2 + 4 x 4 ) Soluzione Occorre calcolare l integrale della somma di più funzioni. Applichiamo il teorema di linearità, in base al quale si ha: dx =

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1 CAPITOLO 1 Integrali 1.1 Integrali indefiniti Esercizi svolti 1 Calcolare: ( ) d Occorre calcolare l integrale della somma di più funzioni. Applichiamo il teorema di linearità, in base al quale si ha: [αf() + βg()] d = α f() d + β g() d Possiamo quindi scrivere ( ) 4 = 3 3 d + 5 d d = 3 3 d + 5 d = 1 d 1 d d + 4 d = 3 d d (1) (1) Si ricordi che n m = m n, 1 n = n e 1 n m = m n.

2 1 Capitolo 1. Integrali Ora possiamo calcolare la primitiva di ciascuna delle funzioni assegnate, applicando la regola di integrazione delle funzioni potenza () : n d = n+1 + c per n 1 n d = ln + c ( ) d = ln c Calcolare il seguente integrale indefinito: sen 3 cos d L integrale è riconducibile alla tipologia (3) : f () f n () d = 1 n + 1 [f()]n+1 + c (n 1) sen }{{ 3 } cos }{{ } d = 1 4 sen4 + c f n () f () 3 Calcolare il seguente integrale indefinito: e e + 1 d () La tabella delle primitive di alcune funzioni elementari è contenuta nella tabella 1 dell appendice A. (3) Nella tabella sono contenute alcune formule di sostituzione immediata (casi più frequenti).

3 1.1. Integrali indefiniti 13 L integrale è riconducibile alla tipologia: f () d = ln f() + c f() Se calcoliamo però la derivata del denominatore, abbiamo: f () = e Occorre quindi moltiplicare e dividere per l integrale: 1 e e + 1 d = 1 ln(e + 1) + c 4 Calcolare il seguente integrale indefinito: 3 e 4 d L integrale è riconducibile alla tipologia: f ()e f() d = e f() + c Come nel caso precedente, se calcoliamo la derivata dell esponente otteniamo: f () = 4 3 Occorre quindi moltiplicare e dividere per 4 l integrale, ottenendo: e 4 d = 1 4 e4 + c 5 Calcolare il seguente integrale indefinito: + d

4 14 Capitolo 1. Integrali Questo integrale risulta complicato dalla presenza di + al denominatore della funzione integranda. Possiamo utilizzare il metodo d integrazione per sostituzione per semplificare tale funzione. Poniamo quindi: + = t Ricaviamo: = t Ricordiamo inoltre che, se abbiamo = g(t) allora che nel nostro caso equivale a: d = g (t) dt d = t dt Pertanto: t d = t dt + t = t dt ( = t dt ( ) t 3 = 3 t + c ) dt Torniamo ora alla variabile : d = ( + ) c = ( + ) c 6 Calcolare il seguente integrale indefinito: n ln d (per n 1)

5 1.1. Integrali indefiniti 15 Applichiamo il metodo di integrazione per parti: u() v () d = u() v() u () v() d n ln v () u() d = n+1 n+1 n + 1 ln n d = n+1 n + 1 ln 1 n + 1 n d = n+1 n + 1 ln 1 n + 1 n+1 n c = n+1 n + 1 ln n+1 (n + 1) + c 7 Calcolare il seguente integrale indefinito: sen d Applichiamo nuovamente il metodo di integrazione per parti (per due volte): u() v () d = u() v() u () v() d u() sen }{{ } d = sen cos }{{ } d v () v () u() [ = sen + sen ] sen d = sen + sen + cos + c

