esistenza degli zeri Usare il teorema degli zeri per decidere se la funzione y = x 3 5x 2 + x + 1 ammette zeri. 3

16 T2) Dare la definizione di successione convergente e fornirne almeno un esempio. La successione ( 1) n 1 n è convergente? Motivare la risposta. T3) Dare la definizione di continuità puntuale di una funzione e un esempio di funzione non continua in un punto. 4

17 Matematica A Corso di Laurea in Chimica Prova scritta del Nome Cognome Numero di matricola VOTO... Svolgere gli esercizi utilizzando ESCLUSIVAMENTE lo spazio predisposto P1) Data la funzione determinarne (a) campo di esistenza ( ) x f(x) = log x 2 + x + 2 (b) zeri e segno

18 (c) limiti agli estremi del campo di esistenza ed eventuali asintoti (d) derivata prima (e) eventuali punti stazionari, intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente; (f) grafico sommario.

19 P2) Calcolare il seguente limite lim x 0 x 3 sin x 1 cos x 2 T1) Enunciare il teorema dei valori intermedi. La funzione f(x) = x 2 1 assume il valore 1 nell intervallo [0, 2]?

20 T2) Dare la definizione di serie. Cosa si intende per somma della serie? T3) Come si definisce la funzione esponenziale? Che proprietà ha?

21 Matematica A Corso di Laurea in Chimica Prova scritta del Nome Cognome Numero di matricola VOTO... Svolgere gli esercizi utilizzando ESCLUSIVAMENTE lo spazio predisposto P1) Data la funzione determinarne (a) campo di esistenza f (x) = x log(x) (b) zeri e segno 1

22 (c) limiti agli estremi del campo di esistenza ed eventuali asintoti (d) derivata prima (e) eventuali punti stazionari, intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente; (f) grafico sommario. 2

23 P2) Calcolare il seguente limite cos(2x 2 ) 1 lim x 0 log(1 x 2 ) + x 2 T1) Che relazione sussiste tra la continuità e la derivabilità di una funzione? Illustrarla con opportuni esempi. 3

24 T2) Dare la definizione e un esempio di successione convergente. T3) Enunciare il teorema degli zeri. La funzione y = sin(x) x ha zeri nell intervallo [ π/4, π/4]? Una funzione dispari e continua ha sempre zeri in un intervallo [ a, a]? Perchè? 4

25 Matematica A Corso di Laurea in Chimica Prova scritta del P1) Data la funzione ( ) x f(x) = log x determinarne (a) campo di esistenza; (b) zeri e segno; (c) limiti agli estremi del campo di esistenza e asintoti (orizzonatli e verticali); (d) derivata prima; (e) eventuali punti stazionari, intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente; (f) derivata seconda, eventuali flessi, intervalli in cui la funzione è concava e convessa; (g) grafico sommario. P2) Calcolare il seguente limite lim x 0 e x2 1 log(1 + 2x) sin(x). T1) Dare la definizione di successione convergente e di successione divergente. Fare un esempio di successione ne convergente ne divergente (oscillante). T2) Enunciare il teorema degli zeri. Usando il teorema dire se la funzione y = 6x 7 x ammette zeri. T3) Come si definisce la funzione logaritmo? Enunciarne alcune proprietà.

26 Matematica A Corso di Laurea in Chimica Prova scritta del Nome Cognome Numero di matricola VOTO... Svolgere gli esercizi utilizzando ESCLUSIVAMENTE lo spazio predisposto P1) Data la funzione determinarne (a) campo di esistenza f(x) = ex+4 x 6 (b) zeri e segno (c) limiti agli estremi del campo di esistenza ed eventuali asintoti

27 (d) derivata prima (e) eventuali punti stazionari, intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente (f) grafico sommario.

28 P2) Calcolare il seguente limite lim x 0 ( ) x log(1 x) e x2 1 T1) Una funzione continua è derivabile? Una funzione derivabile è continua? Illustrare con opportuni esempi.

29 T2) Dare la definizione di successione convergente. Dire se la successione a n = ( 1) n n 2 è convergente. T3) Enunciare il teorema di esistenza degli zeri Usando il teorema, dire se la funzione y = x 3 x 1 ammette zeri.