Analisi Matematica I

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1 Versione: 4 novembre 7 Università di Pisa Corso di laurea in Ingegneria Gestionale Testi e soluzioni degli scritti d esame di Analisi Matematica I a.a. 6-7 Giovanni Alberti Giovanni Alberti Dipartimento di Matematica Università di Pisa largo Pontecorvo Pisa

2 Avvertenze. Gli scritti d esame per il corso di Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale si compongono di due parti: una prima parte con otto domande o problemi molto semplici a cui si deve dare solo la risposta, ed una seconda con tre problemi a cui si deve invece dare una soluzione articolata in dettaglio. Il tempo a disposizione è di un ora per la prima parte e di due ore per la seconda. Per la sufficienza sono solitamente richieste almeno cinque risposte corrette nella prima parte, ed un problema completamente risolto nella seconda. La prima sezione di questa raccolta contiene i testi di tutti gli scritti, incluse le prove in itinere, mentre la seconda contiene una breve traccia delle soluzioni. Programma del corso [versione: 8 dicembre 6]. Sono riportati in corsivo gli argomenti non fondamentali.. Funzioni e grafici. Funzioni: dominio, codominio, immagine, grafico; funzione inversa; funzioni pari e dispari, crescenti e decrescenti.. Funzioni elementari: funzioni lineari, potenze, esponenziali, logaritmo (in base e), funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente) e funzioni trigonometriche inverse..3 Operazioni sui grafici di funzioni. Interpretazione di equazioni e disequazioni in termini di grafici di funzioni..4 Richiamo delle nozioni di base di trigonometria. Coordinate polari di un punto nel piano.. Limiti di funzioni e continuità. Limiti di funzioni, proprietà elementari, forme indeterminate.. Funzioni continue. Esistenza del minimo e del massimo di una funzione continua su un intervallo chiuso (teorema di Weierstrass), senza dimostrazione. 3. Derivate 3. Derivata di una funzione: definizione e significato geometrico. Altre interpretazioni della derivata. 3. Derivate delle funzioni elementari e regole per il calcolo delle derivate. 3.3 Segno della derivata e monotonia. Segno della derivata seconda e convessità. Individuazione dei punti di massimo e di minimo (locali) di una funzione. Uso delle derivate per disegnare il grafico di una funzione. 3.4 Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauch. Dimostrazione rigorosa (non grafica) della relazione tra monotonia e segno della derivata. 3.5 Teorema di de l Hôpital (dimostrazione parziale). Confronto tra i comportamenti asintotici di esponenziali, potenze e logaritmi all infinito e in zero. 3.6 Funzioni asintoticamente equivalenti (vicino ad un punto assegnato). Trascurabilità di una funzione rispetto ad un altra. Notazione di Landau ( o piccolo e o grande ). Parte principale di una funzione all infinito e in zero. 3.7 Sviluppo di Talor (in zero) di una funzione, espressione del resto come o grande e nella forma di Lagrange (con dimostrazione). Sviluppi di Talor di alcune funzioni fondamentali. Formula del binomio di Newton. Uso degli sviluppi di Talor per il calcolo dei limiti e delle parti principali. 4. Elementi di analisi astratta 4. Numeri interi, razionali e reali (definiti come i numeri con espansioni decimali finite o infinite). Definizione di estremo superiore ed inferiore di un insieme qualunque di numeri reali. Completezza dei numeri reali. 4. Teorema di esistenza degli zeri (dimostrazione solo accennata). Algoritmo di bisezione per la determinazione dello zero di una funzione. 5. Integrali 5. Definizione di integrale definito di una funzione in termini di area del sottografico. Approssimazione dell integrale tramite somme finite. Interpretazioni fisica dell integrale: distanza percorsa da un punto in movimento (a velocità non costante) e lavoro di una forza (non costante) su un punto in movimento. 5. Primitiva di una funzione e teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione).

3 5.3 Regole per il calcolo delle primitive (integrali indefiniti) e degli integrali definiti. 5.4 Calcolo delle aree delle figure piane. Calcolo dei volumi delle figure solide, e in particolare dei solidi di rotazione. 5.5 Legge oraria di un punto in movimento nel piano o nello spazio, velocità ed accelerazione come derivate, distanza percorsa come integrale del modulo della velocità. 6. Integrali impropri 6. Integrali impropri semplici: definizione e possibili comportamenti. 6. Criterio del confronto e del confronto asintotico (per funzioni positive); criterio della convergenza assoluta (per funzioni a segno variabile). 6.3 Integrali impropri non semplici. 7. Serie numeriche e serie di potenze 7. Successioni e limiti di successioni. Collegamento con i limiti di funzioni. 7. Serie numeriche: definizione e possibili comportamenti. Esempio fondamentale: la serie geometrica. 7.3 Criteri del confronto con l integrale; serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per le serie: del confronto, del confronto asintotico, della convergenza assoluta, della radice e del rapporto. 7.4 Serie di potenze, e raggio di convergenza. Serie di Talor. Calcolo del raggio di convergenza per le serie di Talor di alcune funzioni elementari. Coincidenza della serie di Talor con la funzione per alcune funzioni elementari. Espressione dei numeri e e π come serie. Giustificazione della formula e i = cos + i sin. 8. Equazioni differenziali 8. Esempi di equazioni differenziali tratti dalla meccanica; significato delle condizioni iniziali. 8. Equazioni differenziali del primo ordine: definizione e fatti generali. Risoluzione delle equazioni lineari e delle equazioni a variabili separabili. 8.3 Equazioni differenziali del secondo ordine: definizione e fatti generali. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, omogenee e non omogenee. Risoluzione delle equazioni a coefficienti costanti omogenee, e ricerca della soluzione particolare per quelle non omogenee (per certe classi di termini noti). Equazione del pendolo e dell oscillatore armonico.

