Foglio di Esercizi 9 con Risoluzione 29 dicembre 2015

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1 Matematica per Farmacia, a.a. 5/6 Foglio di Esercizi 9 con Risoluzione 9 dicembre 5 Esercizio. Integrare per parti: L integrale che poi si ottiene puó essere risolto con una sostituzione). ln d e arctan d (quest ultimo considerando f () =. Risoluzione: nel primo integrale applico la formula di integrazione per parti considerando f () = e g() = ln, in modo da trovare poi, nell integrale successivo che si ottiene applicando la formula, la derivata del logaritmo, che è una funzione razionale: ln d = ln d = / ln /4 + c; analogamente nel secondo integrale considero f () = e g() = arctan : arctan d = arctan d = arctan + ln( + ) + c, dove per calcolare l ultimo integrale si è utilizzata la sostituzione y = + dy = d d = dy/. Esercizio. Calcolare: d, + d, e d. Risoluzione: con la sostituzione y =, oppure direttamente: d = ( ) / d = ( ) / / + c = 9 ( )/ + c, ; + d = ( ) 5/ / + d = 7 7/ 4 5 5/ + + c, > ; con la sostituzione y = dy = d d = dy/, oppure direttamente: e d = e y dy = ey + c = e + c. Esercizio. Associare a ciascuna delle seguenti funzioni: f () = tan() ( ( π/4, π/4) ), g() = la rispettiva primitiva, tra le seguenti ( R ), h() = 5 + ln( ) ln( + ), ln ( cos() ), arctan( + ). Risoluzione: D ( ln( ) ln( + ) ) = + = +4 + D ( ln ( cos() )) sin() = D ( arctan( + )) = cos() ( )(+) = 5 = sin() cos() = tan() = f () ( ( π/4, π/4) ), / +(+) /4 = = ++5 = g() ( R ). ( (/, + ) ), + = h() ( (/, + ) ), Esercizio 4. Calcolare l area della regione compresa tra il grafico della funzione f () = e e quello della funzione g() = nell intervallo [, ]. Risoluzione: Osserviamo che f () = > g() = e f è crescente, mentre g è decrescente nell intervallo [, ]. Allora f () g() per ogni [, ], e quindi l area della regione di piano compresa tra il grafico di f e quello di g, in questo intervallo è data da: ( f () g()) d = ( e ( ) ) d = [ e + ] = = e = e4 + = e4 +.

2 Esercizio 5. Calcolare i seguenti integrali definiti (attenzione, per calcolarli non serve di conoscere una primitiva della funzione integranda e tale primitiva non esiste per la funzione [] = parte intera di ) π 4 9 d, sin d, [] d, [] d π per il primo integrale osservare che si tratta di calcolare l area di un semicerchio (quale?), per il secondo e il terzo, ragionare sul segno della funzione e sul significato geometrico di integrale. Risoluzione: 9 d = 9 π π, area semicerchio di raggio, sin d =, dove per il secondo integrale abbiamo osservato che si tratta di una funzione dispari integrata su un intervallo simmetrico rispetto all origine, quindi l integrale ci dà l area della regione compresa tra il grafico e l asse delle, per [, π] dove la funzione è positiva (area del sottografico), meno l area della regione compresa tra il grafico e l asse delle, per [ π, ] dove la funzione è negativa (area del sopragrafico al di sotto dell asse ). Il valore dell integrale è nullo poiché le due regioni hanno la stessa area essendo la funzione dispari. Disegnato il grafico della funzione [] negli intervalli di integrazione e ricordando il significato geometrico di integrale otteniamo: 4 [] d = + + = 6, Promemoria: [] := n, [n, n + ), R, n Z. Esercizio 6. Determinare quale tra le seguenti funzioni π [] d = =. e 5, +, log() verifica l equazione differenziale yy = 5, cioé un equazione in cui l incognita è una funzione, y() in questo caso. Allora y() è soluzione per I (I intervallo), se y() e y () soddisfano l equazione per ogni I. Risoluzione: poiché la derivata di un esponenziale è costituita dal prodotto dell esponenziale stesso per la derivata dell esponente, questa funzione non puó essere soluzione dell equazione differenziale. Se fosse y() = + y () = ( + ) / yy = 5 ( ( /5, + ) ), quindi questa funzione è una soluzione dell equazione differenziale. Se fosse y() = log() y () = log() + log e = log() + log e, quindi questa funzione non è soluzione dell equazione differenziale (yy = ). Esercizio 7. Studiare la funzione y() = +9e / e disegnarne il grafico. Se rappresenta il tempo in anni e y() la numerosità di una specie di uccelli in centinaia di esemplari, che cosa ci dice il grafico della funzione? A quanto ammonta la popolazione all istante iniziale =? Dopo quanto tempo circa la popolazione supererà le 5 centinaia? Dire se y() è soluzione della seguente equazione differenziale: y () = ( y ) y.

