Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Ingegneria Industriale

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1 Analisi e Geometria Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Docenti: P Antonietti, F Cipriani, F Colombo, F Lastaria G Mola, E Munarini, P Terenzi, C Visigalli Terzo appello, Settembre 9 Compito A Cognome: Matricola: Nome: Verificare la convergenza dell integrale improprio e calcolarlo Data l equazione differenziale x x dx y (t) = t ( + y(t) ) (a) determinare l integrale generale (b) Determinare la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale y() = (c) In questo caso, specificare l intervallo massimale di definizione della soluzione 3 Sia γ la curva di equazioni parametriche x = t y = cos t z = sin t t [, π] Calcolare la massa totale di γ rispetto alla densità lineare di massa δ(x, y, z) = x 4 Studiare la funzione f definita da f(x) = 3 e x (Dominio di f, eventuali simmetrie, limiti agli estremi del dominio, asintoti, f, dominio di f e classificazione dei punti di non derivabilità di f, punti di massimo e minimo, segno di f, zeri di f e punti di flesso, grafico di f ) Es Es Es 3 Es 4 Es Totale 7 punti 7 punti 4 punti punti 3 punti Punteggio minimo per superare la prova = 8 punti Tempo: due ore

2 Soluzione compito A Poiché la funzione integranda f(x) = x è positiva sull intervallo di integrazione x (, + ), è possibile utilizzare il criterio del confronto asintotico Poiché e f(x) (x ) / per x + (α = / < ) f(x) x x = x 3/ per x + (α = 3/ > ) si ha che f è integrabile in senso improprio su (, + ) Per calcolare l integrale, basta porre t = x Allora x = + t, dt = tdt e = = lim t + t + t( + t ) dt = + (t/ ) dt = arctan + t dt [ arctan t ] + t lim t + arctan t = π (a) L equazione data è a variabili separabili Non ci sono soluzioni particolari (poiché + y = non ha soluzioni) Separando le variabili e integrando, si ha y (t) + y(t) dt = t dt ossia arctan y(t) = t + c, da cui si ricava y(t) = tan(t + c), dove c è una costante reale arbitraria e t varia in un intervallo che dipende dalla condizione iniziale (b) Imponendo la condizione iniziale y() =, si ha tan c =, ossia c = π 4 Pertanto la soluzione è y(t) = tan(t + π 4 ) (c) La soluzione trovata esiste per t + π 4 < π, ossia per t π 4 <, ossia per ) π 4 < t < π 4 ( Quindi l intervallo su cui è definita la soluzione è π, π 3 Posto f(t) = (t, cos t, sin t), si ha f (t) = (t, sin t, cos t) e f (t) = + 4t Quindi la massa totale è M = π δ(f(t)) f (t) dt = π t + 4t dt = 8 π 8t + 4t dt = [ ( + 4t ) ] 3/ π = 4 ( + 6π ) 3/ 3/ 4 (a) Dominio di f : la funzione è definita su tutto R (b) Limiti agli estremi del dominio: 4 = ( + 8π ) 3/ 6 lim f(x) = e lim f(x) = + x x +

3 (c) Asintoti: la retta di equazione y = è un asintoto orizzontale Non esistono asintoti obliqui (d) Derivata prima: f (x) = 3 e x (e x ) /3 (e) Dominio di f e classificazione dei punti di non derivabilità: il dominio di f è dato da R\{}, f non è derivabile nel punto x = poiché lim x f(x) = +, e il punto x = è un flesso a tangente verticale (f) Segno di f : f (x) > per ogni x R \ {} (g) Punti di massimo e minimo: f non ha punti di massimo né di minimo (h) Derivata seconda: per ogni x R \ {} si ha f (x) = 4 9 (e x 3)e x (e x ) /3 (i) Segno di f e punti di flesso: si ha f (x) = per x = ln 3 e f (x) > per x (, ) (ln 3, + ) Quindi il punto x = ln 3 è un punto di flesso (j) Grafico di f :

