Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, 5 febbraio 2018 Testi 1

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1 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Testi Prima parte, gruppo.. Trovare r > e α [ π, π] per cui vale l identità 3 sin 3 cos = r sin( + α).. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) ( + )e ; b) ; c) log ( 3 / ). 3. Trovare i punti di minimo e di massimo della funzione f() := e relativamente alla semiretta, specificando quando non esistono. 4. Trovare il polinomio di Taylor in all ordine 4 della funzione f() := (3 ) cos(). 5. Mettere le seguenti funzioni nell ordine corretto rispetto alla relazione per + : 6. Calcolare 4 e + a e d. 7. Calcolare il valore della serie log + b 4 n + n. n! + 3 log c 8. Risolvere graficamente la disequazione arctan( ). 4 + d Prima parte, gruppo.. Trovare r > e α [ π, π] per cui vale l identità sin + cos = r sin( + α).. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) ( )e ; b) ; c) log ( /4 ). 3. Trovare i punti di minimo e di massimo della funzione f() := e relativamente alla semiretta, specificando quando non esistono. 4. Trovare il polinomio di Taylor in all ordine 6 della funzione f() := (6 + ) log( + ). 5. Mettere le seguenti funzioni nell ordine corretto rispetto alla relazione per + : 6. Calcolare 4 log + a d. ( + ) 5/ b e + 4 c 3 + d 7. Calcolare il valore della serie n + 3 n 4 n. 8. Risolvere graficamente la disequazione arctan( + ). Prima parte, gruppo 3.. Trovare r > e α [ π, π] per cui vale l identità sin + cos = r sin( + α).. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) e ; b) 3 ; c) log ( / ).

2 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Testi 3. Trovare i punti di minimo e di massimo della funzione f() := e relativamente alla semiretta, specificando quando non esistono. 4. Trovare il polinomio di Taylor in all ordine 9 della funzione f() := (6 3 ) log( + 3 ). 5. Mettere le seguenti funzioni nell ordine corretto rispetto alla relazione per + : + (log ) a b 4 e + c ( + log ) + d 6. Calcolare e 3 d. 7. Calcolare il valore della serie n= n n!. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, y) tali che arctan( ) y. Prima parte, gruppo 4.. Trovare r > e α [ π, π] per cui vale l identità sin cos = r sin( + α).. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) sin(e ); b) () ; c) log ( / 3). 3. Trovare i punti di minimo e di massimo della funzione f() := e / relativamente alla semiretta, specificando quando non esistono. 4. Trovare il polinomio di Taylor in all ordine 8 della funzione f() := (3 4 ) cos( ). 5. Mettere le seguenti funzioni nell ordine corretto rispetto alla relazione per + : 6. Calcolare e d. + 4 a 3 b c d 7. Calcolare il valore della serie 4 n + 3 n 6 n. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, y) tali che y arctan( ). Prima parte, gruppo 5.. Trovare r > e α [ π, π] per cui vale l identità 3 sin + 3 cos = r sin( + α).. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) cos(e ); b) (3) ; c) log ( 4 / ). 3. Trovare i punti di minimo e di massimo della funzione f() := e / relativamente alla semiretta 3, specificando quando non esistono. 4. Trovare il polinomio di Taylor in all ordine 9 della funzione f() := (6 + 3 ) log( + 3 ).

3 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Testi 3 5. Mettere le seguenti funzioni nell ordine corretto rispetto alla relazione per + : 6. Calcolare + (log ) a d. ( + ) 5/ 7. Calcolare il valore della serie + ( + log ) b n 3 n. n! c 8. Risolvere graficamente la disequazione arctan( ). e 4 + d Prima parte, gruppo 6.. Trovare r > e α [ π, π] per cui vale l identità 3 sin + 3 cos = r sin( + α).. Calcolare le derivate delle seguenti funzioni: a) sin(e 3 ); b) (4) ; c) log ( / ). 3. Trovare i punti di minimo e di massimo della funzione f() := e / relativamente alla semiretta, specificando quando non esistono. 4. Trovare il polinomio di Taylor in all ordine 6 della funzione f() := (6 ) log( + ). 5. Mettere le seguenti funzioni nell ordine corretto rispetto alla relazione per + : 6. Calcolare e 3 d. + a + 5 b 3 + c 3 + d 7. Calcolare il valore della serie n= n. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, y) tali che y arctan( + ). Seconda parte, gruppo.. a) Per ogni a R determinare il numero di soluzioni dell equazione 3 = ae. (*) b) Per ogni a per cui l equazione (*) ammette delle soluzioni, indico con (a) la più grande di queste soluzioni. Determinare lo sviluppo di Taylor in di ordine della funzione (a), cioè trovare le costanti c e c per cui vale (a) = c + c a + o(a).. a) Disegnare l insieme A dei punti (, y) tali y b) Dire se A ha area finita. c) Dire se il solido V ottenuto ruotando A attorno all asse ha volume finito. 3. Consideriamo la funzione f() := n (n)!.

