3. (Punti 8) Si consideri l integrale improprio. x n dx, n N.

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del 4 febbraio 27 Fila. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 9) Data l equazione: z 7 (+i) 256 =, a) (punti 6) determinare tutti i valori z C che la verificano; b) (punti 3) dimostrare che la somma di tutte le radici è zero. 2. (Punti ) Data la funzione f(x) = 4x 2 x 2 a) (punti 4) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti 2) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) (punti 2) determinare gli intervalli di concavità e di convessità; d) (punti 2) disegnare il suo grafico approssimato. 3. (Punti 8) Si consideri l integrale improprio x n dx, n N. e5x a) (punti 2) dimostrare che esiste finito mediante uno studio a priori; b) (punti 6) dimostrare per induzione che x n n! dx = e5x 5n+, n N. 4. (Punti 6) Determinare il comportamento della serie n= n!+2 n n n +.

2 Esercizio a) z 7 = 256 +i = 256( i) ( i)(+i) = 28(+i) z7 = 28(+i) Esprimiamo il numero complesso i in forma trigonometrica. +i = 2 (cos 4 π + i sin 4 ) π, da cui, applicando la formula per il calcolo delle radici ennesime di un numero complesso, otteniamo che le soluzioni dell equazione assegnata sono { z 2 4 [ ( π 2 cos 28 + k2π ) ( π + i sin k2π )] }, k =,, 2, 3, 4, 5, 6. 7 Oppure in forma esponenziale { z 2 4 } 2e ( π 28 +k2π 7 )i, k =,, 2, 3, 4, 5, 6 Esercizio b) Sfruttiamo l espressione delle radici ennesime nella forma esponenziale: e ( π 28 +k2π 7 )i = e ( π 28 )i k= k= e (k2π 7 )i Sfruttiamo la formula della somma dei primi n termini di una progressione geometrica( ) 6 k= e2πi7 e k2π 7 i 7 = e 2πi 7 = e 2πi 7 =. Perchè e 2πi =. Esercizio 2 Il campo di esistenza è dato dai valori di x tali che { 4x 2 x 2. () Il sistema ha soluzioni x oppure x. f(±) = 3 Osserviamo che la funzione è positiva se 4x 2 > x 2, che è verificata per ogni x R. dove a. n k= a k = an+ a, a R, 2

3 La funzione è pari: f( x) = f(x), infatti f( x) = 4( x) 2 ( x) 2 = 4x 2 x 2 = f(x) È dunque sufficiente studiare f per x e poi effettuare la simmetria rispetto all asse y. Comportamento all infinito: ) (4 x2 x2 f(x) x x + x + Vediamo se la funzione ammette asintoti all infinito. = +. f(x) m x + x 4x2 x 2 = x + x ( ) x 2 x 4x 2 2 = x + x ( x + 2 4x 2 x 2 ) = q f(x) x 4x2 x 2 x = x + x + [ ] x 2 x + 4x x x 2 2 Applichiamo lo sviluppo di Taylor con t = x 2 e α = 2 (+t) α = + αt + o(t) [ q x 2 ( ) x + 8x +o 2 x 2 + x 2 + o ( x 2 )] 5 x x + 4 ( ) x + o 2 x 2 =. Quindi per x che tende a + l asintoto è y = x. Poichè la funzione è dispari, per x che tende a l asintoto è y = x (per simmetria rispetto all asse y). Calcolo della derivata prima per determinare gli eventuali punti di massimo o minimo relativo e gli intervalli di monotonia, per x > f (x) = 4x 4x2 x x2, f (x) > 2x 2 5 > x >

4 Quindi la funzione risulta crescente in ( 5, + ) e decrescente in [, 5 ). 2 2 Il punto x = 5 è di minimo assoluto. 2 Per simmetria: la funzione risulta crescente in ( 5, ] e decrescente in (, 2 5 ). 2 Il punto x = 5 è di minimo assoluto. Inoltre 2 Procediamo al calcolo della derivata seconda. f (x) = (x) =. x +f 4 (4x 2 ) 4x 2 + (x 2 ) x 2 Risulta f (x) >, per x >. Infatti, tenendo presente che 4x 2 >, x 2 >, questa è vera perchè f (x) > (4x 2 ) 4x 2 > 4(x 2 ) x 2, (4x 2 ) 4x 2 > 4(x 2 ) 4x 2 > 4(x 2 ) x 2 La funzione risulta convessa per x >. Per simmetria la funzione risulta convessa anche per x <. Tenuto conto di quanto dimostrato possiamo tracciare il seguente grafico approssimato di f. y 3 /2 x x x 4