3 Risoluzione: La funzione y() è definita in tutto R poichè il denominatore non si annulla mai essendo somma di quantità positive. lim y() = + = y = è asintoto orizzontale per y per. lim + y() = y = è asintoto orizzontale per y per +. y () = ( 9e / /) = 45e / ) > R y è una funzione sempre crescente. All istante (+9e / ) (+9e / ) iniziale = si ha y() = centinaio di uccelli. Risulta y() = 5 = + 9e / = 9e / e / = 9 / = ln 9 = ln 9 = 4 ln 4, 4 anni. Verifichiamo che y() è soluzione dell equazione differenziale indicata: y () = 45e / )? ( ) (+9e / ) = y y = ( ) 5 = 9e / 5 = 45e /, quindi l equazione +9e / +9e / +9e / +9e / (+9e / ) è verificata R (possiamo togliere il punto interrogativo sull uguaglianza). Interpretazione dell Equazione Differenziale: dall equazione differenziale vediamo che la velocità y () di variazione della numerosità y() degli uccelli al tempo, è proporzionale al numero degli uccelli, com è ragionevole aspettarsi, ma il coefficiente di proporzionalità ( y ) / è positivo se la popolazione è inferiore alle centinaia, negativo se la popolazione è superiore a quel valore. Il valore centinaia si chiama anche capacità portante dell ambiente. Si potrebbe dimostrare che qualunque soluzione dell equazione, con dato positivo y( ) > ad un tempo, è una funzione che, come in questo caso, tende a per che tende a +. Infatti la popolazione riesce a svilupparsi ed aumentare, perché l ambiente ha sufficiente spazio e risorse, fintantoché si mantiene al di sotto del valore centinaia a cui si avvicinerà per che tende a +. Viceversa la popolazione diminuisce tendendo a quel valore, nel caso inizialmente lo superasse. Inoltre se ad un certo istante si avesse y( ) =, la funzione costante y() sarebbe soluzione per ogni R (verificare). Esercizio 8. Calcolare media aritmetica, mediana, moda, varianza, scarto quadratico medio, intervallo di variazione, i quartili e la distanza interquartile, per ciascuno dei seguenti gruppi di dati che si riferiscono al peso in Kg di un gruppo di individui (i dati sono arrotondati): Gruppo A: Kg. 4 (due individui) Kg. 45 ( individui) Kg. 5 ( individui) Kg. 55 ( individui) Gruppo B: Kg. 4 ( individui) Kg. 45 ( individui) Kg. 5 (5 individui) Kg. 55 ( individui) Stabilire se i dati del secondo gruppo sono piú o meno dispersi rispetto al primo gruppo. Quali indici misurano la dispersione dei dati?

