La curva di Hubbert. C) solo f(x) può essere associata a Si mostri che è simmetrica rispetto alla retta x= ln(4)

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Veronica Severina Arcuri
4 anni fa
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1 La curva di Hubbert La curva di Hubbert La curva in figura rappresenta la produzione annua ( in Gigabarili per anno ) di una certa risorsa non rinnovabile, in funzione del tempo x espresso in anni (Curva di Hubbert) Il valore 0 corrisponde all anno in corso. 1.Si individuino gli intervalli in cui la produzione annua cresce o decresce i punti in cui è massima la rapidità di crescita o di decrescita Si tracci un grafico qualitativo della funzione che rappresenta la produzione cumulativa sapendo che questa tende a 0 quando x tende a e tende a un valore finito quando x tende a 2.Si spieghi perché tra i seguenti modelli matematici A) B) C) solo f(x) può essere associata a Si mostri che è simmetrica rispetto alla retta x= ln(4) 3.Si determini l espressione analitica della funzione che rappresenta la produzione cumulativa e si ritrovino per via analitica i risultati del punto 1 4.Si calcoli il valore della produzione complessiva <<a vita intera>>, cioè nell intervallo

2 Soluzione 1. La produzione annua cresce da al valore corrispondente al punto di massimo, circa 1,5, poi decresce. La rapidità di crescita o di diminuzione è massima nei due punti di flesso, uno dei quali è in prossimità del punto di incontro di con l asse y, l altro è il simmetrico rispetto alla retta verticale passante per il massimo (asse di simmetria) La funzione che rappresenta la produzione cumulativa è la funzione integrale calcolata da una primitiva. a un certo valore di x, della funzione associata a della quale è Si tratta di una funzione sempre crescente, essendo la sua derivata sempre positiva, che volge la concavità verso l alto o verso il basso nell intervallo in cui è crescente,verso il basso dove è decrescente e ha un flesso corrispondente al punto di massimo della derivata. La pendenza della funzione cumulativa tende a 0 per sapendo che questa tende a 0 quando x tende a e tende a un valore finito quando x tende a, possiamo dedurre l esistenza di due asintoti orizzontali. 2. è sempre decrescente

3 h(x) non tende asintoticamente a 0 quando x tende a Studio di f(x).simmetria rispetto alla retta x=ln(4) = 2. sostituendo Funzione integrale =

4 Significato fisico: la totalità della produzione <<a vita intera>> della risorsa nella regione considerata. Riprendiamo lo studio di Dallo studio del segno si evince che f(x), e quindi la produzione annua, è crescente per x<ln(4) e decrescente per x> ln(4) è massimo relativo e assoluto Gli zeri della derivata seconda sono soluzioni dell equazione che può essere risolta con la sostituzione di variabile 0,07 2,70 Dal segno della derivata seconda

5 si deduce che la curva volge la concavità verso l alto negli intervalli esterni a, verso il basso per valori interni. In corrispondenza di si hanno i flessi. Per x< la produzione cresce con velocità crescente in la velocità di crescita raggiunge il massimo per poi diminuire e annullarsi nel punto di stazionarietà. Per x> ln(4), la produzione decresce ma la velocità di diminuzione aumenta fino al secondo punto di flesso per poi decrescere (si parla del valore assoluto della derivata) 4. La totalità della produzione <<a vita intera>> della risorsa nella regione considerata corrisponde all area della regione illimitata sottesa alla curva ed è uguale a

6 Il risultato ci dice praticamente che il totale delle risorse recuperabili è di 10 GB

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