Studio del segno delle derivate. Lezione 11 del 6/12/2018

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1 Studio del segno delle derivate Lezione 11 del 6/12/2018

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3 Segno della derivata prima Data una funzione f(x) derivabile in un intervallo I, allora se f x > 0 x I allora la funzione f(x) è strettamente crescente in I se f x < 0 x I allora la funzione f(x) è strettamente decrescente in I Se f x = 0, che andamento ha la funzione in tale punto? Cosa vuol dire geometricamente? (Ripensare al significato geometrico della derivata in un punto) Il coefficiente angolare della retta tangente è zero, cioè la retta tangente è orizzontale!

4 Teorema Sia f: a, b R una funzione continua, e supponiamo inoltre che sia derivabile in (a, b). Se x 0 (a, b) è un punto di massimo (o minimo) locale (o assoluto), allora f x 0 = 0 x 0 è detto punto critico (o stazionario) di f.

5 Riepilogando Nei punti di massimo o minimo locale la derivata prima, se esiste, è nulla. La retta tangente alla curva in questi punti è parallela all asse x. Se la derivata prima è nulla in x 0 non vuol dire che in x 0 ci sia un massimo o un minimo locale!

6 Esempio 1 f x = x 2 5x + 6 f x = 2x 5 f x = 2x 5 0 x > 5 2 x < 5 2 f(x) è crescente f(x) è decrescente x = 5 2 f 5 2 è un minimo locale

7 Esempio 2 f x = x 3 f x = 3x 2 f x = 3x 2 0 x R f x = 0 per x = 0 f x sempre crescente f 0 non è né massimo né minimo locale È un flesso a tangente orizzontale (perché cambia la concavità della funzione)

8 Derivata seconda Sia data una funzione f(x). Se la sua funzione derivata prima f (x) è derivabile in un intervallo, la sua derivata si chiama derivata seconda di f(x) e si indica con f x. Nelle stesse condizioni si può derivare la derivata seconda, ottenendo la derivata terza di f x. Data una funzione f(x) derivabile in un intervallo: è convessa negli intervalli del dominio in cui si ha f x > 0 (esempio: la parabola con la concavità verso l alto) è concava negli intervalli del dominio in cui si ha f x < 0 (esempio: la parabola con la concavità verso il basso) i punti del grafico della funzione in cui cambia la concavità si chiamano punti di flesso. In tali punti f x = 0

9 Asintoti (Approfondimento) Se lim x x0 f(x) = ± Se lim f(x) = l x ± Se lim x + Quindi se x = x 0 asintoto verticale y = l asintoto orizzontale f(x) = ± potrebbe esserci un asintoto obliquo (retta di equazione y = mx + q). f(x) lim x + x y = mx + q è asintoto obliquo = m R e lim (f x x + mx) = q R Se lim f(x) = ± potrebbe esserci un asintoto obliquo (retta di equazione y = mx + q). x Quindi se f(x) lim = m R e lim (f x x x x y = mx + q è asintoto obliquo mx) = q R

10 Esempio (Approfondimento) Sia f x = x2 +2 x D =, 0 (0, + ) x lim x x = Possibile asintoto obliquo x lim 2 +2 x 0 x = lim x2 +2 x 0 + x = + x = 0 asintoto verticale x lim x + x = + Possibile asintoto obliquo

11 Ricerca dell eventuale asintoto obliquo (Approfondimento) Si cerca l eventuale asintoto obliquo perché lim f x = x L asintoto obliquo di equazione y = mx + q esiste se f(x) lim x x = m R e lim (f x x ± x lim x x 2 = 1 R m = 1 lim x x x mx) = q R x x 2 1 x = lim x x = lim x Per x la funzione tende asintoticamente alla retta y = x. L asintoto obliquo esiste anche per x + 2 x = 0 q = 0

12 Studio di funzione 1. Dominio 2. Limiti agli estremi del dominio => eventuali asintoti 3. Intervalli di crescita e decrescita della funzione, massimi e minimi. 4. Concavità e convessità della funzione, punti di flesso 5. Eventuali intersezioni con gli assi cartesiani Osservazione: ogni informazione ricavata va inserita immediatamente nel grafico.

13 Esercizi: studi di funzione Disegnare i grafici delle seguenti funzioni f x = e 2 1 x f x = e x2 f x = ex x f x = 3 ln x f x = 2 ln(x 2 1) f x = 3x x 2 f x = 2 x log x, x > 1 f x = ቊ x 2, x 1 f x = ቊ ex 2, x 0 x 3 3x, x < 0

14 Esercizi sulle derivate: Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: f x = x2 +3x 1 x 4 +2 f x = x2 +1 x+2 f x = cos x ln(x 2 + 1) f x = 2 ln 1 x f x = e5x x 2 3x f x = x5 2 x e x2 f x = 10 x 4 +2 f x = 10( x 4 + 2) f x = cos 1 x

15 Esercizio Date le seguenti informazioni, ricavare il grafico della funzione f(x). D =, 2 2, + lim f x = 0 lim f x = + x x + lim f(x) = lim x 2 f(x) = + x 2 + f x > 0 x (0, + ) f 0 = 0, f 0 = 2 f x < 0 x, 2 ( 2,0) f x < 0 x, 2 f x > 0 x 2, +

16 Esercizio Date le seguenti informazioni, disegnare il grafico della funzione f(x). D = R lim f(x) = 1 lim x f(x) = x + f x > 0 x (, 3) f x < 0 x (3, + ) f 3 = 0, f 3 = 5 f x > 0 x, 0 (6, + ) f x = 0 per x = 0, 6 f x < 0 x (0,6) f 0 = 2, f 6 = 1 y = f(x) ቊ y = 0 ቊ x = 5 V x = 3 y = 0

17 Esercizio Date le seguenti informazioni, ricavare il grafico della funzione f(x). D =, 2 2, + lim f(x) = + lim x lim f(x) = + lim x 2 f(x) = + x 2 + f x > 0 x 1,2 (3, + ) f 1 = 0, f 1 = 2 f x < 0 x, 1 (2,3) f 3 = 0, f 3 = 1 f(x) = 3 x + f x < 0 x, 5 (4, + ) f 5 = 0 f 5 = 5 f x > 0 x 5,2 (2,4) f 4 = 0 f 4 = 2 y = f(x) ቊ x = 0 ቊ x = 0 y = 4

18 Esercizio Date le seguenti informazioni, disegnare il grafico della funzione f(x). D = R lim f(x) = + lim x f(x) = + x + f 4 = 0, f 4 = 1 f 0 = 0, f 0 = 2 f 4 = 0, f 4 = 1 f x < 0 x, 4 (0,4) f x > 0 x 4,0 (4, + ) f 1 = 0, f 1 = 0 f 1 = 0, f 1 = 0 f x > 0 x, 1 (1, + ) f x < 0 x ( 1,1) y = f(x) ቊ y = 0 ቊ x = 6 V x = 6 y = 0