SVILUPPI DI TAYLOR Esercizi risolti

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1 Esercizio 1 SVILUPPI DI TAYLOR Esercizi risolti Utilizzando gli sviluppi fondamentali, calcolare gli sviluppi di McLaurin con resto di Peano delle funzioni seguenti fino all ordine n indicato: 1. fx log1 + x n. fx cosx n 10. fx 1 + x 1 x n 4. fx sinx sinhx n 6 5. fx e x 1 sinx n 1 6. fx e x 1 sin x n 4 7. fx e x 1 n 4 Esercizio Calcolare lo sviluppo di Taylor con resto di Peano delle seguenti funzioni nel punto x 0 indicato e fino all ordine n richiesto: 1. fx e x x 0 1 n. fx sin x x 0 π/ n 5. fx + x + x x x 0 1 n 4. fx log x x 0 n Esercizio Calcolare lo sviluppo di McLaurin con resto di Peano delle seguenti funzioni fino all ordine n richiesto: 1. fx log1 + sin x n. fx logcos x n 4. fx x + x n 4 4. fx cosh x n 4

2 Esercizio 4 Utilizzando gli sviluppi di Taylor, calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale rispetto alla funzione campione usuale delle seguenti funzioni: 1. fx sin x x cos x x 0. fx cosh x 1 + x x 0. fx e 1/x e sin1/x x + Esercizio 5 Utilizzando gli sviluppi di Taylor, calcolare i seguenti iti: 1. e x 1 + log1 x tan x x x e cos x. x x 4 log1 + x arctan x + 1 e x. 1 + x x x log 1 + sin 1 x + x tan x 5 1 cos x Esercizio 6 1. Calcolare lo sviluppo di McLaurin al quarto ordine con resto di Peano della funzione fx cosx e x.. Calcolare il ite cosx e x 1 + x x sinx. Esercizio 7 1. Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione fx sin x x x 1 x.. Utilizzando il risultato precedente, calcolare f 0, f 0, e studiare la natura del punto critico x 0 massimo, minimo, flesso.

3 Esercizio 8 1. Calcolare lo sviluppo di McLaurin al terzo ordine della funzione gx log1 + tan x.. Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione fx log1 + tan x x + 1 x.. Utilizzando il risultato precedente, calcolare f 0, f 0, e stabilire se x 0 è un punto di massimo, di minimo o di flesso. Esercizio 9 1. Calcolare lo sviluppo di McLaurin al terzo ordine della funzione gx e arctan x.. Calcolare lo sviluppo di McLaurin al terzo ordine della funzione hx 1 + x.. Calcolare l ordine di infinitesimo e la parte principale per x 0 della funzione fx e arctan x 1 + x. Esercizio Calcolare lo sviluppo di McLaurin al quarto ordine della funzione fx sinx e x.. Utilizzando il risultato precedente, calcolare f Calcolare il ite sinx e x tanx 4x x 4.

4 Svolgimenti Esercizio 1 1. Utilizziamo lo sviluppo fondamentale log1 + z z z + z n+1 zn n + ozn, 1 operando la sostituzione z x. Si ha oz ox ox per x 0. Possiamo quindi arrestare lo sviluppo fondamentale a n, ottenendo: log1 + x x x + x + ox x 9x + 9x + ox.. Utilizziamo lo sviluppo fondamentale cos z 1 z! + z4 zn n 4! n! + ozn+1 e operiamo la sostituzione z x. Ricordando che ox m n ox mn, si ha oz n ox n ; possiamo quindi troncare lo sviluppo fondamentale al termine in z 4, ottenendo: cos x 1 x4! + x8 4! + ox10.. Consideriamo lo sviluppo della funzione 1+z α per α 1/ arrestandolo al terzo ordine: 1 + z 1 + z z 8 + z 16 + oz. Sostituendo in questo sviluppo dapprima z x e poi z x, si ha: 1 + x 1 x 1 + x x 8 + x 16 + x ox x 1 8 x 16 + ox x + x 8 + ox. 4. Utilizziamo gli sviluppi fondamentali sin z z z! + z5 zn n 5! n + 1! + ozn+1, 4 sinh z z + z! + z5 5! zn+1 n + 1! + ozn+1, 5 sostituendo z x e osservando che è sufficiente arrestarsi al termine cubico. Si ha sin x sinh x x x6! + ox6 x + x6! + ox6 x6 + ox6.