5 Esercizio 3 a) Essendo l esponenziale un infinito di ordine superiore a qualunque potenza di x (per x che tende a + ) in quanto per ogni n N x + x n =, e4x possiamo dedurre, dalla definizione di ite con ε =, che esiste x > tale che per ogni x > x x n < e 4x. Da questo possiamo scrivere, per ogni x > x x n e4x < e5x e = 5x e x. La funzione e x è integrabile su [x,+ ) in quanto x e x = e x. Queste osservazioni ci permettono di concludere, tenuto conto che la funzione integranda è positiva ed utilizzando il teorema del confronto per gli integrali impropri, che l integrale assegnato esiste finito. Esercizio 3 b) Per n = l identità e banalmente verificata in quanto dx e5x c + c [ e 5x dx ] c c + 5 e 5x Dimostriamo il passo induttivo (ovvero l induttività), considerando = 5 {[ ] c x + 5 e 5x x n+ + 5 c x n+ dx e5x c + } (n+) xn e 5x c n+ c + 5 x n+ e 5x dx = c x n dx = e5x = n+ x n 5 e = 5x (Per l ipotesi induttiva) = n+ n! (n+)! =. 5 5n+ 5 n+2 Esercizio 4. 5

6 La serie è a termini positivi. Per questo possiamo applicare il criterio del confronto asintotico dopo aver osservato che l infinito più forte al numeratore è n! mentre al denominatore è n n, infatti n! 2 = +. n Confrontiamo il termine generale della serie data con la successione n! n n n!+2 n n n + n! n n n! ( ) + 2n n! n n( ) nn + n! =. n n Quindi la serie data converge in quanto si comporta come la serie n! n n, che a sua volta converge in quanto per il criterio del rapporto abbiamo (n+)! (n+) n+ n! n n ( + n ) n = e <. 6

7 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del 4 febbraio 27 Fila 2. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 9) Data l equazione: z 3 ( +i) 25 = a) (punti 6) determinare tutti i valori z C che la verificano; b) (punti 3) dimostrare che la somma di tutte le radici è zero. 2. (Punti ) Data la funzione f(x) = 9x 2 x 2 a) (punti 4) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti 2) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) (punti 2) determinare gli intervalli di concavità e di convessità; d) (punti 2) disegnare il suo grafico approssimato. 3. (Punti 8) Si consideri l integrale improprio x n dx, n N. e4x a) (punti 2) dimostrare che esiste finito mediante uno studio a priori; b) (punti 6) dimostrare per induzione che x n n! dx = e4x 4n+, n N. 4. (Punti 6) Determinare il comportamento della serie n= 3 n +n n!

8 Esercizio a) z 3 = 25 +i = 25( i) ( i)( +i) = 25 2 ( i) z3 = 25 2 ( +i) Esprimiamo il numero complesso i in forma trigonometrica. +i = 2 (cos 34 π + i sin 34 ) π, da cui, applicando la formula per il calcolo delle radici ennesime di un numero complesso, otteniamo che le soluzioni dell equazione assegnata sono { ( 5 π z 6 [cos k2π ) ( π + i sin k2π )] }, k =,, 2. 3 Oppure in forma esponenziale z { 5 3 } 2e (π 4 +k2π 3 )i, k =,, 2 Esercizio b) Sfruttiamo la formula della somma dei primi n termini di una progressione geometrica ed otteniamo Perchè e 2πi =. 2 k= e k2π 3 i = e2πi = =. e 2 πi 3 e 2 πi 3 Esercizio 2 C.E.: (, ) (, + ). La funzione è sempre positiva, ed inoltre è una funzione pari. Asintoto per x che tende a + : y = 2x. Asintoto per x che tende a : y = 2x. Per x >, f (x) = 9x 9x2 f (x) > x > x x2 3. Quindi la funzione risulta crescente in (, + ) e decrescente in [, ). 3 3 Il punto x = è di minimo assoluto. 3 Per simmetria: la funzione risulta crescente in (, ] e decrescente in (, 3 ). 3 Il punto x = è di minimo assoluto. 3 Procediamo al calcolo della derivata seconda. 8