4 T E S T I

5 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Primo compitino, novembre 6 Testi 5 Prima parte, gruppo.. Trovare le soluzioni della disuguaglianza sin( + π) / comprese nell intervallo [ π, π].. Trovare le coordinate polari (r, α) con α ( π, π] dei seguenti punti del piano, dati in coordinate cartesiane: a) (, ); b) (, ); c) (, 3). 3. Calcolare le derivate di: a) arctan(e ); b) 3 ( + log ); c) log ( 4/ ). 4. Dire se esistono i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f() := ep ( 3 + ) relativamente alla semiretta, e in caso affermativo calcolarli. e 5. Calcolare i seguenti limiti: a) lim ; b) lim π tan ( ) ; log( + ) c) lim Trovare il polinomio di Talor all ordine 6 (in ) della funzione ( 3 ) log( ). 7. Dire per quali a R si ha che + (log + ) 3 = o(a ) per Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che 4 log( + ). Prima parte, gruppo.. Trovare le soluzioni della disuguaglianza sin( + π) / comprese nell intervallo [ π, π].. Trovare le coordinate polari (r, α) con α ( π, π] dei seguenti punti del piano, dati in coordinate cartesiane: a) (, 3); b) (, ); c) ( 3, 3). 3. Calcolare le derivate di: a) arcsin( ); b) (3 + log ); c) log ( / 6). 4. Dire se esistono i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f() := ep ( 3 + ) relativamente alla semiretta, e in caso affermativo calcolarli Calcolare i seguenti limiti: a) lim + 4 ; b) lim (log + e ); + c) lim 3 log( + ). 6. Trovare il polinomio di Talor all ordine 6 (in ) della funzione (3 + ) sin( ). 7. Dire per quali a> si ha che 3 + = o(a ) per Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che 4 e log( + ). Prima parte, gruppo 3.. Trovare le soluzioni della disuguaglianza cos( + π) / comprese nell intervallo [ π, π].. Trovare le coordinate polari (r, α) con α ( π, π] dei seguenti punti del piano, dati in coordinate cartesiane: a) (, ); b) (, 4); c) ( 3, 3). 3. Calcolare le derivate di: a) + ; b) log(log ); c) log ( 3 / 4). 4. Dire se esistono i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f() := ep ( + 3 3) relativamente alla semiretta, e in caso affermativo calcolarli.

6 6 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Primo compitino, novembre 6 Testi 5. Calcolare i seguenti limiti: a) lim + 4 ; b) lim (log + ); + c) lim e Trovare il polinomio di Talor all ordine 6 (in ) della funzione (3 4 ) sin( ). 7. Dire per quali a R si ha che + log = o(a ) per Risolvere graficamente la disequazione 4 log( + ). Prima parte, gruppo 4.. Trovare le soluzioni della disuguaglianza sin( + π) / comprese nell intervallo [, π].. Trovare le coordinate polari (r, α) con α ( π, π] dei seguenti punti del piano, dati in coordinate cartesiane: a) (, ); b) (, 3); c) ( 3, ). 3. Calcolare le derivate di: a) arctan( ); b) 3 (3 + log ); c) log ( 4/ 3 ). 4. Dire se esistono i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f() := ep ( + 3 3) relativamente alla semiretta, e in caso affermativo calcolarli Calcolare i seguenti limiti: a) lim 4 ; b) lim + log(log ) e ; c) lim log Trovare il polinomio di Talor all ordine 6 (in ) della funzione ( + 3 )(ep( 3 ) ). ( ) 7. Dire per quali a R si ha che sin + 3 = o( a ) per Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che ( ) arctan. Prima parte, gruppo 5.. Trovare le soluzioni della disuguaglianza sin( + π) / comprese nell intervallo [, π].. Trovare le coordinate polari (r, α) con α ( π, π] dei seguenti punti del piano, dati in coordinate cartesiane: a) ( 3, ); b) ( 3, 3); c) (, 4). 3. Calcolare le derivate di: a) arcsin(e ); b) log(log ); c) log ( 3/ 4 ). 4. Dire se esistono i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f() := ep ( 3) relativamente alla semiretta, e in caso affermativo calcolarli Calcolare i seguenti limiti: a) lim ; b) lim 4 + ( ) ; 3 c) lim e. 6. Trovare il polinomio di Talor all ordine 6 (in ) della funzione ( + 4 ) ep( ). 7. Dire per quali a R si ha che 4 log = o(a ) per Disegnare l insieme dei punti (, ) tali che ( ) e arctan.

7 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Primo compitino, novembre 6 Testi 7 Prima parte, gruppo 6.. Trovare le soluzioni della disuguaglianza cos( + π) / comprese nell intervallo [ π, π].. Trovare le coordinate polari (r, α) con α ( π, π] dei seguenti punti del piano, dati in coordinate cartesiane: a) ( 3, 3); b) (, ); c) (, ). 3. Calcolare le derivate di: a) + 4 ; b) ( + log ); c) log ( / 3 ). 4. Dire se esistono i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f() := ep ( 3) relativamente alla semiretta, e in caso affermativo calcolarli. 5. Calcolare i seguenti limiti: a) lim π e ; b) lim tan + log log(log ) ; 3 4 c) lim sin. 6. Trovare il polinomio di Talor all ordine 6 (in ) della funzione ( + 4 ) log( + ). 7. Dire per quali a> si ha che 4 sin(e ) = o(a ) per Risolvere graficamente la disequazione ( ) arctan. Seconda parte, gruppo.. a) Trovare la parte principale per della funzione f() := 4 cos(4 ). b) Per ogni a R, trovare la parte principale per di f() + a 4.. a) Dire se la disequazione ( 3 + 4) 4 3 ( 4 + ) 3 vale per ogni oppure no. b) Trovare la più piccola costante M tale che ( 3 + 4) 4 M ( 4 + ) 3 per ogni. c) Trovare la più grande costante m tale che ( 3 + 4) 4 m( 4 + ) 3 per ogni. 3. Una ditta deve pianificare l acquisto di una certa quantità di un materiale liquido necessario per una certa produzione; il totale del materiale da acquistare è di unità, e si tratta di capire in quante tranche conviene suddividere l acquisto, tenendo conto dei seguenti fatti: al costo unitario del materiale 3 va aggiunto un costo fisso per ogni ordine, pari a ; in attesa di essere lavorato, il materiale acquistato viene conservato in un unico serbatoio che deve essere costruito per l occasione, e il costo del contenitore dipende essenzialmente dalla sua capacità c (misurata in unità), e per la precisione è pari a c. Determinare il numero ottimale N di tranche in cui suddividere l acquisto. Seconda parte, gruppo.. a) Trovare la parte principale per della funzione f() := ep( 4 ). b) Per ogni a R, trovare la parte principale per di f() + a 4.. a) Dire se la disequazione ( 4 + 4) 5 66 ( 5 + ) 4 vale per ogni oppure no. b) Trovare la più piccola costante M tale che ( 4 + 4) 5 M ( 5 + ) 4 per ogni. c) Trovare la più grande costante m tale che ( 4 + 4) 5 m( 5 + ) 4 per ogni. 3. Uguale al gruppo.

