Analisi Matematica 1 - a.a. 2017/ Primo appello

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1 Analisi Matematica - a.a. 7/8 - Primo appello Soluzione del test Test A C E E C D E A B B D Test B A A B E B B C D E A Test C B D C A E D E C D C Test D E C A D A C B B A E Soluzione della parte di esercizi del Tema Esercizio Studiare la funzione f definita da f(x) = ln e x e x. Dominio, simmetrie, segno, continuità, eventuali asintoti, derivabilità e studio di eventuali punti di non derivabilità, monotonia, eventuali punti di estremo relativo e assoluto, studio della derivata seconda, intervalli di convessità e concavità, eventuali punti di flesso, abbozzo del grafico] Dominio. Deve essere e x e, e quindi x. Allora domf = R\{}. Simmetrie. Poiché il dominio di f non è simmetrico rispetto a x =, f non ha simmetrie. Segno. e quindi f(x) ln e x e x e x e e x, f(x) e x e e x o e x e e x.. Vediamo la prima, e x e e x. Se x, si ottiene e, che non è mai verificata. Se x <, si ottiene e x e e x, che non è mai verificata perché e x e < e e x >.

2 . Vediamo la seconda e x e e x. Se x, si ottiene Se x <, si ottiene e x e e x e x e x ln. e x e e x e 4x e e x +. Risolvendo la disequazione t e t+ e tenendo conto che x <, si ottiene che ( e x e e x ln e ) e 4 4 x <. Allora f(x) ln ( e ) e 4 4 x ln. In particolare f(x) = x = ln ( e ) e 4 4 o x = ln. Continuità. Essendo differenza e composizione di funzioni continue, f è continua nel suo dominio. Asintoti. Si ha f(x) =, x e quindi la retta di equazione x = è asintoto verticale per f. Vediamo i iti all infinito. f(x) = ln e x ( e x ) x ] = x + x + x + ln( e x ) =, e quindi l asse delle ascisse è asintoto orizzontale per f a =. Invece, ( f(x) = ln e e x) +x ] =. x x Ricerchiamo asintoti obliqui a. Si ha f(x) + x x = ln( e e x) ] =, x x f(x) x = ln( e e x) =, x x e quindi la retta di equazione y = x+ è asintoto obliquo a per f. Si osservi che e e 4 4 < perché si verifica facilmente che e < e 4 4.

3 Derivabilità. Poiché le funzioni valore assoluto non è derivabile in x =, a priori non possiamo derivare f nell origine. Per x si ottiene f e x ] (x) = e x e sgnx. Allora x +f (x) = x + x f (x) = x e quindi x = è punto angoloso. Intervalli di monotonia. Per x > si ha e x ] e x e = e e = f +(), e x ] e x e + = e e = f (), f (x) Per x < si ha e x e x e e e x x >. e f (x) che è sempre verificata per x <. Allora f è crescente in ],] e in ],+ ; f è decrescente in,; e x e x e + ex e e x e ex e, f ha un punto di massimo assoluto in x =, mentre non ha punti di minimo. Derivata seconda e intervalli di convessità/concavità. f è derivabile due volte per x, x domf. In tali punti si ha e x f (x) = 4e (e x e < x domf, x. ) Allora, essendo anche f () > f +(), f è concava in ], e in ],+, e non presenta punti di flesso. Un abbozzo del grafico è riportato in figura. Esercizio Calcolare l integrale e x (e x +)(e 4x +4) dx. 3

4 Figura : Il grafico della funzione dell esercizio del tema (gli assi hanno scale diverse) Con il cambio di variabile t = e x si ottiene Troviamo A,B,C R tali che da cui e quindi Esercizio 3 e x (e x +)(e 4x +4) dx = e (t+)(t +4) dt. (t+)(t +4) = A t+ + Bt+C t +4 = (A+B)t +(B +C)t+4A+C (t+)(t, +4) A+B = B +C = 4A+C = e x (e x +)(e 4x +4) dx = e ( 6 = 6 = 6 A = /8 B = /8 C = /4, t+ t t +4 ) dt ln(t+) ln(t +4)+arctan t ln 5(e +) 3 e 4 +4 Al variare di α R studiare il carattere della serie 4 n +e αn coshn. n= ] t=e t= +arctan e arctan ]. 4

5 Innanzitutto si osservi che la serie è a termini positivi. Dopodiché, si ha mentre, se α >, si ha cosicché Inoltre, è noto che n + n + 4 n = + α, eαn 4 n e nln4 = eαn n + e αn =, e αn = o(4 n ) per n + se α, 4 n = o(e αn ) per n + se α >. coshn en per n +. Allora la serie data converge se e solo se converge converge n= n= 4 n e n se α, e αn e n se α >. La seconda si riscrive n= e αn e n = n= ( ) e α n, e che converge se e solo se e α < e, cioè se e solo se α <. Per la prima, applicando il criterio asintotico della radica si ottiene 4 n/n = n + e e <, ed è quindi convergente. Allora la serie data converge se e solo se α <. Soluzione della parte di esercizi del Tema 3 Esercizio Studiare la funzione f definita da f(x) = x ln e x/ e. Dominio, simmetrie, segno, continuità, eventuali asintoti, derivabilità e studio di eventuali punti di non derivabilità, monotonia, eventuali punti di estremo relativo e assoluto, studio della derivata seconda, intervalli di convessità e concavità, eventuali punti di flesso, abbozzo del grafico] 5