9 f (x) = 9 (9x 2 ) 9x 2 + (x 2 ) x 2 Risulta f (x) >, per x >. Infatti, tenendo presente che 9x 2 >, x 2 >, questa è vera perchè f (x) > (9x 2 ) 9x 2 > 9(x 2 ) x 2, (9x 2 ) 9x 2 > 9(x 2 ) 9x 2 > 9(x 2 ) x 2 La funzione risulta convessa per x >. Per simmetria la funzione risulta convessa anche per x <. Tenuto conto di quanto dimostrato possiamo tracciare il grafico approssimato di f (vedi grafico Fila ). Esercizio 3a e 3b: vedi soluzione del 3a e 3b della Fila. Esercizio 4. La serie è a termini positivi. Per questo possiamo applicare il criterio del confronto asintotico dopo aver osservato che l infinito più forte al numeratore è 3 n mentre al denominatore è n!, infatti 3 n n = +, Confrontiamo il termine generale della serie data con la successione 3n n! 3 n( ) + n 3 n 3 n +n n!+5 3 n n! n! ( + 5 n! ) n! 3 n =. Quindi la serie data converge in quanto si comporta come la serie 3 n n!, che a sua volta converge in quanto per il criterio del rapporto abbiamo 3 n+ (n+)! 3 n n! 3 (n+) = <. 9

10 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del 4 febbraio 27 Fila 3. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 9) Data l equazione: z 5 ( i) 243 = a) (punti 6) determinare tutti i valori z C che la verificano; b) (punti 3) dimostrare che la somma di tutte le radici è zero. 2. (Punti ) Data la funzione f(x) = 6x 2 x 2 a) (punti 4) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti 2) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) (punti 2) determinare gli intervalli di concavità e di convessità; d) (punti 2) disegnare il suo grafico approssimato. 3. (Punti 8) Si consideri l integrale improprio x n dx, n N. e6x a) (punti 2) dimostrare che esiste finito mediante uno studio a priori; b) (punti 6) dimostrare per induzione che x n n! dx = e6x 6n+, n N. 4. (Punti 6) Determinare il comportamento della serie n= n n + n 2.

11 Esercizio a) z 5 = 243 i = 243( +i) ( i)( +i) = ( +i) z5 = ( i) Esprimiamo il numero complesso i in forma trigonometrica. i = 2 (cos 54 π + i sin 54 ) π, da cui, applicando la formula per il calcolo delle radici ennesime di un numero complesso, otteniamo che le soluzioni dell equazione assegnata sono { [ ( 3 π z cos k2π ) ( π + i sin k2π )] }, k =,, 2, 3, 4. 5 Oppure in forma esponenziale { } 3 z 2 e(π 4 +k2π 5 )i, k =,, 2, 3, 4 Esercizio b) Sfruttiamo la formula della somma dei primi n termini di una progressione geometrica ed otteniamo Perchè e 2πi =. Esercizio 2 4 k= e k2π 5 i = e2πi = =. e 2 πi 5 e 2 πi 5 C.E.: (, ) (, + ). La funzione è sempre positiva, ed inoltre è una funzione pari. Asintoto per x che tende a + : y = 3x. Asintoto per x che tende a : y = 3x. Per x > f (x) = 6x 6x2 f (x) > x > x x Quindi la funzione risulta crescente in ( 7, + ) e decrescente in [, 7 ). 4 4 Il punto x = 7 è di minimo assoluto. 4 Per simmetria: la funzione risulta crescente in ( 7, ] e decrescente in (, 4 7 ). 4 Il punto x = 7 è di minimo assoluto. 4 Procediamo al calcolo della derivata seconda. f (x) = 6 (6x 2 ) 6x 2 + (x 2 ) x 2.