8 8 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Primo compitino, novembre 6 Testi Seconda parte, gruppo 3.. a) Trovare la parte principale per della funzione f() := cos( ). b) Per ogni a R, trovare la parte principale per di f() + a 4.. a) Dire se la disequazione ( 3 + ) (4 + 4) 3 vale per ogni oppure no. b) Trovare la più piccola costante M tale che ( 3 + ) 4 M ( 4 + 4) 3 per ogni. c) Trovare la più grande costante m tale che ( 3 + ) 4 m( 4 + 4) 3 per ogni. 3. Uguale al gruppo. Seconda parte, gruppo 4.. a) Trovare la parte principale per della funzione f() := 4 ep( 4 ). b) Per ogni a R, trovare la parte principale per di f() + a 4.. a) Dire se la disequazione ( 4 + ) (5 + 4) 4 vale per ogni oppure no. b) Trovare la più piccola costante M tale che ( 4 + ) 5 M ( 5 + 4) 4 per ogni. c) Trovare la più grande costante m tale che ( 4 + ) 5 m( 5 + 4) 4 per ogni. 3. Uguale al gruppo.

9 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Testi 9 Prima parte, gruppo.. Determinare l insieme di definizione della funzione arcsin(e ).. Determinare lo sviluppo di Talor di ordine 4 (in ) della funzione f() := ( 3 ) sin(6). 3. Dire per quali a R la funzione (t) := ( + at) 3 risolve l equazione differenziale ẍ = 4 /3. 4. Un punto P si muove nel piano con legge oraria P (t) := ( cos(e t ); sin(e t ) ). Calcolare la velocità di P e la distanza percorsa tra l istante t = e l istante t =. 5. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 6. Dire per quali a > l integrale improprio n= + sin a + 3 n n + 4 n. d converge ad un numero finito. 7. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = 4te t ( + ) che soddisfa () =. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, ) tali che 4 arctan( ). Prima parte, gruppo. (. Determinare l insieme di definizione della funzione arctan e. Determinare lo sviluppo di Talor di ordine 4 (in ) della funzione f() := ( ) log( + 4 ). 3. Dire per quali a R la funzione (t) := ( + at) 4 risolve l equazione differenziale ẍ = 4 /. 4. Un punto P si muove nel piano con legge oraria P (t) := ( cos(e t ); sin(e t ) ). Calcolare la velocità di P e la distanza percorsa tra l istante t = e l istante t =. 5. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 6. Dire per quali a > l integrale improprio n= n n. n! ). a + d converge ad un numero finito Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = 4te t ( + ) che soddisfa () =. 8. Risolvere graficamente la disequazione 4 arctan( ). Prima parte, gruppo 3.. Determinare l insieme di definizione della funzione arccos(e 4 ).. Determinare lo sviluppo di Talor di ordine 4 (in ) della funzione f() := ( 4 ) cos( ). 3. Dire per quali a R la funzione (t) := ( + at) risolve l equazione differenziale ẍ = 6.

10 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Testi 4. Un punto P si muove nel piano con legge oraria P (t) := ( sin(e 3t ); cos(e 3t ) ). Calcolare la velocità di P e la distanza percorsa tra l istante t = e l istante t =. 5. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 6. Dire per quali a > l integrale improprio n= n n + 4 n. a + d converge ad un numero finito Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = 4te t ( + ) che soddisfa () =. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, ) tali che ( ) arctan ( ). Prima parte, gruppo 4.. Determinare l insieme di definizione della funzione arcsin( e 4 ).. Determinare lo sviluppo di Talor di ordine 4 (in ) della funzione f() := ( + 3 ) sin(6). 3. Dire per quali a R la funzione (t) := ( + at) 3 risolve l equazione differenziale ẍ = 3 /3. 4. Un punto P si muove nel piano con legge oraria P (t) := ( cos(e t ); sin(e t ) ). Calcolare la velocità di P e la distanza percorsa tra l istante t = e l istante t =. 5. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 6. Dire per quali a > l integrale improprio 3 + sin a + 4 n= 4 n n + n. d converge ad un numero finito. 7. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = 4te t ( + ) che soddisfa () =. 8. Risolvere graficamente la disequazione 4 arctan( ). Prima parte, gruppo 5. (. Determinare l insieme di definizione della funzione arctan e 3. Determinare lo sviluppo di Talor di ordine 4 (in ) della funzione f() := ( + ) log( + 4 ). 3. Dire per quali a R la funzione (t) := ( + at) 4 risolve l equazione differenziale ẍ = 3 /. 4. Un punto P si muove nel piano con legge oraria P (t) := ( cos(e t ); sin(e t ) ). Calcolare la velocità di P e la distanza percorsa tra l istante t = e l istante t =. 5. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze n= n! n n. ).

11 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Testi 6. Dire per quali a > l integrale improprio a d converge ad un numero finito. + a 7. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = 4te t ( + ) che soddisfa () =. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, ) tali che 4 e arctan( ). Prima parte, gruppo 6.. Determinare l insieme di definizione della funzione arccos( e ).. Determinare lo sviluppo di Talor di ordine 4 (in ) della funzione f() := ( + 4 ) cos( ). 3. Dire per quali a R la funzione (t) := ( + at) risolve l equazione differenziale ẍ =. 4. Un punto P si muove nel piano con legge oraria P (t) := ( sin(e 3t ); cos(e 3t ) ). Calcolare la velocità di P e la distanza percorsa tra l istante t = e l istante t =. 5. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze 6. Dire per quali a > l integrale improprio n= (3 n + n 3 ) n. d converge ad un numero finito. ( sin ) a 7. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = 4te t ( + ) che soddisfa () =. 8. Risolvere graficamente la disequazione ( ) arctan ( ). Seconda parte, gruppo. Scritto del primo appello: esercizi, e 3; secondo compitino: esercizi 3, 4 e 5.. Consideriamo la funzione f() := ( cos( ) ) /. a) Trovare la parte principale di f() per. b) Per ogni a R, trovare la parte principale di f() a per.. a) Dire se la disequazione ep( ) 6/3 vale per ogni > oppure no. b) Dire per quali a > si ha che ep( ) a per ogni >. 3. Dato a R, consideriamo l equazione differenziale a) Trovare la soluzione generale di (*) per a > e a. b) Trovare la soluzione generale di (*) per a =. ẍ aẋ + 4 = 8t + 4e t. (*) c) Per ogni a >, trovare una soluzione di (*) che tende a + per t Dato a >, poniamo f() := (ep( a ) ) a+4. a) Discutere il comportamento dell integrale improprio f() d.