5 5. Utilizziamo lo sviluppo 4 e lo sviluppo della funzione esponenziale e z 1 + z + z! + z! zn n! + ozn. 6 Lo sviluppo richiesto è di ordine 1; tenendo conto del fatto che dobbiamo operare la sostituzione z x, possiamo arrestare lo sviluppo del seno all ordine e quello dell esponenziale all ordine 4. Otteniamo fx e x 1 sinx 1 + x + x + x!! + x 4 4! x6 + x9 6 + x1 4 + x9 6 + ox1 x6 + x9 + x1 4 + ox1. + o x 4 1 x x + o x 4! 6. Utilizziamo gli sviluppi 4 e 6. Viene richiesto lo sviluppo fino al quarto ordine; entrambi i fattori dovranno quindi essere sviluppati almeno fino a tale ordine: fx e x 1 sin x 1 + x + x! + x! + x4 4! x + 9x + 9x + 81x4 4 + ox4 + ox 4 1 x x! x 4x + ox4 + ox 4 Svolgiamo il prodotto, trascurando i termini di ordine superiore al quarto, ottenendo: fx e x 1 sin x 6x + 9x + 5x 4 + ox Riferendoci allo sviluppo 6 sviluppiamo la funzione gx e x 1 fino al quarto ordine: gx e x 1 1 x+ x! + x! + x4 4! +ox 4 1 x+ x! + x + x4! 4! +ox4. Lo sviluppo ottenuto deve essere elevato al cubo; tutti i termini che si ottengono sono di grado superiore al quarto, tranne due: il cubo di x e il triplo prodotto tra il quadrato di x e x /. Lo sviluppo richiesto si riduce quindi a: fx e x 1 x + x! + x + x4! 4! + ox4 x + x4 + ox4.

6 Esercizio 1. Con la sostituzione x x 0 x+1 z x z 1 ci riconduciamo allo sviluppo della funzione gz fz 1 e z 1 centrato in z 0 0 e arrestato al terzo ordine. Usando lo sviluppo 6 otteniamo e z 1 e 1 e z e z + z! + z! + oz Ritornando alla variabile x si ha e x e 1 x + 1 x x ox + 1!!. Con la sostituzione x π z ci riconduciamo allo sviluppo della funzione gz f z + π sin z + π cos z con centro z 0 0. Utilizzando lo sviluppo arrestato al quarto ordine e ritornando alla variabile x, otteniamo sin x 1 x π x π +! 4! 4 + o x π 5.. Posto x 1 t dobbiamo calcolare lo sviluppo al secondo ordine centrato in t 0 0 della funzione gt ft t t + 1 t t t. Poichè questa è un polinomio, il suo sviluppo di McLaurin coincide con la funzione stessa. Essendo richiesto lo sviluppo al secondo ordine possiamo trascurare il termine cubico, ottenendo gt 5 + 4t + ot. Ritornando alla variabile x si ha fx 5 + 4x 1 + ox 1. Un altro metodo consiste nell utilizzare direttamente la formula di Taylor, calcolando f1, f 1 e f 1: f1 5, f x 1 + 6x x, f 1 4, f x 6 6x, f 1 0. Riotteniamo così il risultato precedente. 4. Operiamo la sostituzione x t; dobbiamo sviluppare la funzione gt ft + logt + con centro t 0 0. Per ricondurci allo sviluppo 1, scriviamo logt + log 1 + t log + log 1 + t. Utilizzando 1 al terzo ordine con la sostituzione z t/, otteniamo: e tornando alla variabile x: logt + log + t t 8 + t 4 + ot, log x log + 1 x 1 8 x x + ox..

