Integrali impropri - svolgimento degli esercizi

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1 Integrali impropri - svolgimento degli esercizi La funzione integranda è continua su [, + e quindi localmente integrabile. Esaminiamone il segno: si ha < < sin5 > log log log 2 + log 2 > ; quindi l integranda è una funzione positiva. Per applicare il criterio del confronto asintotico per + consideriamo i comportamenti asintotici di numeratore e denominatore: ricordando che sin y y per y, otteniamo + 5 sin 5 sin 5 y y + y 5, quindi sin 5. Inoltre, ricordando che log + y y per y, otteniamo anche log log quindi log 2 + 2log integrale ha lo stesso carattere di ovvero converge. + 2 log 2 + log log + 2 log + y, y + y. In conclusione, per il criterio del confronto asintotico il nostro 2 d, 2 L esercizio è analogo al precedente. La funzione integranda è localmente integrabile e positiva. Inoltre per + si ha sin 6 6, log 5 + 5log log 5 + 5log log Quindi sin 6 log log 6 5 ;

2 Braides-Tauraso 2/2 2 per il criterio del confronto asintotico il nostro integrale ha quindi lo stesso carattere dell integrale improprio d, ovvero è positivamente divergente. La funzione integranda è chiaramente positiva e continua su [, +, e quindi localmente integrabile. Applichiamo il criterio del confronto asintotico con la funzione ep il cui integrale converge: ep ep ep2 2 ep ep2 2 ep + 2, dunque il nostro integrale converge. 4 L esercizio è analogo al precedente. la funzione integranda è localmente integrabile e positiva su [, +. Si può applicare il criterio del confronto con la funzione ep : per siha 4, quindi , ep 4 ep ep 4 + ep4 4 + ep4 4, e dunque ep 4 + ep4 4 ep. Dato che l integrale improprio di ep converge, anche il nostro integrale è convergente. 5 Esaminiamo il segno della funzione integranda. Si ha 5 + > per, e inoltre dato che sin < log 2 log + sin log 4. Dunque log + sin log log Possiamo applicare due volte il criterio del confronto, ottenendo che il nostro integrale ha lo stesso carattere dell integrale d. A questo integrale possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, confrontando la funzione integranda con la funzione 5/4. Dato che 5/ ,

3 integrali impropri il nostro integrale ha lo stesso carattere di ovvero è convergente. d, 5/4 6 L esercizio è analogo al precedente. Si ha 4 + > per, e inoltre < log 2 log + cos log 4. La funzione integranda è positiva, e il nostro integrale per confronto ha lo stesso carattere dell integrale d. Dato che + 4/ , per il criterio del confronto asintotico il nostro integrale ha lo stesso carattere di ovvero è positivamente divergente. d, 4/5 7 L esercizio è simile ai due precedenti. Notiamo che 6 + per, cos 2, e dunque log2 + cos 2 log. Si ha quindi log2 + cos log Dato che /5 per +, l integrale log d per il criterio del confronto asintotico ha lo stesso carattere dell integrale d, 6/5 che è convergente. Per il criterio del confronto quindi anche il nostro integrale converge.

4 Braides-Tauraso 2/2 4 8 Osserviamo innanzitutto che la funzione integranda è positiva, quindi l integrale improprio converge o diverge positivamente. Inoltre, + coshe cosh e ciò suggerisce di confrontare asintoticamente la funzione f con g. Otteniamo, quindi 4 coshe coshe + e concludiamo, grazie al criterio del confronto asintotico, che l integrale proposto è convergente. 9 Procedendo come nell esercizio precedente, confrontiamo asintoticamente la funzione integranda con g, ottenendo coshe +. + Concludiamo, quindi, per il criterio del confronto asintotico, che l integrale proposto diverge positivamente. Per stabilire il carattere dell integrale dato, osserviamo che sine e 5 + sine >. Inoltre, arctan > >, quindi la funzione integranda è positiva e l integrale improprio converge o diverge positivamente. Confrontiamo asintoticamente la funzione f arctan 5 + sine con g, ottenendo arctan 5 + sine + 5 arctan 5 + sine 5 π 2. Si ha, quindi f 2/ e l integrale improprio diverge positivamente. Procediamo come nell esercizio precedente, osservando innanzitutto la positività della funzione integranda. Come prima, si trova f arctan 7 + sine 4 /4 e si conclude, applicando il criterio del confronto asintotico, che l integrale proposto diverge positivamente.