6 16 Capitolo 1. Integrali In alternativa, è possibile usare il metodo detto tabular integration che consente di calcolare integrali di questo tipo in modo più rapido (4). Il primo passo della procedura, dopo aver scelto come prima u() e v (), consiste nel costruire una tabella nella quale si inseriscono, rispettivamente, u() nella prima colonna (D) e v () nella seconda (I). Si deriva poi la u() fino ad ottenere 0 come valore della derivata e si integra v () per altrettante volte: D I sen cos sen 0 cos Il secondo passo consiste nell inserire, davanti alla prima colonna, una colonna contenente alternativamente i segni + e, partendo dal segno +: Segno D I + sen cos + sen 0 cos Infine, si moltiplica ogni elemento della prima colonna (fino alla penultima riga) per l elemento della seconda colonna (appartenente alla riga successiva), seguendo le frecce, e si ottiene il risultato finale: (4) Il metodo proposto semplifica notevolmente la risoluzione dell integrale se la funzione integranda è espressa sotto forma di prodotto di un polinomio di grado n per una funzione esponenziale o trigonometrica.

7 1.1. Integrali indefiniti 17 Segno D I + sen cos + sen 0 cos Quindi sen d = cos + sen + cos + c 8 Calcolare il seguente integrale indefinito: 3 e d Anche in questo caso, possiamo applicare nuovamente il metodo di integrazione per parti (per tre volte): 3 e u() v () d = ( ) e + c In alternativa, applicando il metodo di tabular integration, otteniamo: Segno D I + 3 e 3 e + 6 e 6 e + 0 e

8 18 Capitolo 1. Integrali Quindi 3 e d = ( ) e + c 9 Calcolare: d La funzione integranda è razionale fratta. Inoltre, il polinomio al numeratore è di grado superiore a quello del denominatore, quindi possiamo utilizzare il metodo della divisione tra polinomi: D() {}}{ //+ 3 // Q() //+8 7 Sappiamo che: //+5 6 R() N() R() = Q() + D() D() quindi possiamo riscrivere l integrale come: ( 1 d = = ) 5 6 d d } {{ } I Calcoliamo ora l integrale I, usando il metodo della decomposizione in frazioni parziali. Scomponiamo innanzitutto il denominatore in fattori primi: = 5 6 ( 1)( 3)

9 1.1. Integrali indefiniti 19 Il denominatore ha radici reali e distinte, quindi la frazione può essere scomposta come segue: 5 6 ( 1)( 3) = A 1 + = B A( 3) + B( 1) = 3 ( 1)( 3) A 3A + B B ( 1)( 3) In base al principio di identità dei polinomi, abbiamo: { { A + B = 5 A = 1 3A B = 6 B = 49 I = = d = 1 ln Abbiamo pertanto: ln 3 10 Calcolare il seguente integrale indefinito: d = 1 49 d + 1 (A + B) 3A B ( 1)( 3) 1 3 d d = ln 1 + ln 3 + c Il denominatore della frazione proposta è il quadrato del binomio ( 1). Il denominatore ha in questo caso radici reali e coincidenti. Procediamo come nel caso precedente alla scomposizione in frazioni parziali: ( 1) = A 1 + B ( 1) = A A + B ( 1) Applichiamo come prima il principio di identità dei polinomi, ottenendo: { { A = 4 A = A + B = 1 B = d = ( 1) d

10 0 Capitolo 1. Integrali = ln ( 1) d 3 = ln 1 ( 1) + c In alternativa, è possibile usare il metodo di sostituzione, ponendo: L integrale diventa quindi: 1 = t = 1 t + 1 d = 1 dt ( ( 1) d = t + ) = 1 t dt + 3 = ln 1 11 Calcolare il seguente integrale indefinito: t dt = 1 t + 3 t dt d t dt = ln t 3 t + c 3 ( 1) + c Occorre innanzitutto scomporre in fattori primi il denominatore. Possiamo utilizzare anche in questo caso la regola di Ruffini. Il denominatore ammette sicuramente come divisore il binomio (+1), quindi si ha: Pertanto risulta: d = 3 ( + 1)( 4 + 4) d = 3 ( + 1)( ) d