12 Risulta f (x) >, per x >. Infatti, tenendo presente che 6x 2 >, x 2 >, questa è vera perchè f (x) > (6x 2 ) 6x 2 > 6(x 2 ) x 2, (6x 2 ) 6x 2 > 6(x 2 ) 6x 2 > 6(x 2 ) x 2 La funzione risulta convessa per x >. Per simmetria la funzione risulta convessa anche per x <. Tenuto conto di quanto dimostrato possiamo tracciare il grafico approssimato di f (vedi grafico Fila ). Esercizio 3a e 3b: vedi soluzione del 3a e 3b della Fila. Esercizio 4. La serie è a termini positivi. Per questo possiamo applicare il criterio del confronto asintotico dopo aver osservato che l infinito più forte al numeratore è n 3 mentre al denominatore è 4 n, infatti 4 n n = +. 2 Confrontiamo il termine generale della serie data con la successione n3 4 n n n +n n 3( ) n 3 n 3 4 n( ) 4n + n2 n =. 3 4 n 4 n Quindi la serie data converge in quanto si comporta come la serie n 3 4 n, che a sua volta converge in quanto per il criterio del rapporto abbiamo (n+) 3 ( 4 n+ + ) 3 = n 3 4 n 4 <. 4 n 2

13 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del 4 febbraio 27 Fila 4. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 9) Data l equazione: z 6 i +729 = a) (punti 6) determinare tutti i valori z C che la verificano; b) (punti 3) dimostrare che la somma di tutte le radici è zero. 2. (Punti ) Data la funzione f(x) = 25x 2 x 2 a) (punti 4) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti 2) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) (punti 2) determinare gli intervalli di concavità e di convessità; d) (punti 2) disegnare il suo grafico approssimato. 3. (Punti 8) Si consideri l integrale improprio x n dx, n N. e6x a) (punti 2) dimostrare che esiste finito mediante uno studio a priori; b) (punti 6) dimostrare per induzione che x n n! dx = e6x 6n+, n N. 4. (Punti 6) Determinare il comportamento della serie n= n 5 + n 7+n n. 3

14 Esercizio a) z 6 = 729 = 729i = 729i z 6 = 729 ( i) i i i Esprimiamo il numero complesso i in forma trigonometrica. i = (cos 32 π + i sin 32 ) π, da cui, applicando la formula per il calcolo delle radici ennesime di un numero complesso, otteniamo che le soluzioni dell equazione assegnata sono { [ ( π z 3 cos 4 + kπ ) ( π + i sin kπ )] }, k =,, 2, 3, 4, 5. 3 Oppure in forma esponenziale z { } 3e (π 4 +kπ 3 )i, k =,, 2, 3, 4, 5 Esercizio b) Sfruttiamo la formula della somma dei primi n termini di una progressione geometrica ed otteniamo Perchè e 2πi =. Esercizio 2 5 k= e kπ 3 i = e2πi e π 3 i = e π 3 i =. C.E.: (, ) (, + ). La funzione è sempre positiva, ed inoltre è una funzione pari. Asintoto per x che tende a + : y = 4x. Asintoto per x che tende a : y = 4x. Per x > f (x) = 25x 25x2 f (x) > x > x x Quindi la funzione risulta crescente in ( 26, + ) e decrescente in [, 26 ). 5 5 Il punto x = 26 è di minimo assoluto. 5 Per simmetria: la funzione risulta crescente in ( 26, ] e decrescente in (, 5 26 ). 5 Il punto x = 26 è di minimo assoluto. 5 Procediamo al calcolo della derivata seconda. f (x) = 25 (25x 2 ) 25x 2 + (x 2 ) x 2. 4

15 Risulta f (x) >, per x >. Infatti, tenendo presente che 6x 2 >, x 2 >, questa è vera perchè f (x) > (6x 2 ) 6x 2 > 6(x 2 ) x 2, (6x 2 ) 6x 2 > 6(x 2 ) 6x 2 > 6(x 2 ) x 2 La funzione risulta convessa per x >. Per simmetria la funzione risulta convessa anche per x <. Tenuto conto di quanto dimostrato possiamo tracciare il grafico approssimato di f (vedi grafico Fila ). Esercizio 3a e 3b: vedi soluzione del 3a e 3b della Fila. Esercizio 4. La serie è a termini positivi. Per questo possiamo applicare il criterio del confronto asintotico dopo aver osservato che l infinito più forte al numeratore è n 3 mentre al denominatore è 4 n, infatti 4 n n = +. 2 Confrontiamo il termine generale della serie data con la successione n3 4 n n n +n n 3( ) n 3 n 3 4 n( ) 4n + n2 n =. 3 4 n 4 n Quindi la serie data converge in quanto si comporta come la serie n 3 4 n, che a sua volta converge in quanto per il criterio del rapporto abbiamo (n+) 3 ( 4 n+ + ) 3 = n 3 4 n 4 <. 4 n 5