4 4 Risoluzione: (tutte le quantità che calcoliamo sono in kg, salvo le varianze che sono in kg ): M(A) = = 865 5, 6, M(B) = Me(A) = 9 = 5, Me(B) = 9+ = 55; Mo(A) = 5, Mo(B) = 55; (A) = M(A) = , 6; = 9,5 8,, (B) = M(B) 55, 8 4, 8 (A) = (A) 4, 7, (B) = (B) 6, 9; I V (A) = I V (B) = 55 4 = 5; q (A) = 4+ 5 = 45, q (B) = = 4, q (A) = = 55, q (B) = 9 = 55 q (A) q (A) = =, q (B) q (B) = 55 4 = 5. (non si 8 = sono indicati il quartile q in quanto coincide banalmente con il primo elemento, q che coincide con la mediana, già calcolata, q 4 che coincide con l ultimo elemento). Lo scarto quadratico medio, l intervallo di variazione, la distanza interquartile sono indici di dispersione e vediamo che, a parte l intervallo di variazione che coincide per i due gruppi, queste grandezze sono maggiori per il gruppo B che quindi risulta piú disperso del gruppo A. Esercizio 9. Verificare che, dati n valori (ovvero numeri reali) {,..., n }, di media aritmetica, si ha sempre n ( i ) =. [Suggerimento: verificarlo inizialmente ad esempio prendendo n = e = 4, = 6, = ] Risoluzione: nel caso n = e = 4, = 6, =, si ha = + + ( i ) = (4 7) + (6 7) + ( 7) = = =. = 4+6+ = = 7, quindi In generale: n ( i ) = n i n = n n = (si è usata l uguaglianza n i = n che si deduce dalla definizione di media). Esercizio. Mostrare che, dati n valori (ovvero numeri reali) {,..., n }, di media aritmetica, la funzione della variabile : V() = ha un minimo assoluto per =. n ( i ). [Suggerimento: verificarlo inizialmente ad esempio prendendo n = e = 4, = 6, = ] Risoluzione: nel caso n = e = 4, = 6, =, si ha V() = (4 ) + (6 ) + ( ), quindi V () = (4 ) (6 ) ( ) ( ) è punto di minimo per V perché V decresce per e cresce per. In generale: V () = n ( i ) = n( ) è punto di minimo per V perché V decresce per e cresce per. Esercizio. La distribuzione delle altezze di un gruppo di ragazze è di tipo gaussiano con media µ =, 6 m. e scarto quadratico medio pari a cm. Calcolare quante ce ne aspettiamo: con altezza superiore a un metro e cinquanta e inferiore a un metro e settanta, con altezza inferiore a un metro e cinquanta,

5 con altezza superiore a un metro e cinquanta. [Ricordiamo che in una distribuzione gaussiana con media µ e scarto quadratico medio, nell intervallo [µ, µ + ] cade circa il 68% delle misure]. Risoluzione: Quante ce ne aspettiamo con altezza superiore a, 5 =, 6, = µ e inferiore a, 7 =, 6 +, = µ +, quindi con altezza nell intervallo [µ, µ + ] cade circa il 68% delle misure, quindi approssimativamente 68 = 68 ragazze; con altezza inferiore a, 5 =, 6, = µ, quindi nell intervallo (, µ ]: poiché in tutto R cade il % delle misure e la distribuzione è simmetrica rispetto a µ, nell intervallo (, µ ] cade il 68 % = 6 % delle misure, quindi circa 6 = 6 ragazze; con altezza superiore a, 5 =, 6, = µ saranno tutte quelle non considerate al punto precedente, ovvero circa 6 = 84 ragazze. Esercizio. La distribuzione delle altezze degli individui di una popolazione è di tipo gaussiano con media µ =, 6 m. e scarto quadratico medio pari a 7 cm. Calcolare su un gruppo di 8 individui quanti ce ne aspettiamo di altezza inferiore a, 75 m (usare la tabella della distribuzione gaussiana che ha dati piú precisi, al link Tabelle della Gaussiana). Risoluzione:, 75 =, 6 +, 4, 7, quindi corrisponde a z =, 4 nella tabella (relativa all intervallo [µ, µ + ]), dove troviamo il valore, 488. A tale valore dobbiamo sommare l area del sotto grafico nell intervallo (, µ] pari a / =, 5, quindi in totale abbiamo che sono sotto a m., 75 circa lo, 48 +, 5 =, 98 = 98 % degli individui, ossia 8, 98 = 784 individui. Esercizio. Usare una sostituzione per mostrare che: π µ+z µ z Risoluzione: Con la sostituzione y = µ e ( µ) d = π z z e y dy. dy = d si ottiene e ( µ) d = e y π π Agli estremi di integrazione = µ z e = µ + z, corrispondono allora y = µ y = µ = +z, quindi l uguaglianza richiesta è dimostrata. 5 dy. = z e