5 5 integrali impropri 2 La funzione in considerazione si può scrivere f 2 4/ 2 /7 per >2 4/ 2 /7 per <2e. 4/ 2 /7 Dunque f è definita e continua su R\{, 2}. In particolare è continua e quindi integrabile su [, ]. Dunque B non è verificata. Esaminiamo i rimanenti casi. C: f è continua e positiva su [, +. Si ha 4/ 2 /7 4/ /7 4/+/7 6/2 per +. Per il criterio del confronto asintotico l integrale f d ha lo stesso carattere dell integrale d. 6/2 Dato che 6/2 < questo integrale è divergente, quindi C non è verificata. A: f è negativa e continua in [,. Possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, notando che f 4/ 2 /7 4/ per ; dato che < 4/ l integrale improprio è divergente, e quindi lo è anche d 4/ f d. Dunque A non è verificata. D: f è positiva e continua in 2, ]. Possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, notando che f 4/ 2 2 /7 2 /7 per 2+; dato che /7 < l integrale improprio è convergente, e quindi lo è anche 2 d 2 /7 f d. Dunque D è verificata.

6 Braides-Tauraso 2/2 6 Questo esercizio è simile al precedente. La funzione in considerazione si può scrivere f 8/5 2 8/7 per >e 2 /5 2 8/7 per <. /5 2 8/7 Dunque f è definita e continua su R\{, 2}. In particolare è continua e quindi integrabile su [, ]. Dunque B non è verificata. Esaminiamo i rimanenti casi. C: f è continua e positiva su [, +. Si ha /5 2 8/7 /5 8/7 /5+8/7 26/5. Per il criterio del confronto asintotico l integrale d. 26/5 f d ha lo stesso carattere dell integrale Dato che 26/5 < questo integrale è divergente, quindi C non è verificata. D: f è continua e positiva su 2, ]. Per il criterio del confronto asintotico, dato che per 2+, l integrale 2 /5 2 8/ /7 f d ha lo stesso carattere dell integrale 2 d, 2 8/7 che è divergente perchè 8/7 >. Dunque D non è verificata. A: f è definita, continua e negativa su [,. Possiamo applicare il criterio del confronto asintotico per, dato che /5 2 8/7 /5, ottenendo che il nostro integrale ha il carattere di d, ovvero è convergente. Dunque /5 A è verificata.

7 7 integrali impropri 4 Questo esercizio è simile ai due precedenti. Consideriamo la funzione in questione, che possiamo scrivere e f log 2 4/ log. /7 Essa è definita e continua in R \{log 2, log }; in particolare è continua, e quindi integrabile in [ log 2, ], e quindi B non è verificata. Esaminiamo le altre possibili risposte. D: la funzione f è continua e negativa su [, log 2, e quindi localmente integrabile. Possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, notando che f log log 2 /7 per log 2. Dato che 4/ > l integrale improprio è divergente, e quindi anche log 2 d log 2 4/ log 2 f d log 2 4/ lo è. Dunque A non è verificata. C: la funzione f è positiva e continua e quindi localmente integrabile su [log 4, +. Notiamo che f e + + 4/ e +, /7 + 58/2 e quindi f non è integrabile su [log 4, +. Dunque C non è verificata. D: la funzione f è continua e positiva su log, log 4], e quindi localmente integrabile. Possiamo applicare il criterio del confronto asintotico, notando che e quindi log e log e e log f per log +. Dato che /7 < l integrale e log, log, e log log log 2 4/ log 4 log d log /7 log /7 è convergente, e quindi anche lo è. Dunque D è verificata. log 4 log f d

8 Braides-Tauraso 2/2 8 5 Il fattore /2 è negativo nell intervallo di integrazione come pure la funzione integranda, quindi l integrale improprio converge o diverge negativamente. Confrontiamo asintoticamente la funzione f /2 log + con + g 2 log log. Si ha /2 + log + log + + log /2 log + + Quindi, f log. Ricordando che 2 log d negativamente. log + log +. diverge positivamente, si conclude che l integrale proposto diverge 6 L integrale dato può essere studiato procedendo come nell esercizio precedente o, in alternativa, usando anche il criterio del confronto. + /2 Si ha f log + 4 > nell intervallo di integrazione e + log + > e 4 +> 4 2. Quindi + /2 + /2 log < + /2 4 log + < 4 2. Si deduce, quindi, utilizzando i criteri del confronto e del confronto asintotico, che l integrale dato converge. 7 Studiamo innanzitutto il segno della funzione integranda. Il fattore è negativo nell intervallo di integrazione e ciò implica che l integrale improprio converge o diverge negativamente. Notiamo, poi, che la funzione integranda è ilitata in ogni intorno destro di. Confrontiamo asintoticamente la funzione f con log + /4 + g, per /4 +. Si ha + /4 log + / /4 log + /4 /4 /4 + o /4,