16 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del 4 febbraio 27 Fila 4. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 9) Data l equazione: z 6 i +729 = a) (punti 6) determinare tutti i valori z C che la verificano; b) (punti 3) dimostrare che la somma di tutte le radici è zero. 2. (Punti ) Data la funzione f(x) = 25x 2 x 2 a) (punti 4) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti 2) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; c) (punti 2) determinare gli intervalli di concavità e di convessità; d) (punti 2) disegnare il suo grafico approssimato. 3. (Punti 8) Si consideri l integrale improprio x n dx, n N. e6x a) (punti 2) dimostrare che esiste finito mediante uno studio a priori; b) (punti 6) dimostrare per induzione che x n n! dx = e6x 6n+, n N. 4. (Punti 6) Determinare il comportamento della serie n= n 5 + n 7+n n. 6

17 Esercizio a) z 6 = 729 = 729i = 729i z 6 = 729 ( i) i i i Esprimiamo il numero complesso i in forma trigonometrica. i = (cos 32 π + i sin 32 ) π, da cui, applicando la formula per il calcolo delle radici ennesime di un numero complesso, otteniamo che le soluzioni dell equazione assegnata sono { [ ( π z 3 cos 4 + kπ ) ( π + i sin kπ )] }, k =,, 2, 3, 4, 5. 3 Oppure in forma esponenziale z { } 3e (π 4 +kπ 3 )i, k =,, 2, 3, 4, 5 Esercizio b) Sfruttiamo la formula della somma dei primi n termini di una progressione geometrica ed otteniamo Perchè e 2πi =. Esercizio 2 5 k= e kπ 3 i = e2πi e π 3 i = e π 3 i =. C.E.: (, ) (, + ). La funzione è sempre positiva, ed inoltre è una funzione pari. Asintoto per x che tende a + : y = 4x. Asintoto per x che tende a : y = 4x. Per x > f (x) = 25x 25x2 f (x) > x > x x Quindi la funzione risulta crescente in ( 26, + ) e decrescente in [, 26 ). 5 5 Il punto x = 26 è di minimo assoluto. 5 Per simmetria: la funzione risulta crescente in ( 26, ] e decrescente in (, 5 26 ). 5 Il punto x = 26 è di minimo assoluto. 5 Procediamo al calcolo della derivata seconda. f (x) = 25 (25x 2 ) 25x 2 + (x 2 ) x 2. 7

18 Risulta f (x) >, per x >. Infatti, tenendo presente che 25x 2 >, x 2 >, questa è vera perchè f (x) > (25x 2 ) 25x 2 > 25(x 2 ) x 2, (25x 2 ) 25x 2 > 25(x 2 ) 25x 2 > 25(x 2 ) x 2 La funzione risulta convessa per x >. Per simmetria la funzione risulta convessa anche per x <. Tenuto conto di quanto dimostrato possiamo tracciare il grafico approssimato di f (vedi grafico Fila ). Esercizio 3a e 3b: vedi soluzione del 3a e 3b della Fila. Esercizio 4. La serie è a termini positivi. Per questo possiamo applicare il criterio del confronto asintotico dopo aver osservato che l infinito più forte al numeratore è n mentre al denominatore è n n, infatti n n = +. 5 Confrontiamo il termine generale della serie data con la successione n n 5 ( ) n n 5 n 5 + n 7+n n n n n n + n n( 7 n n + ) nn n =. Quindi la serie data converge in quanto si comporta come la serie n n n, che a sua volta converge in quanto per il criterio del rapporto abbiamo Perchè n+ (n+) n+ n n n ( ) n n = <. n+ n+ ( ) n n = + n+ e. 8