7 Esercizio 1. Utilizziamo lo sviluppo fondamentale 1; poiché la funzione sin x è infinitesima per x 0 possiamo operare la sostituzione z sin x, ottenendo lo sviluppo log1 + sin x sin x sin x + sin x + osin x. 7 Poiché sin x x per x 0, si ha osin x ox. Per ottenere lo sviluppo richiesto possiamo quindi sviluppare la funzione sin x nella 7, trascurando i termini di ordine superiore al terzo: log1 + sin x x x 6 + ox 1 x x 6 + ox + 1 x x 6 + ox + ox x x 6 x + x + ox x x + x 6 + ox. In modo equivalente, possiamo sviluppare prima la funzione sin x dentro al logaritmo, ottenendo log1+x 1 6 x +ox, e poi il logaritmo con la sostituzione z x 1 6 x +ox. Ritroviamo così lo stesso risultato.. Poichè cos x 1 per x 0, possiamo scrivere la funzione cos x come 1 + z, dove z è un infinitesimo per x 0. Infatti dallo sviluppo si ha cos x 1 1 x x4 +ox 4 x 0. Sostituiamo dentro al logaritmo e usiamo lo sviluppo 1 con z 1 x x4 +ox 4. Poichè z 1 x x 0, possiamo arrestare lo sviluppo 1 al secondo ordine, ottenendo logcos x log 1 1 x + 1 x + x4 4 + ox4 4 x4 + ox 4 1 x + x4 4 x4 8 + ox4 x x4 1 + ox4.. Utilizziamo lo sviluppo fondamentale x + x4 4 + ox4 + ox z 1 z + z z n z n + oz n, 8 operando la sostituzione z x + x ; poiché x + x x per x 0, dobbiamo arrestare lo sviluppo ai termini di quarto grado. Si ha quindi: x + x 1 x + x + x + x x + x + x + x 4 + ox 4 1 x + x + x + x + x 4 x + x 4 + ox 4 + x 4 + ox 4 + ox 4 1 x + x x 4 + ox 4.

8 4. Ricordando lo sviluppo del coseno iperbolico: abbiamo cosh z 1 + z! + z4 4! zn n! + ozn, 9 1/ cosh x 1 + x + x4 4! + ox4. A questo punto utilizziamo lo sviluppo con z 1 x x4 + ox 4. Essendo z 1 x x 0, è sufficiente arrestarsi al secondo ordine, e si ottiene 1 x cosh x x4 4! + ox4 1 x 8 + x4 4! + ox4 + ox x 4 x ox4. Esercizio 4 1. Si considera lo sviluppo 4 e lo sviluppo con la sostituzione z x ; non è immediato decidere a priori a quale termine arrestarsi, in quanto si possono avere cancellazioni dei primi termini; proviamo ad arrestare lo sviluppo del seno al quinto grado e quello del coseno al quarto, cioè calcoliamo lo sviluppo di fx al quinto ordine. Si ha: sin x x cos x x x! + x5 5! + ox5 x x x! + x5 5! + ox5 x ox5 1 x/ + x/ 4! 4! + x + x 6 x ox5 + ox 4 Possiamo quindi concludere che la p.p. di fx per x 0 è x 5 /70 e che l ordine di infinitesimo è 5. Osserviamo che se negli sviluppi ci fossimo fermati prima e cioè al terzo ordine in 4 e al secondo in avremmo ottenuto fx ox e non saremmo riusciti a calcolare la parte principale. Poiché, come abbiamo già detto, non è possibile determinare a priori l ordine a cui fermarsi, si deve provare, ripetendo eventualmente il calcolo se il risultato non si rivela significativo.. La funzione fx è pari, per cui nel suo sviluppo compaiono solamente potenze pari. Come tentativo, possiamo arrestare gli sviluppi al quarto ordine; tenendo conto di 9 e di, si ha: 1 + x fx! + x4 1 + x + x4 + ox4 5x4 6 + ox4. 4! + ox4 1 + x 8 + ox4 4x4 1 + x x4 + ox4