4 Analisi e Geometria Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Docenti: P Antonietti, F Cipriani, F Colombo, F Lastaria G Mola, E Munarini, P Terenzi, C Visigalli Terzo appello, Settembre 9 Compito B Cognome: Matricola: Nome: Verificare la convergenza dell integrale improprio e calcolarlo Data l equazione differenziale x x dx y (t) = y(t) + (a) determinare l integrale generale (b) Determinare la soluzione del problema di Cauchy con condizione iniziale y() = (c) In questo caso, specificare l intervallo massimale di definizione della soluzione 3 Sia γ la curva di equazioni parametriche x = t y = cos t z = sin t t [, π] Calcolare la massa totale di γ rispetto alla densità lineare di massa δ(x, y, z) = x 4 Studiare la funzione f definita da f(x) = e 4x (Dominio di f, eventuali simmetrie, limiti agli estremi del dominio, asintoti, f, dominio di f e classificazione dei punti di non derivabilità di f, punti di massimo e minimo, segno di f, zeri di f e punti di flesso, grafico di f ) Es Es Es 3 Es 4 Es Totale 7 punti 7 punti 4 punti punti 3 punti Punteggio minimo per superare la prova = 8 punti Tempo: due ore

5 Soluzione compito B Poiché la funzione integranda f(x) = x è positiva sull intervallo di integrazione x (, + ), è possibile utilizzare il criterio del confronto asintotico Poiché e f(x) (x ) / per x + (α = / < ) f(x) x x = x 3/ per x + (α = 3/ > ) si ha che f è integrabile in senso improprio su (, + ) Per calcolare l integrale, poniamo t = x Allora x = + t, dx = tdt e = = lim t + t + t( + t ) dt = + (t/ ) dt = arctan t lim t + t dt [ arctan t ] + arctan t = π (a) L equazione è a variabili separabili Non ci sono soluzioni particolari (poiché + y = non ha soluzioni) Separando le variabili, si ha y (t) y(t) + dt = dt ossia arctan y(t) = t + c, da cui si ha y(t) = tan(t + c), dove c è una costante reale arbitraria e t varia in un intervallo che dipende dalla condizione iniziale (b) Imponendo la condizione iniziale y() =, si ha tan c =, ossia c = π 4 Di conseguenza la soluzione cercata è y(t) = tan ( t π 4 ) (c) ( La soluzione trovata è definita per π < t π 4 < π, ossia sull intervallo π 4, 3 4 π) 3 Posto f(t) = (t, cos t, sin t), si ha f (t) = (t, sin t, cos t) e f (t) = + t Quindi la massa totale è M = = 3 π δ(f(t)) f (t) dt = [ ( + t ) 3/ ] π = 3 π 4 (a) Dominio di f : la funzione è definita su tutto R (b) Limiti agli estremi del dominio: t + t dt = ( ( + π ) 3/ ) lim f(x) = e lim f(x) = + x x + (c) Asintoti: la retta di equazione y = è un asintoto orizzontale Non esistono asintoti obliqui

6 (d) Derivata prima: e 4x f (x) = 4 (e 4x ) 4/ (e) Dominio di f e classificazione dei punti di non derivabilità: il dominio di f è dato da R \ {}, f non è derivabile nel punto x = in quanto lim x f(x) = +, e il punto x = è un flesso a tangente verticale (f) Segno di f : f (x) > per ogni x R \ {} (g) Punti di massimo e minimo: f non ha punti di massimo né di minimo (h) Derivata seconda: per ogni x R \ {} si ha f (x) = 6 (e 4x )e 4x (e 4x ) 9/ (i) Segno di f e punti di flesso: si ha f (x) = per x = ln 4 e f (x) > per x (, ) (ln 4, + ) Quindi il punto x = ln 4 è un punto di flesso (j) Grafico di f :