4 4 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Testi a) Dimostrare che la funzione f() è definita e finita per ogni R. b) Dimostrare che f() risolve l equazione differenziale f f =. c) Trovare una formula per f(). Seconda parte, gruppo.. a) Per ogni a R determinare il numero di soluzioni dell equazione 8 = ae. (*) b) Per ogni a per cui l equazione (*) ammette delle soluzioni, indico con (a) la più grande di queste soluzioni. Determinare lo sviluppo di Taylor in di ordine della funzione (a), cioè trovare le costanti c e c per cui vale (a) = c + c a + o(a).. a) Disegnare l insieme A dei punti (, y) tali y b) Dire se A ha area finita. c) Dire se il solido V ottenuto ruotando A attorno all asse ha volume finito. 3. Consideriamo la funzione f() := n (n)!. a) Dimostrare che la funzione f() è definita e finita per ogni R. b) Dimostrare che f() risolve l equazione differenziale f f =. c) Trovare una formula per f(). Seconda parte, gruppo 3.. a) Per ogni a R determinare il numero di soluzioni dell equazione = ae. (*) b) Per ogni a per cui l equazione (*) ammette delle soluzioni, indico con (a) la più grande di queste soluzioni. Determinare lo sviluppo di Taylor in di ordine della funzione (a), cioè trovare le costanti c e c per cui vale (a) = c + c a + o(a).. a) Disegnare l insieme A dei punti (, y) tali y b) Dire se A ha area finita. c) Dire se il solido V ottenuto ruotando A attorno all asse ha volume finito. 3. Consideriamo la funzione f() := n (n)!. a) Dimostrare che la funzione f() è definita e finita per ogni R. b) Dimostrare che f() risolve l equazione differenziale f f =. c) Trovare una formula per f(). Seconda parte, gruppo 4.. a) Per ogni a R determinare il numero di soluzioni dell equazione 6 = ae. (*)

5 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Testi 5 b) Per ogni a per cui l equazione (*) ammette delle soluzioni, indico con (a) la più grande di queste soluzioni. Determinare lo sviluppo di Taylor in di ordine della funzione (a), cioè trovare le costanti c e c per cui vale (a) = c + c a + o(a).. a) Disegnare l insieme A dei punti (, y) tali y b) Dire se A ha area finita. c) Dire se il solido V ottenuto ruotando A attorno all asse ha volume finito. 3. Consideriamo la funzione f() := n (n)!. a) Dimostrare che la funzione f() è definita e finita per ogni R. b) Dimostrare che f() risolve l equazione differenziale f f =. c) Trovare una formula per f().

6 6 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Soluzioni Prima parte, gruppo.. Poiché r sin( + α) = r cos α sin + r sin α cos devo trovare r e α in modo che r cos α = 3, r sin α = 3, e quindi r = 3, α = π/4.. a) e ; b) ( + log ); c) 3 log. 3. Il punto di minimo è =, il punto di massimo è =. 4. Il polinomio è P () = L ordine corretto è d b a c. 6. Integrando per parti ottengo e d = ( e ) + 7. Mi riconduco alla serie di Taylor dell esponenziale: 4 n + n = n! + ( e )d = e =. 4 n + n! + n n! = e4 + e. 8. Risolvere graficamente la disequazione arctan( ). Prima parte, gruppo.. Poiché r sin( + α) = r cos α sin + r sin α cos devo trovare r e α in modo che r cos α =, r sin α =, e quindi r =, α = π/4.. a) ( )e ; b) ( + log ) ; c) log Il punto di minimo non esiste, il punto di massimo è =. 4. Il polinomio è P () = L ordine corretto è b c a d. 6. Usando il cambio di variabile y = + ottengo ( + ) d = y 5/ dy = 5/ 3 y 3/ + c = 3( + ) + c. 3/ 7. Mi riconduco alla serie geometrica: n + 3 n 4 n = (/4) n + (3/4) n = /4 + 3/4 = 6.

