Anno 1. Frazioni algebriche: definizione e operazioni fondamentali

Transcript

1 Anno Frazioni algebriche: definizione e operazioni fondamentali

2 Introduzione In questa lezione introdurremo il concetto di frazione algebrica. Al termine di questa lezione sarai in grado di: definire il concetto di frazione algebrica svolgere le operazioni algebriche fondamentali In questa lezione introdurremo il concetto di frazione algebrica. Al termine di questa lezione sarai in grado di: definire il concetto di frazione algebrica; svolgere le principali operazioni algebriche con le frazioni.

3 Frazione algebrica: definizione Per frazione algebrica si intende una frazione in cui al denominatore sia presente un polinomio. Esempio: ) Frazione numerica: ) Frazione algebrica: Caratteristiche: Da un punto di vista algebrico le frazioni algebriche si comportano come frazioni numeriche. La frazione algebrica esiste per tutti i valori della che non annullano il denominatore. L insieme di tali valori si dice campo di esistenza della frazione. Per frazione algebrica si intende una frazione in cui al denominatore sia presente un polinomio. Ad esempio ¾ è una frazione numerica. invece è una frazione algebrica. Adesso introduciamo le principali caratteristiche delle frazioni algebriche. Da un punto di vista algebrico esse si comportano come frazioni numeriche. Dato che non può esistere una frazione con zero al denominatore, dobbiamo sempre ricordare che la frazione algebrica esiste per tutti i valori della che non annullano il denominatore. L insieme dei valori della per cui il denominatore è non nullo si dice campo di esistenza della frazione algebrica.

4 Frazioni algebriche equivalenti Due o più frazioni algebriche si dicono equivalenti se una volta semplificati numeratore e denominatore esse risultano identiche. Dimostriamo assieme che le due frazioni sono equivalenti: ) Scomponiamo in fattori il numeratore e denominatore della prima frazione: ) Semplifichiamo l espressione eseguendo e si ottiene: ) Quindi le due frazioni sono equivalenti. Due o più frazioni si dicono equivalenti se una volta eseguite le operazioni di semplificazione del numeratore e del denominatore esse risultano identiche. Facciamo un esempio e dimostriamo che le frazioni le frazioni e sono equivalenti. Scomponiamo in fattori il numeratore e denominatore della prima frazione: +)-)/+). Semplifichiamo l espressione eliminando il polinomio + presente sia al numeratore che al denominatore: -/+. Quindi appare chiaro che le due frazioni ora sono identiche.

5 Frazioni algebriche: addizione e sottrazione Addizione e sottrazione: valgono le stesse regole delle frazioni numeriche Calcoliamo insieme: ) Innanzitutto calcoliamo il m.c.m. dei polinomi presenti nei tre denominatori. Dato che ++= +)+) esso è il m.c.m. ) Eseguiamo la somma e la differenza come nel caso di frazioni numeriche: ) Esplicitando i prodotti nel numeratore e ordinando il polinomio che si ottiene al numeratore) si ha: ) Quindi: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Adesso introduciamo l addizione e la sottrazione fra frazioni algebriche tenendo presente che valgono le stesse regole delle frazioni numeriche. Semplifichiamo la seguente espressione contenente addizioni e sottrazioni tra frazioni algebriche:. Calcoliamo il m.c.m. dei polinomi presenti al denominatore e costruiamo una nuova frazione avente il m.c.m. come denominatore: +)+). Poi dividiamo il m.c.m. per il denominatore della prima frazione e moltiplichiamo il risultato ) per il numeratore della prima frazione; inseriamo il risultato al numeratore della nuova frazione. Eseguiamo questa procedura per tutte e tre le frazioni e otteniamo l'espressione. Sviluppando poi i prodotti al numeratore, eseguendo le addizioni fra monomi simili e ordinando il polinomio così ottenuto si ottiene il risultato finale: ) ).

6 Frazioni algebriche: moltiplicazione e divisione Moltiplicazione e divisione: valgono le stesse regole delle frazioni numeriche Calcoliamo insieme: ) Osserviamo che la divisione fra due frazioni può trasformarsi in un prodotto la prima per l inversa della seconda), quindi: ) Scomponiamo in fattori in pratica solo nella prima frazione) ) Semplificando ed eseguendo i prodotti si ottiene: : Adesso introduciamo la moltiplicazione e la divisione. Semplifichiamo la seguente espressione tenendo conto che valgono le stesse proprietà delle frazioni numeriche: -/ ++ -/+ -/+. Innanzitutto trasformiamo la divisione in moltiplicazione. Infatti dividere una frazione per un altra significa moltiplicare la prima per l inversa della seconda. Una volta trasformate le divisioni in moltiplicazioni, osserviamo che il prodotto di due o più frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Scomponiamo in fattori la prima frazione per permettere delle semplificazioni: -)/ -/+ /-. Dopo avere semplificato, moltiplichiamo tra loro i denominatori e i numeratori: -) /+)-)= -+/ +-.

7 7 Frazioni algebriche: elevamento a potenza Elevamento a potenza: valgono le stesse regole delle frazioni numeriche Calcoliamo insieme: ) Osserviamo che la potenza di una frazione è una frazione avente per numeratore e denominatore le potenze dei numeratori e denominatori dati e cioè: ) Eseguiamo le potenze e si ottiene: 9 Completiamo le operazioni con le frazioni algebriche con l elevamento a potenza. Anche in questo caso valgono le stesse proprietà delle frazioni numeriche. Adesso svolgiamo assieme il quadrato della frazione -/+). Osserviamo che la potenza di una frazione è una frazione che ha per numeratore la potenza del numeratore e come denominatore la potenza del denominatore. Sviluppiamo i quadrati a numeratore e al denominatore, ottenendo ++/ ++9.

8 Frazioni algebriche: campo di esistenza Vediamo come si determina il campo di esistenza di un frazione algebrica. Calcoliamo insieme il campo di esistenza della frazione: Il campo di esistenza C.E.) è l insieme dei numeri reali che non annullano il denominatore. In questo caso dato che ++=+)+) è facile osservare che il denominatore si annulla per = - e = -. In questo caso scriviamo: C. E. R:, E si legge: il campo di esistenza è dato da ogni appartenente ai numeri reali tale che sia diverso da - e da -. In quest ultima pagina facciamo un esempio di campo di esistenza di una frazione algebrica. Ricordiamo che è solo un cenno e che tale concetto sarà approfondito durante lo studio delle funzioni. Svolgiamo il seguente problema: determiniamo il campo di esistenza della frazione +/ ++. Il campo di esistenza è l insieme dei valori che la variabile può assumere nell insieme di numeri reali senza annullare il denominatore. In maniera più semplice possiamo dire che il campo di esistenza è dato dall insieme dei numeri reali privato delle radici del polinomio che sta al denominatore. Il denominatore è un trinomio particolare di secondo grado e lo possiamo scomporre nella forma +)+). Dato che un prodotto è nullo solo se è nullo uno dei suoi fattori, il denominatore si annulla = o =. Quindi il campo di esistenza è dato da ogni valore di appartenente all insieme dei numeri reali che sia diverso da - e da -.

9 Conclusione Frazioni Algebriche Frazioni algebriche equivalenti Campo di esistenza Somma, differenza Prodotto e divisione Elevamento a potenza Adesso ripercorriamo le tappe del nostro percorso. Abbiamo introdotto il concetto di frazione algebrica abbiamo visto quando due frazioni si dicono equivalenti e cos è il loro campo di esistenza. Infine abbiamo introdotto l addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione e l elevamento a potenza. 9