12 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Testi b) Discutere il comportamento dell integrale improprio f() d. 5. Sia A l insieme dei punti (, ) tali che e. e sia V il solido ottenuto facendo ruotare A attorno alla retta di equazione =. a) Tracciare un disegno approssimativo di A, di V, e di una generica sezione di V ortogonale all asse di rotazione, e calcolare l area di quest ultima. b) Calcolare il volume di V. Seconda parte, gruppo. Scritto del primo appello: esercizi, e 3; secondo compitino: esercizi 3, 4 e 5.. Consideriamo la funzione f() := ( cos( 3 ) ) /. a) Trovare la parte principale di f() per. b) Per ogni a R, trovare la parte principale di f() a 4 per.. a) Dire se la disequazione ep( 4 ) / vale per ogni > oppure no. b) Dire per quali a > si ha che ep( 4 ) a per ogni >. 3. Dato a R, consideriamo l equazione differenziale a) Trovare la soluzione generale di (*) per a > e a 3. b) Trovare la soluzione generale di (*) per a = 3. ẍ aẋ + 9 = 9t + 6e 3t. (*) c) Per ogni a > 3, trovare una soluzione di (*) che tende a + per t Dato a >, poniamo f() := (ep( a ) ) a+4. a) Discutere il comportamento dell integrale improprio f() d. b) Discutere il comportamento dell integrale improprio f() d. 5. Sia A l insieme dei punti (, ) tali che e. e sia V il solido ottenuto facendo ruotare A attorno alla retta di equazione = 3. a) Tracciare un disegno approssimativo di A, di V, e di una generica sezione di V ortogonale all asse di rotazione, e calcolare l area di quest ultima. b) Calcolare il volume di V. Seconda parte, gruppo 3. Scritto del primo appello: esercizi, e 3; secondo compitino: esercizi 3, 4 e 5.. Consideriamo la funzione f() := ( cos( ) ) /. a) Trovare la parte principale di f() per. b) Per ogni a R, trovare la parte principale di f() a per.. a) Dire se la disequazione ep( ) / vale per ogni > oppure no. b) Dire per quali a > si ha che ep( ) a per ogni >.

13 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Secondo compitino e primo appello, gennaio 7 Testi 3 3. Dato a R, consideriamo l equazione differenziale a) Trovare la soluzione generale di (*) per a > e a. b) Trovare la soluzione generale di (*) per a =. ẍ aẋ + 4 = 4t 4e t. (*) c) Per ogni a >, trovare una soluzione di (*) che tende a per t Dato a >, poniamo f() := (ep( a ) ) a+. a) Discutere il comportamento dell integrale improprio f() d. b) Discutere il comportamento dell integrale improprio f() d. 5. Sia A l insieme dei punti (, ) tali che e. e sia V il solido ottenuto facendo ruotare A attorno alla retta di equazione =. a) Tracciare un disegno approssimativo di A, di V, e di una generica sezione di V ortogonale all asse di rotazione, e calcolare l area di quest ultima. b) Calcolare il volume di V. Seconda parte, gruppo 4. Scritto del primo appello: esercizi, e 3; secondo compitino: esercizi 3, 4 e 5.. Consideriamo la funzione f() := ( cos( 3 ) ) /. a) Trovare la parte principale di f() per. b) Per ogni a R, trovare la parte principale di f() a 4 per.. a) Dire se la disequazione ep( 4 ) vale per ogni > oppure no. b) Dire per quali a > si ha che ep( 4 ) a per ogni >. 3. Dato a R, consideriamo l equazione differenziale a) Trovare la soluzione generale di (*) per a > e a 3. b) Trovare la soluzione generale di (*) per a = 3. ẍ aẋ + 9 = 7 t 6e 3t. (*) c) Per ogni a > 3, trovare una soluzione di (*) che tende a per t Dato a >, poniamo f() := (ep( a ) ) a+. a) Discutere il comportamento dell integrale improprio f() d. b) Discutere il comportamento dell integrale improprio f() d. 5. Sia A l insieme dei punti (, ) tali che e. e sia V il solido ottenuto facendo ruotare A attorno alla retta di equazione = 3. a) Tracciare un disegno approssimativo di A, di V, e di una generica sezione di V ortogonale all asse di rotazione, e calcolare l area di quest ultima. b) Calcolare il volume di V.

14 4 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del secondo appello, febbraio 7 Testi Prima parte, gruppo.. Trovare le [, π] che risolvono la disequazione sin().. Dire se esistono i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione f() := 3 e relativamente alla semiretta, e in caso affermativo calcolarli. e Calcolare i seguenti limiti: a) lim 4 ; b) lim + 4. Calcolare l integrale improprio 7 ( ) 4 d. 5. Dire per quali a > vale che log = O( a ) per +. log log(log ) ; c) lim cos ( 3) Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze n= 7. Trovare una soluzione particolare dell equazione ẍ + = t. 8. Sia f la funzione il cui grafico è riportato nella figura accanto. Disegnare il grafico della funzione g() := f() + e risolvere graficamente la disequazione g(). n + n. n! = f () Prima parte, gruppo.. Trovare le [, π] che risolvono la disequazione cos().. Dire se esistono i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione f() := 3 e relativamente alla semiretta 4, e in caso affermativo calcolarli. e Calcolare i seguenti limiti: a) lim 3 ; b) lim + 4. Calcolare l integrale improprio 3 ( ) 3 d. 5. Dire per quali a > vale che log = o( a ) per. log + log ; c) lim cos ( 3 ) Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze n= 7. Trovare una soluzione particolare dell equazione ẍ + = t. 8. Sia f la funzione il cui grafico è riportato nella figura accanto. Disegnare il grafico della funzione g() := f() e l insieme A dei punti (, ) tali che g() f(). n! n + n. = f () Prima parte, gruppo 3.. Trovare le [, π] che risolvono la disequazione cos().

15 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del secondo appello, febbraio 7 Testi 5. Dire se esistono i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione f() := 3 e relativamente alla semiretta, e in caso affermativo calcolarli. cos( ) log ( 3. Calcolare i seguenti limiti: a) lim ; b) lim ; c) lim cos Calcolare l integrale improprio 5 ( ) d. 5. Dire per quali a > vale che 3 = O(a ) per +. log ). 6. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze n= 7. Trovare una soluzione particolare dell equazione ẍ = 4t. 8. Sia f la funzione il cui grafico è riportato nella figura accanto. Disegnare il grafico della funzione g() := f() e l insieme A dei punti (, ) tali che f() g(). n (n!). = f () Prima parte, gruppo 4.. Trovare le [, π] che risolvono la disequazione sin() 3.. Dire se esistono i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione f() := 3 e relativamente alla semiretta, e in caso affermativo calcolarli. cos( ) + log ( log ) 3. Calcolare i seguenti limiti: a) lim ; b) lim + ; c) lim cos Calcolare l integrale improprio 7 ( ) 5 d. 5. Dire per quali a > vale che 3 log = O( a ) per Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze n= 7. Trovare una soluzione particolare dell equazione ẍ + = t. 8. Sia f la funzione il cui grafico è riportato nella figura accanto. Disegnare il grafico della funzione g() := f() + e l insieme A dei punti (, ) tali che f() g(). n + n 4 4 n + n n. = f () Prima parte, gruppo 5.. Trovare le [, π] che risolvono la disequazione cos() 3.. Dire se esistono i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione f() := 3 e relativamente alla semiretta, e in caso affermativo calcolarli Calcolare i seguenti limiti: a) lim e ; b) lim ( + 3 ) 4 ; c) lim cos ( + 3).