6 Dominio. Deve essere e x/3 e, e quindi x 3. Allora domf = R\{3}. Simmetrie. Poiché il dominio di f non è simmetrico rispetto a x =, f non ha simmetrie. Segno. e quindi f(x) ln e x/ e x/ e x/ e e x/, f(x) e x/ e x/ e e x/.. Vediamo la prima, e x/ e e x/. Se x, si ottiene Se x <, si ottiene e x/ e e x/ e x/ e x ln. e x/ e e x/ e x/ ee x/ +. Risolvendo la disequazione t et+ e tenendo conto che x <, si ottiene che ( e x/ e e x/ e ) e x ln 4.. Vediamo la seconda e x/ e e x/. Se x, si ottiene e x/ e e x/, e quindi e, che è sempre verificata. Se x <, si ottiene e x/ e e x/, che ancora è sempre verificata perché per x < si ha e x/ e < e e x/ >. Allora f(x) x ln ( e ) e 4 o x ln, x 3. In particolare f(x) = x = ln ( e ) e 4 o x = ln. Continuità. Essendo differenza e composizione di funzioni continue, f è continua nel suo dominio. Asintoti. Si ha f(x) =, x e quindi la retta di equazione x = è asintoto verticale per f. Vediamo i iti all infinito. Si osservi che e e 4 f(x) = x + x + ln( e x/ ) =, < perché si verifica facilmente che e < e 4. 6

7 e quindi l asse delle ascisse è asintoto orizzontale per f a +. Invece, f(x) = +. x Ricerchiamo asintoti obliqui a. Si ha f(x) x x = ln( e e x/) ] x x f(x)+x/ = ln( e e x/) =, x x =, e quindi la retta di equazione y = x/ è asintoto obliquo a per f. Derivabilità. Poiché le funzioni valore assoluto non è derivabile in x =, a priori non possiamo derivare f nell origine. Per x si ottiene f (x) = sgnx ex/ e x/. e Allora (x) = ex/ e x +f x + e x/ = e ( e) = f + (), (x) = + ex/ x f x e x/ = e e (e ) = f (), e quindi x = è punto angoloso. Intervalli di monotonia. Per x > si ha f (x) ex/ e x/ e e e x/ x <. e Per x < si ha f (x) + ex/ e x/ e ex/ e e x/ e ex/ e, che non è mai verificata per x <. Allora f è crescente in,; f è decrescente in ],] e in ],+ ; f ha un punto di minimo assoluto in x =, mentre non ha punti di massimo. Derivata seconda e intervalli di convessità/concavità. f è derivabile due volte per x, x domf. In tali punti si ha e x/ f (x) = e 4(e x/ > x domf, x. e) Allora, essendo anche f () < f +(), f è convessa in ], e in ],+, e non presenta punti di flesso. Un abbozzo del grafico è riportato in figura. 7

8 Figura : Il grafico della funzione dell esercizio del Tema 3 (gli assi hanno scale diverse) Esercizio Calcolare l integrale e 3x (e 3x +3)(e 6x +9) dx. Con il cambio di variabile t = e 3x si ottiene Troviamo A,B,C R tali che da cui e quindi e 3x (e 3x +3)(e 6x +9) dx = 3 e 3 (t+3)(t +9) dt. (t+3)(t +9) = A t+3 + Bt+C t +9 = (A+B)t +(3B +C)t+9A+3C (t+)(t, +4) A+B = 3B +C = 9A+3C = e 3x (e 3x +3)(e 6x +9) dx = e 3( 54 = 54 = 54 A = /8 B = /8 C = /6, t+3 t 3 t +9 ) dt ln(t+3) ln(t +9)+arctan t 3 ln (e 3 +3) 4 e 6 +9 ] t=e 3 t= +arctan e3 3 arctan 3 ]. 8

9 Esercizio 3 Al variare di α > studiare il carattere della serie n= α n +4 n coshn. Innanzitutto si osservi che la serie è a termini positivi. Dopodiché, si ha mentre, se α >, si ha cosicché Inoltre, è noto che n + 4 n = + < α, αn 4 n n + α n = n + e nln4 =, enlnα α n = o(4 n ) per n + se < α, 4 n = o(α n ) per n + se α >. coshn en per n +. Allora la serie data converge se e solo se converge converge n= n= 4 n e n se < α, α n e n se α >. La seconda si riscrive n= α n e n = ( α e n= che converge se e solo se α < e, α >. Per la prima, applicando il criterio asintotico della radice si ottiene 4 n/n = n + e e <, ed è quindi convergente. Allora la serie data converge se e solo se α < e, α >. ) n, 9