7 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Soluzioni 7 8. Risolvere graficamente la disequazione arctan( + ). Prima parte, gruppo 3.. Poiché r sin( + α) = r cos α sin + r sin α cos devo trovare r e α in modo che r cos α =, r sin α =, e quindi r =, α = 3π/4.. a) ( + )e ; b) 3 (3 + 3 log ) ; c) log. 3. Il punto di minimo non esiste, il punto di massimo è =. 4. Il polinomio è P () = L ordine corretto è b d c a. 6. Usando il cambio di variabile y = 3 ottengo ep( 3 ) d = 3 7. Mi riconduco alla serie di Taylor dell esponenziale: n= e y d = e y = 3 3. n [ + n! = n ] = e 3. n! 8. Disegnare l insieme A dei punti (, y) tali che arctan( ) y. Prima parte, gruppo 4.. Poiché r sin( + α) = r cos α sin + r sin α cos devo trovare r e α in modo che r cos α =, r sin α =, e quindi r =, α = π/4.. a) e cos(e ); b) () ( + log()); c) log 3.

8 8 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Soluzioni 3. Il punto di minimo è =, il punto di massimo non esiste. 4. Il polinomio è P () = L ordine corretto è d a c b. 6. Integrando per parti ottengo e d = ( e ) e d = e e + c = ( + )e + c. 7. Mi riconduco alla serie geometrica: 4 n + 3 n 6 n = (4/6) n + (3/6) n = 4/6 + 3/6 = Disegnare l insieme A dei punti (, y) tali che y arctan( ). Prima parte, gruppo 5.. Poiché r sin( + α) = r cos α sin + r sin α cos devo trovare r e α in modo che r cos α = 3, r sin α = 3, e quindi r = 3, α = π/4.. a) e sin(e ); b) (3) ( + log(3)); c) log Il punto di minimo è =, il punto di massimo non esiste. 4. Il polinomio è P () = L ordine corretto è a d b c. 6. Usando il cambio di variabile y = + ottengo ( + ) 5/ d = 7. Mi riconduco alla serie di Taylor dell esponenziale: y 5/ dy = + 3 y 3/ = 3. n 3 n n! = n + n! + 3 n n! = e e Risolvere graficamente la disequazione arctan( ).

9 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Soluzioni 9 Prima parte, gruppo 6.. Poiché r sin( + α) = r cos α sin + r sin α cos devo trovare r e α in modo che r cos α = 3, r sin α = 3, e quindi r = 3, α = 3π/4.. a) 3e 3 cos(e 3 ); b) (4) ( + log(4)); c) log. 3. Il punto di minimo è =, il punto di massimo è =. 4. Il polinomio è P () = L ordine corretto è b c d a. 6. Usando il cambio di variabile y = 3 ottengo ep( 3 ) d = e y d = ey c = ) ep( 3 + c Mi riconduco alla serie geometrica: [ + n = ] (/) n = / =. n= 8. Disegnare l insieme A dei punti (, y) tali che y arctan( + ). Seconda parte, gruppo.. a) Riscrivo l equazione nella forma ( 3)e = a (*) e studio quindi la funzione f() = ( 3)e. Questa funzione è definita per ogni R, positiva per 3 e per 3 e negativa altrimenti (in particolare f() = per = ± 3),