9 La funzione fx è quindi infinitesima di ordine 4 per x 0 e la sua p. p. è 5x4 6.. Con la sostituzione t 1/x ci riconduciamo allo studio della funzione gt e t e sin t per t 0; possiamo quindi riferirci agli sviluppi 6 e 4. Proviamo ad arrestare gli sviluppi al terzo ordine: gt e t e sin t e t t t e Quindi! +ot 1 + t + t! + t! + ot 1 + t t! + 1! t t + 1!! 1 + t + 1 t t 1 t t 1 t 1 6 t + ot 1 6 t + ot t 0. fx 1 1 6x + o x x +. t t + ot! Concludiamo che la funzione fx è un infinitesimo del terzo ordine per x + rispetto a 1/x e la sua parte principale è 1/6x. Esercizio 5 1. Lo sviluppo di McLaurin della funzione tangente, arrestato al quinto ordine, è: tan z z + z + z oz5 10 Lo sviluppo del denominatore è quindi tan x x x + ox. Sviluppiamo anche il numeratore al terzo ordine utilizzando gli sviluppi 6 e 1: e x 1 + log1 x x 6 + ox. Possiamo quindi concludere che 1 + x + x + x 6 + ox 1 e x 1 + log1 x tan x x x + x x x + ox 6 + ox x 1 +. ox. Sviluppiamo il numeratore al quarto ordine; tenendo conto degli sviluppi 6 e si ha e x cos x x 1 + x + x4 + ox4 1 x + x4 4 + ox4 x 11 4 x4 +ox 4. Quindi e x cos x x x x4 + ox 4 x

10 . Dallo sviluppo si ha: 1 + x x4 + ox 4 1 x 4 + ox 4. Calcoliamo ora lo sviluppo al quarto ordine della funzione a numeratore. Ricordando lo sviluppo di McLaurin dell arcotangente: arctan x x x + x5 5 x7 xn n 7 n oxn+1, 11 e gli sviluppi 1 e 6, abbiamo: log1 + x arctan x + 1 e x log 1 + x x 1 x + ox x + 1 x4 + ox 4 log 1 + x 1 x4 + ox 4 x 1 x4 + ox 4 Concludiamo che: x 1 x4 1 x 1 x4 x 1 x4 + ox x 4 + ox 4 4 x4 + ox 4. log1 + x arctan x + 1 e x 1 + x 4 1 4x 4 + ox4 x 4 + ox Il ite è della forma x + x gx, dove gx x log 1 + sin x 1. Bisogna innanzitutto studiare il comportamento della funzione gx per capire se ci troviamo di fronte a una forma indeterminata del tipo. Con la sostituzione t 1/x ci riconduciamo a studiare la funzione ht g1/t log1 + sin t t per t 0. Otteniamo si tenga presente l esercizio.1: per cui log1 + sin t t t t + ot t 1 t 1 + o1 t 0, x log 1 + sin 1 x 1 + o1 x +. x Questo risultato ci dice che effettivamente x gx è una forma indeterminata del tipo e nello stesso tempo ci fornisce lo strumento per risolverla; infatti si ha: x x log 1 + sin 1 x x x + x + o1 x + x + + o Sviluppiamo la funzione al denominatore ed eseguiamo alcuni passaggi algebrici: 5 1+tan x tan x 1 e tan x log cos x x 10 + x + ox. ox

