Analisi Matematica I

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1 Università di Pisa - orso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura Analisi Matematica I Pisa, settembre omanda La funzione f : R R definita da f(x) = x + e x A) non è né iniettiva né surgettiva ) è iniettiva ma non surgettiva ) è surgettiva ma non iniettiva ) è bigettiva omanda La funzione f : R R definita da f(x) = xe x A) ha sia massimo che minimo ) è itata inferiormente ma non ha minimo ) ha minimo ma non ha massimo ) non ha né massimo né minimo omanda 3 x + 3 (x ) 4 3 x log x = A) + ) ) 4 3 ) 3 omanda 4 n + n = n A) ) + ) 4 ) omanda 5 La successione a n = (n + cos n) sin n A) non ha ite ma è itata ) non ha ite e non è itata ) ha ite finito ) è itata inferiormente ma non superiormente

2 omanda 6 π x x (sin x) dx A) converge ) non esiste ) diverge negativamente ) diverge positivamente omanda 7 La funzione F : R R definita da F (x) = e (t3) dt x A) è concava in tutto R ) è convessa in tutto R ) ha un punto di flesso per x = ) ha un punto di flesso per x = omanda x x x dx A) converge ) diverge positivamente ) diverge negativamente ) non esiste A omanda 9 La serie n ( ) n n n A) converge semplicemente ma non assolutamente ) converge assolutamente ) diverge positivamente ) diverge negativamente A omanda La serie n e (n ) n 3n A) converge assolutamente ) converge semplicemente ma non assolutamente ) diverge positivamente ) è indeterminata codice 5547

3 Università di Pisa - orso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura Analisi Matematica I Pisa, settembre omanda A) 4 ) 4 3 n ) ) + ( 3 n 3 ) n + 3 n = omanda π x x (sin x) dx A) converge ) diverge positivamente ) non esiste ) diverge negativamente omanda 3 La funzione f : R R definita da f(x) = x + e x A) è iniettiva ma non surgettiva ) è bigettiva ) è surgettiva ma non iniettiva ) non è né iniettiva né surgettiva omanda 4 La funzione F : R R definita da F (x) = e (t3) dt x A) ha un punto di flesso per x = ) è concava in tutto R ) ha un punto di flesso per x = ) è convessa in tutto R omanda 5 A) 4 3 ) 3 ) ) + x + 3 (x ) 4 3 x log x =

4 omanda 6 n + n = n A) ) + ) 4 ) A omanda x x x dx A) diverge negativamente ) non esiste ) converge ) diverge positivamente omanda 8 La funzione f : R R definita da f(x) = xe x A) non ha né massimo né minimo ) ha sia massimo che minimo ) è itata inferiormente ma non ha minimo ) ha minimo ma non ha massimo omanda 9 La funzione f : (, ) R definita da f(x) = tan(arcsin x) A) non è né iniettiva né surgettiva ) è iniettiva ma non surgettiva ) è surgettiva ma non iniettiva ) è bigettiva omanda La successione a n = (n + cos n) sin n A) è itata inferiormente ma non superiormente ) non ha ite e non è itata ) non ha ite ma è itata ) ha ite finito codice II anno

5 Università di Pisa - orso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura Analisi Matematica I Pisa, settembre (ognome) (Nome) (Numero di matricola) Esercizio (Solo I anno) eterminare i valori del parametro α R per i quali la serie (α 4) n+ converge o converge assolutamente. n n 5 n Soluzione Vediamo prima la convergenza assoluta. Utilizziamo il criterio della radice n (α 4) n+ n n 5 n = α 4 n α 4 α 4 =. n 5 n 5 La serie convergerà assolutamente se cioè se α 4 5 < α 4 < 5 < α < 9. Sempre dal criterio della radice otteniamo che la serie non converge assolutamente se α < oppure se α > 9. Per α = e α = 9 la serie dei valori assoluti diventa che diverge. n 5 n+ n 5 = 5 n n n Per quanto riguarda la convergenza semplice, è implicata dalla convergenza assoluta se < α < 9. Se α = la serie diventa n ( 5) n+ n 5 n = n ( ) n+ 5 n che converge per il criterio di Leibniz, dato che la successione 5 n α = 9 la serie invece diventa (5) n+ = 5 n 5 n n n n è decrescente e infinitesima. Se

6 che diverge. Per i valori di α < oppure α > 9 viene a mancare la condizione necessaria quindi la serie non converge. (α 4) n+ = n n 5 n Esercizio Studiare la funzione x + f(x) = x determinandone insiemi di definizione, continuità e derivabilità, massimo e minimo oppure estremi superiore e inferiore, asintoti orizzontali, verticali e obliqui, punti di massimo o minimo locali e intervalli di convessità. Soluzione La funzione è definita per ogni x e in tutto l insieme di definizione è continua e derivabile perché è composizione e prodotto di funzioni continue e derivabili. A tal proposito si deve osservare che la funzione radice quadrata non è derivabile quando l argomento vale, ma x + > per ogni x, quindi, in questo caso la composizione di funzioni è derivabile. Osserviamo anche che la funzione è dispari. onsideriamo ora i iti. f(x) = x + = + + x + f(x) = x =. x + x + x ata la simmetria della funzione otteniamo subito che f(x) = x f(x) =. x a questi risultati deduciamo che la f non ha nè massimo nè minimo e che inf(f) = sup(f) = +. Inoltre la funzione ha un asintoto verticale di equazione x =, un asintoto orizzontale di equazione y = per x + e un altro asintoto orizzontale di equazione y = per x. ata la presenza degli asintoti orizzontali, non ci sono asintoti obliqui. Vediamo ora la derivata. f (x) = 4x x + x x + x = x x +. Il segno della derivata è sempre strettamente negativo, quindi la funzione è strettamente decrescente sulle semirette (, ) e (, + ). Non ci sono punti di massimo o minimo locali. Per la convessità, calcoliamo la derivata seconda. f (x) = x x + + x 4x x + x 4 (x + ) = (3x + ) x 3 (x + ) 3/.

7 Lo studio del segno è immediato e risulta che f (x) < x <, f (x) > x > quindi f è concava sulla semiretta (, ) e convessa sulla semiretta (, + ). Esercizio 3 alcolare l integrale definito x x 3 + x dx. Soluzione Osserviamo che x 3 cambia segno per x = quindi x x 3 + x dx = x x 3 x dx + x x 3 + x dx. alcoliamo separatamente i due integrali. x 9 dx = 3 Eseguendo la sostituzione x 3 = t otteniamo [ x x 3 dx = 3 3 ] =. x x dx = 8 t + 9 dt = 3 3 [ 3 (t + ] 8 9)3/ = ( 5 3/ 9 3/) = 9 9 ( ) = L integrale cercato si ottiene sommando i due risultati, quindi vale 7 9.