10 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Soluzioni inoltre f() tende a per + e tende a + per. Infine, studiando il segno della derivata f () = ( + + 3)e, ottengo che f() cresce nell intervallo 3, e decresce nelle semirette e 3. Utilizzando queste informazioni traccio il grafico sottostante. Da questo grafico si vede subito che l equazione (*) ha soluzione per a > 6/e 3 = f(3), soluzioni per a = 6/e 3, 3 soluzioni per 6/e 3 > a >, soluzioni per a > e = f( ), soluzione per a = e, soluzioni per a < e. b) Le costanti c e c nello sviluppo di Taylor (a) = c + c a + o(a) sono date da c = () = 3, c = ẋ() = f ( 3) = ep( 3). 3 (Per calcolare c ho usato il fatto che (a) è la funzione inversa di f() e la formula per la derivata della funzione inversa.). a) Come prima cosa studio la funzione f() := Osservo che questa funzione è pari, definita per ogni R, strettamente positiva, e tende a + per ±. Inoltre e dunque f() è crescente per >. Infine f () = 3 ( 3 + ) /3 per, f() = > 3 3 = e f() per ±. Utilizzando queste informazioni traccio la figura sottostante.

11 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Soluzioni b) L area di A è data da area(a) = f() d = ( 3 + ) /3 d. () Osservo che il secondo integrale è improprio (semplice) a +, e per capirne il comportamento cerco la parte principale della funzione integranda per + : [ ( ( 3 + ) /3 = + ) ] [ /3 3 = + ( ) ] O 6 3 (nel primo passaggio ho raccolto dalla potenza, nel secondo passaggio ho usato lo sviluppo di Taylor ( + t) /3 = + 3 t + O(t ).) Pertanto il secondo integrale in () si comporta come d/, e quindi è finito. Dunque l area di A è finita. c) Le sezioni di V con piani ortogonali all asse delle sono corone circolari con raggio esterno f() e raggio interno e quindi hanno area π(f () ); in particolare il volume di V è dato da volume(v ) = π ( ) + f() d = π ( 3 + ) /3 d. () Osservo che il secondo integrale è improprio (semplice) a +, e per capirne il comportamento cerco la parte principale della funzione integranda per + : [ ( ( 3 + ) /3 = + ) ] [ /3 3 = + ( ) ] O 6 3 (nel primo passaggio ho raccolto dalla potenza, nel secondo passaggio ho usato lo sviluppo di Taylor ( + t) /3 = + 3 t + O(t ).) Pertanto il secondo integrale in () si comporta come d/, e quindi è infinito. Dunque il volume di V è infinito. 3. a) Usando il cambio di variabile y = ottengo f() := n + (n)! = y n (n)! e per la seconda serie di potenze posso calcolare il raggio di convergenza R usando il criterio del rapporto: /((n + ))! lim = lim n + /(n)! n + (n)! (n + )! = lim n + (n + )(n + ) =, e quindi R = +. Questo implica che la seconda serie di potenze in (3) converge per ogni y R, e dunque la funzione f() è definita (e finita) per ogni R. b) Derivando la somma f() termine a termine per due volte ottengo f () = ( n ) (n)! = = n= n= n(n ) n (n)! (n ) + ((n ))! = m= m (m)! = f(), da cui segue che f = f. (Nel secondo passaggio ho utilizzato il fatto che la derivata seconda del primo addendo della serie è zero, nel penultimo ho usato il cambio di variabile m = n.) c) La funzione f risolve l equazione differenziale f f =, che è del secondo ordine, lineare, omogenea e a coefficienti costanti, ed ha equazione caratteristica λ =, con soluzioni λ = ±. Ne segue che f è della forma f() = c e + c e (3)