16 6 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del secondo appello, febbraio 7 Testi 4. Calcolare l integrale improprio 3 ( ) 4 d. 5. Dire per quali a > vale che 3 log = o( a ) per. 6. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze n= 7. Trovare una soluzione particolare dell equazione ẍ + = t. 8. Sia f la funzione il cui grafico è riportato nella figura accanto. Disegnare il grafico della funzione g() := f() e risolvere graficamente la disequazione g() f(). n + n 4 n + 5 n n. = f () Prima parte, gruppo 6.. Trovare le [, π] che risolvono la disequazione cos() 3.. Dire se esistono i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione f() := 3 e relativamente alla semiretta, e in caso affermativo calcolarli. 3. Calcolare i seguenti limiti: a) lim cos( ) ; b) 4. Calcolare l integrale improprio 5 ( ) 3 d. 5. Dire per quali a > vale che = O(a ) per +. lim (4 + 3 ) 4 ; c) lim cos ( 4 + 3). 6. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze n= 7. Trovare una soluzione particolare dell equazione ẍ = t. 8. Sia f la funzione il cui grafico è riportato nella figura accanto. Disegnare il grafico della funzione g() := f() e risolvere graficamente la disequazione f() g(). 4 n + 5 n n + n n. = f () Seconda parte, gruppo.. Per ogni a R consideriamo l equazione e = a( 3), (*) e indichiamo con (a) la più piccola delle soluzioni di questa equazione (se ne esistono). a) Per ogni a >, determinare il numero di soluzioni di (*). b) Determinare il limite L di (a) per a +. c) Determinare la parte principale di (a) L per a +.. Sia A l insieme dei punti (, ) del piano cartesiano per cui vale a) Disegnare A e calcolarne l area. + ( + ) 4. b) Trovare una retta verticale che divide A in due parti, una con area doppia dell altra.

17 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del secondo appello, febbraio 7 Testi 7 3. a) Per ogni a > discutere il comportamento della serie S := n= a (n ) n +. b) Calcolare il valore di S per a = / con errore inferiore a 3. Seconda parte, gruppo.. Per ogni a R consideriamo l equazione e = a( 8), (*) e indichiamo con (a) la più piccola delle soluzioni di questa equazione (se ne esistono). a) Per ogni a >, determinare il numero di soluzioni di (*). b) Determinare il limite L di (a) per a +. c) Determinare la parte principale di (a) L per a +.. Sia A l insieme dei punti (, ) del piano cartesiano per cui vale + ( + 4) 3. a) Disegnare A e calcolarne l area. b) Trovare una retta verticale che divide A in due parti, una con area doppia dell altra. 3. a) Per ogni a > discutere il comportamento della serie S := n= a (n ) n +. b) Calcolare il valore di S per a = / con errore inferiore a 3. Seconda parte, gruppo 3.. Per ogni a R consideriamo l equazione e = a( 3), (*) e indichiamo con (a) la più grande delle soluzioni di questa equazione (se ne esistono). a) Per ogni a <, determinare il numero di soluzioni di (*). b) Determinare il limite L di (a) per a. c) Determinare la parte principale di (a) L per a.. Sia A l insieme dei punti (, ) del piano cartesiano per cui vale ( + ) 4. a) Disegnare A e calcolarne l area. b) Trovare una retta verticale che divide A in due parti, una con area doppia dell altra. 3. a) Per ogni a > discutere il comportamento della serie S := n= a (n ) n +. b) Calcolare il valore di S per a = / con errore inferiore a 3.

18 8 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del secondo appello, febbraio 7 Testi Seconda parte, gruppo 4.. Per ogni a R consideriamo l equazione e = a( 8), (*) e indichiamo con (a) la più grande delle soluzioni di questa equazione (se ne esistono). a) Per ogni a <, determinare il numero di soluzioni di (*). b) Determinare il limite L di (a) per a. c) Determinare la parte principale di (a) L per a.. Sia A l insieme dei punti (, ) del piano cartesiano per cui vale ( + 4) 3. a) Disegnare A e calcolarne l area. b) Trovare una retta verticale che divide A in due parti, una con area doppia dell altra. 3. a) Per ogni a > discutere il comportamento della serie S := n= a (n ) n +. b) Calcolare il valore di S per a = / con errore inferiore a 3.

19 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del terzo appello, febbraio 7 Testi 9 Prima parte, gruppo.. Derivare le seguenti funzioni: a) arctan( ); b) log ( 4 /e ).. Disporre le seguenti funzioni nel giusto ordine rispetto alla relazione per + : + log }{{} a + e }{{} b + e }{{} c. log }{{} d 3. Trovare un numero α con π α π per cui vale la seguente identità: sin + cos = sin( + α) per ogni R. 4. Calcolare d. 5. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 8 della funzione f() := ( + 4 ) log( + 4 ). 6. Dire per quali a > la serie n= n 4 sin(/n a ) n a + n a converge ad un numero finito. 7. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẍ + 4 = 8 che soddisfa () = ẋ() =. 8. Calcolare il periodo della funzione f() := + sin(π π) e disegnarne il grafico. Prima parte, gruppo.. Derivare le seguenti funzioni: a) arcsin( 6 ); b) log ( 3 / ).. Disporre le seguenti funzioni nel giusto ordine rispetto alla relazione per + : e + }{{} a log }{{} b ( ) }{{} c log + }{{. } d 3. Trovare un numero α con π α π per cui vale la seguente identità: 4. Calcolare d. sin cos = sin( + α) per ogni R. 5. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 6 della funzione f() := (3 + 4 ) sin( ). 6. Dire per quali a > la serie n= 4 n log( + /a n ) a n + n converge ad un numero finito. 7. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẍ + 4 = 4 che soddisfa () = ẋ() =. 8. Calcolare il periodo della funzione f() := + sin(π + π) e disegnarne il grafico. Prima parte, gruppo 3.. Derivare le seguenti funzioni: a) arctan( 4 + ); b) log ( /3 ).