11 Dagli sviluppi 10 e 6 si ha: tan x x + ox x + ox, Concludiamo che e tan x log 5 1 e x log 5+ox 1 x log 5 + ox. 5 1+tan x 5 x log 5 + ox 10 1 cos x x + ox 10 log 5. Esercizio 6 1. Utilizzando gli sviluppi e 6 otteniamo cosx e x 1 x + x4 + ox 4 1 x + x + x + x4! 4!!! 4! 1 x + x4 + ox 4 1 x + x 4 x + x4 + ox 4 + ox 4 1 x + x 4 x + x4 x + 4x 4x 4 + x4 + ox 4 1 x + 8 x 8 x4 + ox 4.. cosx e x x x sinx x + ox 8 x x + ox x + ox x + ox 8. Esercizio 7 1. Utilizzando gli sviluppi 4 e otteniamo fx x x 1! x x + ox x x x 1 6 x x + x + 1 x + ox 1 x + ox 1 x x 0. { x 1 } 8 x + ox Dunque f è un infinitesimo di ordine per x 0 con parte principale 1 x.. Poichè manca il termine in x nello sviluppo di Mc Laurin di f, si ha f 0 0. Inoltre f 0! coefficiente di x 1, f 0. Evidentemente x 0 è un punto critico per f cioè f 0 0. Per stabilirne la natura ricordiamo il seguente risultato ricerca dei massimi, dei minimi e dei flessi con il metodo delle derivate successive: se in un punto x 0 si ha f x 0 0 f x 0 f n 1 x 0, f n x 0 0 con n cioè se in x 0 si annullano tutte le derivate fino all ordine n 1 mentre la derivata n-esima è diversa da zero allora

12 se n è pari, x 0 è un punto di minimo relativo se f n x 0 > 0, di massimo relativo se f n x 0 < 0; se n è dispari, x 0 è un punto di flesso a tangente orizzontale e ascendente se f n x 0 > 0, discendente se f n x 0 < 0. Nel nostro caso abbiamo n e dunque x 0 è un punto di flesso. Esercizio 8 1. Utilizzando gli sviluppi 1 e 10 otteniamo log1 + tan x log 1 + x + x + ox x + x 1 x + x + 1 x + x + ox x + x 1 x + 1 x + ox x 1 x + x + ox.. Si ha fx log1 + tan x x + 1 x x + ox x x 0. Quindi f è un infinitesimo del terzo ordine per x 0, con parte principale x.. Si ha f 0 0, f 0 0, f 0! 4 > 0, quindi x 0 è un punto di flesso ascendente a tangente orizzontale. Esercizio 9 1. Utilizzando gli sviluppi 6 e 11 otteniamo e arctan x x x e +ox 1 + x x + 1! x x + 1! 1 + x x + x + x 6 + ox 1 + x + 1 x 1 6 x + ox.. Utilizzando lo sviluppo otteniamo x x + ox 1 + x 1/ x 1 8 x x + ox 1 + x 1 x + 1 x + ox.

13 . Si ha fx 1 + x + 1 x 1 6 x + ox 1 + x 1 x + 1 x + ox x x + ox x + ox x x 0. Quindi f è un infinitesimo di ordine per x 0, con parte principale x. Esercizio Utilizzando gli sviluppi 4 e 6 otteniamo fx sinx e x x 1! x + ox x + x! x 4 x + ox x + x + 4 x + ox x + 4x + 4x + 8 x4 4 x 8 x4 + ox 4 x + 4x + 8 x + ox 4. + x! + ox. Poichè manca il termine in x 4 nello sviluppo di Mc Laurin di f, si ha f Dallo sviluppo 10 si ha: tan x x + x / + ox 4, e quindi sinx e x tanx 4x x 4 x + 4x + 8 x x 8 x 4x + ox 4 x 4 ox 4 x 4 0 per la definizione di o-piccolo. Non è dunque necessario calcolare la parte principale del numeratore sviluppando al quinto ordine ai fini del calcolo del ite.