12 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Soluzioni con c e c costanti opportune. Per determinare queste costanti osservo che f() = e che essendo f una funzione pari, f è dispari e quindi f () =. Riscrivendo queste due condizioni in termini di c e c ottengo da cui segue che c = c = / e quindi = f() = c + c, = f () = c c, f() = e + e. Seconda parte, gruppo.. Analogo al gruppo. a) Riscrivo l equazione nella forma ( 8)e = a e studio la funzione f() := ( 8)e. Questa funzione tende a per + e a + per, ha un punto di minimo assoluto in = e un punto di massimo locale in = 4. Infine il numero di soluzioni della (*) è soluzione per a > 8/e 4 = f(4), soluzioni per a = 8/e 4, 3 soluzioni per 8/e 4 > a >, soluzioni per a > 4e = f( ), soluzione per a = 4e, soluzioni per a < 4e. b) Lo sviluppo di Taylor cercato è (a) = + ep( ) 4 a + o(a).. Il disegno dell insieme A è sostanzialmente lo stesso del gruppo. L area di A è data da: area(a) = f() d = mentre il volume di V è dato da volume(v ) = π 3. Uguale al gruppo. = ( 5 + ) /5 d ( ) O d 9 d 4 < +, ( ) + f() d = π ( 5 + ) /5 d = π ( ) O d 8 d 3 < +. Seconda parte, gruppo 3.. Analogo al gruppo. a) Riscrivo l equazione nella forma ( )e = a e studio la funzione f() := ( )e. Questa funzione tende a per + e a + per, ha un punto di minimo assoluto in = e un punto di massimo locale in =. Infine il numero di soluzioni della (*) è soluzione per a > /e 4 = f(), soluzioni per a = /e 4, 3 soluzioni per /e 4 > a >, soluzioni per a > e = f( ), soluzione per a = e, soluzioni per a < e. b) Lo sviluppo di Taylor cercato è (a) = + ep( ) a + o(a).

13 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Soluzioni 3. Il disegno dell insieme A è sostanzialmente lo stesso del gruppo. L area di A è data da: area(a) = f() d = mentre il volume di V è dato da volume(v ) = π 3. Uguale al gruppo. = ( 3 + ) /3 d ( ) 3 + O d 5 d < +, ( ) + f() d = π ( 3 + ) /3 d = π 4 ( ) 3 + O d 4 d = +. Seconda parte, gruppo 4.. Analogo al gruppo. a) Riscrivo l equazione nella forma ( 6)e = a e studio la funzione f() := ( 6)e. Questa funzione tende a per + e a + per, ha un punto di minimo assoluto in = e un punto di massimo locale in = 3. Infine il numero di soluzioni della (*) è soluzione per a > 3/e 6 = f(3), soluzioni per a = 3/e 6, 3 soluzioni per 3/e 6 > a >, soluzioni per a > e 4 = f( ), soluzione per a = e 4, soluzioni per a < e 4. b) Lo sviluppo di Taylor cercato è (a) = 6 + ep( 6) a + o(a). 6. Il disegno dell insieme A è sostanzialmente lo stesso del gruppo. L area di A è data da: area(a) = f() d = mentre il volume di V è dato da volume(v ) = π 3. Uguale al gruppo. = ( 5 + ) /5 d ( ) O d 9 d 4 < +, ( ) + f() d = π ( 5 + ) /5 d = π 4 ( ) O d 8 d 3 < +. Commenti Seconda parte, esercizio. Nessuno dei presenti ha svolto correttamente il punto b). Seconda parte, esercizio. Molti dei presenti hanno disegnato correttamente l insieme A senza tuttavia giustificare in alcun modo il disegno. In particolare quasi nessuno ha controllato che effettivamente f() > per ogni (faccio riferimento alla soluzione data sopra), cosa che è fondamentale per impostare il disegno e il calcolo dell area di A.

14 4 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 7-8 Scritto del secondo appello, 5 febbraio 8 Soluzioni Seconda parte, esercizio. Molti dei presenti hanno scritto che area(a) = f() d d = + (+ ) e ne hanno dedotto che l area di A non esiste. Il punto è che è sbagliato scrivere l area come differenza di due integrali impropri se questi vengono entrambi uguali a +. Seconda parte, esercizio. Molti dei presenti hanno scritto che l area di A è infinita semplicemente perché l insieme A è illimitato. Seconda parte, esercizio. La maggior parte dei presenti ha scritto che il volume di V è dato da ( ) d volume(a) = π f(), cosa che è semplicemente sbagliata. Seconda parte, esercizio 3. La serie presentata non è una serie di potenze nel senso solito, per via del fatto che nell addendo generico appare n invece di n. Per ricondursi ad una serie di potenze nel senso solito (di cui calcolare il raggio di convergenza) bisogna utilizzare il cambio di variabile y = come spiegato nella soluzione data sopra.