20 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del terzo appello, febbraio 7 Testi. Disporre le seguenti funzioni nel giusto ordine rispetto alla relazione per + : e + }{{} a log }{{} b log }{{} c ( ) }{{. } d 3. Trovare un numero α con π α π per cui vale la seguente identità: 4. Calcolare d. cos sin = sin( + α) per ogni R. 5. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 8 della funzione f() := ( 4 ) log( + 4 ). 6. Dire per quali a > la serie n= n 4 sin(/n a ) n + converge ad un numero finito. 7. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẍ + 9 = 9 che soddisfa () = ẋ() =. 8. Calcolare il periodo della funzione f() := + sin( + π) e disegnarne il grafico. Prima parte, gruppo 4.. Derivare le seguenti funzioni: a) arcsin( 4 ); b) log ( e / 4).. Disporre le seguenti funzioni nel giusto ordine rispetto alla relazione per + : e + }{{} a log + }{{} b log + }{{} c e. + }{{} d 3. Trovare un numero α con π α π per cui vale la seguente identità: 4. Calcolare d. sin + cos = cos( + α) per ogni R. 5. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 6 della funzione f() := (3 4 ) sin( ). 6. Dire per quali a > la serie n= n 4 sin(/n a ) n 3a + n a converge ad un numero finito. 7. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẍ + 4 = 8t che soddisfa () = ẋ() =. 8. Calcolare il periodo della funzione f() := + cos(π π) e disegnarne il grafico. Prima parte, gruppo 5.. Derivare le seguenti funzioni: a) arctan( + ); b) log ( / 3).. Disporre le seguenti funzioni nel giusto ordine rispetto alla relazione per + : 3 + }{{} a 3 + }{{} b log 3 + }{{} c +. }{{} d

21 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del terzo appello, febbraio 7 Testi 3. Trovare un numero α con π α π per cui vale la seguente identità: sin cos = cos( + α) per ogni R. 4. Calcolare d. 5. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 4 della funzione f() := ( ) log( + ). 6. Dire per quali a > la serie n= 4 n log( + /a n ) a 3n + n converge ad un numero finito. 7. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẍ + 4 = 4t che soddisfa () = ẋ() =. 8. Calcolare il periodo della funzione f() := + cos(π + π) e disegnarne il grafico. Prima parte, gruppo 6.. Derivare le seguenti funzioni: a) arcsin( ); b) log ( 3 / ).. Disporre le seguenti funzioni nel giusto ordine rispetto alla relazione per + : 3 + }{{} a 3 }{{} b 4 + }{{} c 3 log. }{{} d 3. Trovare un numero α con π α π per cui vale la seguente identità: 4. Calcolare d. cos sin = cos( + α) per ogni R. 5. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 3 della funzione f() := (3 ) sin(). 6. Dire per quali a > la serie n= 4 n sin(/n a ) n a + n a converge ad un numero finito. 7. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẍ + 9 = 9t che soddisfa () = ẋ() =. 8. Calcolare il periodo della funzione f() := + cos( + π) e disegnarne il grafico. Seconda parte, gruppo.. Consideriamo la funzione f() := ( cos( ) ) 6. a) Trovare la parte principale di f() per. b) Per ogni a R trovare la parte principale di f() + a 4 per.. a) Disegnare il grafico della funzione f() := 3 + e l insieme A dei punti (, ) tali che f() f( ). b) Scrivere l area di A come integrale e dire se è finita o meno.

22 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del terzo appello, febbraio 7 Testi 3. Consideriamo un punto P che si muove nel piano con la seguente legge oraria: P (t) := ( t 3 ; t3 t ). a) Calcolare la minima distanza di P dall origine. b) Disegnare la traiettoria di P. (Suggerimento: esprimere t, e poi anche, in funzione di.) Seconda parte, gruppo.. Consideriamo la funzione f() := ( cos( ) ) 9. a) Trovare la parte principale di f() per. b) Per ogni a R trovare la parte principale di f() + a 4 per.. a) Disegnare il grafico della funzione f() := 4 + e l insieme A dei punti (, ) tali che f() f( ). b) Scrivere l area di A come integrale e dire se è finita o meno. 3. Consideriamo un punto P che si muove nel piano con la seguente legge oraria: P (t) := ( 3t ; t 3 t ). a) Calcolare la minima distanza di P dall origine. b) Disegnare la traiettoria di P. (Suggerimento: esprimere t, e poi anche, in funzione di.) Seconda parte, gruppo 3.. Consideriamo la funzione f() := ( cos( 3 ) ) 6. a) Trovare la parte principale di f() per. b) Per ogni a R trovare la parte principale di f() + a 6 per.. a) Disegnare il grafico della funzione f() := 3 + e l insieme A dei punti (, ) tali che f( + ) f(). b) Scrivere l area di A come integrale e dire se è finita o meno. 3. Consideriamo un punto P che si muove nel piano con la seguente legge oraria: P (t) := ( t 3 ; t3 t ). a) Calcolare la minima distanza di P dall origine. b) Disegnare la traiettoria di P. (Suggerimento: esprimere t, e poi anche, in funzione di.) Seconda parte, gruppo 4.. Consideriamo la funzione f() := ( cos( 3 ) ) 9. a) Trovare la parte principale di f() per. b) Per ogni a R trovare la parte principale di f() + a 6 per.. a) Disegnare il grafico della funzione f() := 4 +

23 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del terzo appello, febbraio 7 Testi 3 e l insieme A dei punti (, ) tali che f( + ) f(). b) Scrivere l area di A come integrale e dire se è finita o meno. 3. Consideriamo un punto P che si muove nel piano con la seguente legge oraria: P (t) := ( 3t ; t 3 t ). a) Calcolare la minima distanza di P dall origine. b) Disegnare la traiettoria di P. (Suggerimento: esprimere t, e poi anche, in funzione di.)

24 4 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del quarto appello, giugno 7 Testi Prima parte, gruppo.. Trovare le coordinate polari (r, α) con α ( π, π] dei seguenti punti, espressi in coordinate cartesiane: a) (, ); b) (, ); c) (, 3).. Calcolare i seguenti limiti: a) lim + sin(e ); b) lim log(); c) lim + + sin(/ ). 3. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 6 (in ) di f() := ( 3 3 ) log( 3 ). 4. Calcolare la velocità v(t) e la distanza d percorsa tra l istante t = e t = da un punto P si muove con la legge oraria P (t) := e t( sin(t), cos(t) ). 5. Dire per quali a > la serie n= n a + n a n 4 log( + /n ) 6. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze converge ad un numero finito. n= n + n 3 n + n n 7. Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale ẍ + 4ẋ + 5 = che soddisfano la condizione iniziale () =. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, ) che soddisfano le condizioni e ( ) 4. Prima parte, gruppo.. Trovare le coordinate polari (r, α) con α ( π, π] dei seguenti punti, espressi in coordinate cartesiane: a) (, ); b) (, 3); c) ( 3, 3).. Calcolare i seguenti limiti: a) lim cos(e ); b) lim + log ; c) lim log(log ) 3. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 6 (in ) di f() := ( + 3 ) log( 3 ). 4 + log( + ). 4. Calcolare la velocità v(t) e la distanza d percorsa tra l istante t = e t = da un punto P si muove con la legge oraria P (t) := e t( sin(3t), cos(3t) ). 5. Dire per quali a > la serie n= sin(/n a ) n n 6. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze converge ad un numero finito. n= n + n 3 n + n n 7. Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale ẍ 4ẋ + 5 = che soddisfano la condizione iniziale () =. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, ) che soddisfano le condizioni e ( + ) 4. Prima parte, gruppo 3.. Trovare le coordinate polari (r, α) con α ( π, π] dei seguenti punti, espressi in coordinate cartesiane: a) (, 4); b) (, ); c) ( 3, 3).

