ANNO ACCADEMICO 2015/2016 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA - I appello, 6/6/2016

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1 ANNO ACCADEMICO 05/0 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA - I appello, //0 Esercizio. Le carte di un mazzo da 0, composto solo delle carte da a 5, vengono distribuite (5 a testa) ai quattro giocatori A, B, C, D. () Dire se la probabilità che le carte del giocatore A siano tutte dello stesso colore è superiore al %. () Dire se gli eventi: le carte di A sono tutte dello stesso colore e B ha l asso di cuori sono indipendenti. () Sia X la variabile aleatoria che vale se A ha l asso di cuori e vale 0 altrimenti; Esercizio. scrivere la legge di X, calcolarne la media e la varianza. Sia f : R R una funzione polinomiale di grado e tale che + f() =. Si consideri la funzione g : R R definita da f() + f(). () Determinare l insieme dei punti in cui g è continua, l insieme dei punti in cui g è derivabile e in tali punti calcolare la derivata di g in funzione di f e f () dire se g ammette sempre almeno uno zero. () determinare gli asintoti di g. () dire se si può scegliere f in modo tale che g sia monotona. Esercizio. Calcolare i seguenti iti: 0 e sen ; Esercizio. Calcolare l integrale improprio: + arctg( ). + d + +.

2 Esercizio. SOLUZIONI () Sia E l evento le carte di A sono tutte dello stesso colore ; la probabilità di E è: P (E) = ( dunque la probabilità di E è superoiore al %. ) = 0.0 () Sia nuovamente E l evento le carte di A sono tutte dello stesso colore e sia F l evento B ha l asso di cuori. Gli eventi E e F sono indipendenti se e solo se P (E F ) = P (E)P (F ). La probabilità di F è: P (F ) = L evento E F è unione disgiunta di due eventi G = le carte di A sono tutte rosse e B ha l asso di cuori e G = le carte di A sono tutte nere e B ha l asso di cuori. La probabilità di G è: mentre la probabilità di G è: Si ha dunque (E F ) = P (G ) + P (G ) = e pertanto gli eventi E e F sono indipendenti. = P (E)P (F ) () Sia G l evento A ha l asso di cuori, si ha P (G) =. La legge di X è la funzione di probabilità discreta p() con {0, } dove p(0) = P (X = 0) = P (G c ) = = p() = P (X = ) = P (G) = Si tratta quindi di una v.a. semplice di tipo Bernoulli con p =, per cui vale: E[X] = p =, Var(X) = p( p) =.

3 Esercizio. () La funzione g è definita su tutto R poichè il radicando + f() è somma di quadrati e dunque sempre strettamente positivo. La funzione g è continua in R perchè composizione e prodotto di funzioni continue. Inoltre, la funzione g è derivabile in R perchè composizione e prodotto di funzioni derivabili (la funzione radice quadrata è non derivabile solo nei punti che annullano il radicando). L espressione di g () è: per ogni R. g () = f () ( + f() ) / () Osserviamo prima di tutto che è possibile esprimere la funzione polinomiale f come f() = a + b + c + d, dove a, b, c, d R e a > 0. Dunque + f() = (vedi testo esercizio) e inoltre f() = +. Per il teorema della permanenza del segno esiste M R, con M > 0, tale che per ogni > M si ha f() < 0 e analogamente per ogni < M si ha f() > 0. Esprimiamo ora la funzione g come f() f() + f() Allora per ogni > M abbiamo + f() da cui g() < 0. In particolare avremo g(m + ) < 0. Analogamente, per ogni < M + f() da cui g() > 0. In particolare avremo g( M ) > 0. Applicando il teorema di Weierstrass alla funzione continua g sull intervallo [ M, M +] possiamo concludere che g ammette sempre almeno uno zero in R. () La funzione g non ammette asintoti verticali. Per quanto riguarda gli asintoti orizzontali calcoliamo ± g(). Ricordando dal punto () che + f() = e f() = +, e che + f() per

4 > M e + f() per < M otteniamo: f() = + f() La funzione g ammette asintoti orizzontali y = ±. () Dall espressione g () = f () ( + f() ) / = deduciamo che g () e f () sono concordi per ogni R. Allora scegliendo, ad esempio, f tale che f () > 0 per ogni R abbiamo che anche g () > 0 per ogni e quindi g è strettamente crescente. Si può prendere ad esempio f() = +. Esercizio. Il primo ite sfrutta i iti notevoli 0 sen 0 e sen = e 0 e sen = e 0 e = : sen e sen = Nel secondo ite si ha una forma indeterminata per l argomento di arctg: = + + Allora procediamo nel modo seguente: arctg( ) = + = arctg ( )( ) = arctg ( = arctg + ) ) + ( / ( = arctg / + ) = π Esercizio. Iniziamo calcolando una primitiva di +. Con la sostituzione + t = ci si riconduce a: t t + t + dt.

5 Applicando il metodo standard per la risoluzione degli integrali di funzione razionale si verifica che questo integrale indefinito è uguale a: log(t + t + ) arctg Quindi una primitiva di + + è la funzione: log( + + ) arctg ( (t + ) ) + c, c R. ( ( + ) ) e applicando la definizione di integrale improprio si verifica che l integrale richiesto è uguale a +. 5