9 9 integrali impropri avendo usato lo sviluppo di Taylor log + y y + oy, per y vicino a zero. Dalla convergenza di d, si deduce, per il criterio del confronto asintotico, che l integrale dato è convergente. /4 8 Osserviamo che la funzione integranda è positiva e ilitata in ogni intorno destro di. Procediamo come nell esercizio precedente e concludiamo subito che f + log + /2 4 + log + /2 per +. Perciò, l integrale proposto diverge positivamente. /2, 9 La funzione integranda è positiva nell intervallo di integrazione, quindi l integrale improprio converge o diverge positivamente. Osserviamo che ep ep, + 2 log cioè, 2+,per +. Questo suggerisce di confrontare asintoticamente f 2+ con g /2 log. Si ha /2 log + /2 log 2+ /2 log + /2 log 2+ /2 log, da cui si legge che f /2 log. Ricordando che 2 /2 log d diverge positivamente, si conclude, per il criterio del confronto asintotico, che l integrale proposto diverge positivamente. 2 L integrale proposto è del tutto simile a quello dell esercizio precedente: ripercorrendo gli stessi passaggi, si ottiene f 2 /2 log /2 log /2 log, /2 poichè log e. Applicando i criteri del confronto e del confronto asintotico, si conclude che l integrale proposto è convergente.

10 Braides-Tauraso 2/2 2 Circa il segno della funzione integranda, osserviamo che essa è negativa nell intervallo di integrazione, quindi l integrale improprio converge o diverge negativamente. Inoltre, essa è ilitata in ogni intorno destro di t. sin t Dal ite notevole, si deduce che t t ft sin t log t t 9/4 sin t log t t t 5/4 log t t 5/4, per t +. Inoltre, per <t e, vale la disuguaglianza log t, che implica per <t e. Ricordando che si deduce che l integrale dato. log t dt t5/4 log t log t t5/4 t 5/4 t, 5/4 dt diverge positivamente, utilizzando il criterio del confronto, t5/4 diverge negativamente, come pure, per il criterio del confronto asintotico, 22 Procediamo come nell esercizio precedente, ripercorrendo gli stessi passaggi. Si ha ft sin t log t t 7/ sin t log t t t 4/ log t t 4/, per t +. Inoltre, per <t e, vale la disuguaglianza log t log t t4/ t 4/ t. 4/ I criteri del confronto e del confronto asintotico permettono di concludere che l integrale dato diverge negativamente. 2 La funzione integranda è negativa e itata nell intervallo di integrazione. Effettuando il cambio di variabile y, si ottiene log e d log e y dy log e y dy. + Confrontiamo asintoticamente fy log e y con gy e y. Otteniamo log e y e y y + e y H y + e y e y. Quindi, fy e y, per y +.

11 integrali impropri Studiamo ora la convergenza di e y dy con il criterio del confronto. Si ha e y e y < y 2, per y abbastanza grande. Quindi e y dy converge e log e d converge per il criterio del confronto asintotico. log e y dy 24 Osserviamo che la funzione integranda è positiva. Come nell esercizio precedente, effettuiamo la sostituzione y, da cui si ottiene log + e 2 d log + e 2y dy. Si ha log + e 2y e 2y + oe 2y y + e 2y y + e 2y, avendo usato lo sviluppo di Taylor log + z z + oz, per z vicino a zero. Quindi, log + e 2y e 2y, per y +. Dobbiamo ora studiare il carattere dell integrale improprio metodi. Dapprima, osserviamo che vale la disuguaglianza e 2y dy. Per questo, utilizziamo due Ora, la convergenza di permette di concludere che anche di e 2y e 2y < e y e y y. e y dy è stata provata nell esercizio precedente: il criterio del confronto e 2y dy mediante la definizione. Si ha e 2y dy e 2y dy converge. In alternativa, dimostriamo la convergenza b b + 2 b + 2 b + e 2y dy [ e 2y ] b e 2b e 2 2e 2. Infine, il criterio del confronto asintotico permette di concludere che l integrale dato converge.