25 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del quarto appello, giugno 7 Testi 5 3 ( ). Calcolare i seguenti limiti: a) lim + ; b) lim log ; c) lim sin(/). 3. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 6 (in ) di f() := (8 3 ) Calcolare la velocità v(t) e la distanza d percorsa tra l istante t = e t = da un punto P si muove con la legge oraria P (t) := e t( cos(t), sin(t) ). 5. Dire per quali a > la serie n= n a + n a n 4 (e /n ) 6. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze converge ad un numero finito. n= n + n 3 n + n n 7. Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale ẍ + ẋ + 5 = che soddisfano la condizione iniziale () =. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, ) che soddisfano le condizioni e e. Prima parte, gruppo 4.. Trovare le coordinate polari (r, α) con α ( π, π] dei seguenti punti, espressi in coordinate cartesiane: a) (, 3); b) (, ); c) ( 3, ). 5. Calcolare i seguenti limiti: a) lim + ; b) lim 4 ( 4 + log ); c) lim log( + ). 3. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 6 (in ) di f() := ( 3 ) Calcolare la velocità v(t) e la distanza d percorsa tra l istante t = e t = da un punto P si muove con la legge oraria P (t) := e t( cos(3t), sin(3t) ). 5. Dire per quali a > la serie n= n 4 (e /n ) n a converge ad un numero finito. 6. Calcolare il raggio di convergenza R della serie di potenze n= n + n 3 n + n n 7. Trovare tutte le soluzioni dell equazione differenziale ẍ ẋ + 5 = che soddisfano la condizione iniziale () =. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, ) che soddisfano le condizioni e e. Seconda parte, gruppo.. a) Trovare la parte principale per di f() := 3 ep( 6 ). b) Per ogni a R, trovare la parte principale per di f() a.. Consideriamo l insieme A dei punti (, ) tali che f(), dove f() := ( ) ep( ). a) Disegnare il grafico della funzione f e l insieme A. b) Disegnare il solido V ottenuto ruotando A attorno all asse e calcolarne il volume. c) Disegnare il solido V ottenuto ruotando A attorno all asse e calcolarne il volume.

26 6 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del quarto appello, giugno 7 Testi 3. Si consideri la funzione f data da f() := (+) dt + t 5. (*) a) Discutere i limiti di f() per ± (esistenza ed eventuale finitezza). b) Disegnare il grafico di f(). c) Trovare la parte principale di f() per. Seconda parte, gruppo.. a) Trovare la parte principale per di f() := ep( 4 ). b) Per ogni a R, trovare la parte principale per di f() a.. Consideriamo l insieme A dei punti (, ) tali che f(), dove f() := ( ) ep( ). a) Disegnare il grafico della funzione f e l insieme A. b) Disegnare il solido V ottenuto ruotando A attorno all asse e calcolarne il volume. c) Disegnare il solido V ottenuto ruotando A attorno all asse e calcolarne il volume. 3. Si consideri la funzione f data da f() := (+) dt + t 5. (*) a) Discutere i limiti di f() per ± (esistenza ed eventuale finitezza). b) Disegnare il grafico di f(). c) Trovare la parte principale di f() per.

27 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del quinto appello, 3 luglio 7 Testi 7 Prima parte, gruppo.. Dire per quali a R la funzione f() := sin( 3 ) + a 3 è crescente su tutto R.. Disporre le seguenti funzioni nel giusto ordine rispetto alla relazione per + : 4 }{{} a sin ( e ) } {{ } b e log }{{} c + 4. }{{} d 3. Trovare la parte principale per della funzione f() := Un punto P si muove con la legge oraria P (t) := (cos t, t 3 3πt ). Trovare tutti i tempi t in cui l accelerazione di P è nulla (e se non ne esiste nessuno, specificarlo). 5. Calcolare la derivata della funzione f() := 6. Dire per quali a > l integrale improprio dt + t 4. a + a 4 log( + / ) d è finito. 7. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = ( + ) t e t che soddisfa () =. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, ) nel piano cartesiano le cui coordinate polari α, r soddisfano π 4 α π 4 ; r. Prima parte, gruppo.. Dire per quali a R la funzione f() := sin(3 3 ) + a 3 è crescente su tutto R.. Disporre le seguenti funzioni nel giusto ordine rispetto alla relazione per + : 3 log }{{} a }{{} b 3 + }{{} c e log. }{{} d 3. Trovare la parte principale per della funzione f() := log( ) Un punto P si muove con la legge oraria P (t) := (t 3 3t, cos(πt)). Trovare tutti i tempi t in cui l accelerazione di P è nulla (e se non ne esiste nessuno, specificarlo). 5. Calcolare la derivata della funzione f() := 6. Dire per quali a > l integrale improprio 3 3 dt + t 4. sin(/ a ) 3 + d è finito. 7. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = ( + ) 4t e t che soddisfa () =. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, ) nel piano cartesiano le cui coordinate polari α, r soddisfano π 4 α 3π 4 ; r.

28 8 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del quinto appello, 3 luglio 7 Testi Prima parte, gruppo 3.. Dire per quali a R la funzione f() := sin(3 5 ) + a 5 è crescente su tutto R.. Disporre le seguenti funzioni nel giusto ordine rispetto alla relazione per + : log }{{} a log }{{} b log }{{} c. + log }{{} d 3. Trovare la parte principale per della funzione f() := Un punto P si muove con la legge oraria P (t) := (cos(t), 4t 3 3πt ). Trovare tutti i tempi t in cui l accelerazione di P è nulla (e se non ne esiste nessuno, specificarlo). 5. Calcolare la derivata della funzione f() := 6. Dire per quali a > l integrale improprio dt + t 6. a + a 4 (e / ) d è finito. 7. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = ( + ) t e t che soddisfa () =. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, ) nel piano cartesiano le cui coordinate polari α, r soddisfano π 4 α π 4 ; r. Prima parte, gruppo 4.. Dire per quali a R la funzione f() := sin(4 5 ) + a 5 è crescente su tutto R.. Disporre le seguenti funzioni nel giusto ordine rispetto alla relazione per + : log( log ) }{{} a log(log( )) } {{ } b log(log ) }{{} c. log }{{} d 3. Trovare la parte principale per della funzione f() := log( 4 ) Un punto P si muove con la legge oraria P (t) := (t 3 t, sin(πt)). Trovare tutti i tempi t in cui l accelerazione di P è nulla (e se non ne esiste nessuno, specificarlo). 5. Calcolare la derivata della funzione f() := 6. Dire per quali a > l integrale improprio 3 3 dt + t 6. 4 (e / ) a + d è finito. 7. Trovare la soluzione dell equazione differenziale ẋ = ( + ) 4t e t che soddisfa () =. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, ) nel piano cartesiano le cui coordinate polari α, r soddisfano π 4 α 3π 4 ; r.

29 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del quinto appello, 3 luglio 7 Testi 9 Seconda parte.. a) Dire se la disequazione log è soddisfatta per ogni > oppure no. b) Dire per quali a R la disequazione + 4 a 6 log è soddisfatta per ogni >.. Determinare al variare di a > il comportamento dell integrale improprio π π d ( + cos ) a. 3. Calcolare il volume del solido V ottenuto facendo ruotare una circonferenza di raggio r attorno ad una retta T tangente alla circonferenza stessa.

30 3 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del sesto appello, 4 luglio 7 Testi Prima parte, gruppo.. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f() := 3 e relativamente alla semiretta, specificando se non ne esistano.. Dire per quali a > vale che log = o(a ) per Calcolare la derivata della funzione f() := 4. Calcolare 4 cos( + ) d. 5. Dire per quali a > l integrale improprio 6. Calcolare il valore della serie n= n 3 n n! ep() sin( + log t) dt. d converge ad un numero finito. ( + log ) a (per gli per cui è finita). 7. Trovare tutte le soluzioni dell equazione ẍ 4 = 3e t + 5e 3t che tendono a + per t Risolvere graficamente la disequazione ( ) 3 e. Prima parte, gruppo.. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f() := 3 e relativamente alla semiretta, specificando se non ne esistano.. Dire per quali a > vale che e + 3 = o(e a ) per Calcolare la derivata della funzione f() := 4. Calcolare ( ) cos d. 5. Dire per quali a > l integrale improprio 6. Calcolare il valore della serie n= ep( ) sin( + log t) dt. d converge ad un numero finito. + a n (per gli per cui è finita). 3n 7. Trovare tutte le soluzioni dell equazione ẍ 4 = 3e t + 5e 3t che tendono a per t Disegnare l insieme A dei punti (, ) tali che log( + ) e. Prima parte, gruppo 3.. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f() := e relativamente alla semiretta, specificando se non ne esistano.. Dire per quali a > vale che + 3 = o(e a ) per +. +

31 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del sesto appello, 4 luglio 7 Testi 3 3. Calcolare la derivata della funzione f() := 4. Calcolare 4 cos( + ) d. 5. Dire per quali a > l integrale improprio 6. Calcolare il valore della serie n= n n n! ep() cos( + log t) dt. d ( + converge ad un numero finito. ) a (per gli per cui è finita). 7. Trovare tutte le soluzioni dell equazione ẍ 9 = 8e t + 5e t che tendono a + per t Risolvere graficamente la disequazione log( + ) e. Prima parte, gruppo 4.. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione f() := e relativamente alla semiretta 3, specificando se non ne esistano.. Dire per quali a > vale che 4 e + 3 log = O( a ) per Calcolare la derivata della funzione f() := 4. Calcolare π ( ) cos d. 5. Dire per quali a > l integrale improprio 6. Calcolare il valore della serie n= ep( ) cos( + log t) dt. + a a ( + a d converge ad un numero finito. ) 3n (per gli per cui è finita). n 7. Trovare tutte le soluzioni dell equazione ẍ 9 = 8e t + 5e t che tendono a per t Disegnare l insieme A dei punti (, ) tali che ( ) 3 e. Seconda parte.. Dato a R, sia a (t) la soluzione dell equazione differenziale ẋ = 4 che soddisfa la condizione iniziale () = a. a) Calcolare (t) e disegnarne il grafico. b) Dire per quali a R la soluzione a (t) è definita per ogni t R.. Discutere al variare di a R il comportamento dell integrale improprio ( + ) a a d. (Suggerimento: raccogliere a nella funzione integranda.) 3. Consideriamo la figura piana A delimitata da un arco di circonferenza di raggio r e dalla corda corrispondente. Indichiamo quindi con l la lunghezza della corda, con L la lunghezza dell arco,

32 3 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del sesto appello, 4 luglio 7 Testi e con α l angolo compreso tra la corda e la retta tangente alla circonferenza in uno dei due estremi. Consideriamo infine la seguente quantità: E = L ( + ) r + l. a) Disegnare un esempio della figura A e dire tra quali estremi può variare l angolo α. b) Fissato l angolo α, trovare la figura A che per cui il valore di E è minimo. c) Detto E(α) il valore minimo di E calcolato al punto precedente, trovare il valore massimo e minimo di E(α) al variare di α.

33 Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 6-7 Scritto del settimo appello, 4 settembre 7 Testi 33 Prima parte, gruppo.. Trovare le soluzioni [, π] della disequazione cos() /.. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico = nel punto di ascissa =. + 4 { + b per, 3. Dire per quali a, b R la seguente funzione è continua: f() := ae per <. 4. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 4 della funzione f() := ( + 4 ) Calcolare d. 6. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze n= 7. Trovare la soluzione dell equazione ẋ = 4t 3 e tale che () =. 3 n + n + 4 n n. 8. Disegnare l insieme A dei punti (, ) tali che ( ) 3 arctan( + ). Prima parte, gruppo.. Trovare le soluzioni [, π/] della disequazione tan().. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico = nel punto di ascissa =. + 6 { + b per, 3. Dire per quali a, b R la seguente funzione è continua: f() := ae per <. 4. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 6 della funzione f() := (3 + 4 ) log( + ). 5. Calcolare e 6 3 log d. 6. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze n= 4 n + n + 5 n n. 7. Trovare la soluzione dell equazione ẋ = 4t( + ) tale che () =. 8. Risolvere graficamente la disequazione arctan( ) 4. Prima parte, gruppo 3.. Trovare le soluzioni [, π] della disequazione sin() /.. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico = nel punto di ascissa =. + 4 { + b per, 3. Dire per quali a, b R la seguente funzione è continua: f() := ae per <. 4. Scrivere lo sviluppo di Talor di ordine 6 della funzione f() := ( + 6 ) 4 3.