Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Quarto Appello 4 Settembre 2018

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1 Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Quarto Appello 4 Settembre 8 Cognome: Nome: Matricola: T.: 4 punti T.: 4 punti Es.: 5 punti Es.: 9 punti Es.: 5 punti Es.4: 5 punti Totale. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss le soluzioni dell equazione z 4 = i. Detto A l insieme delle soluzioni trovate, rappresentare nel piano di Gauss l insieme { B = w = z } : z A C. i. (a) Studiare la funzione definita da f(x) = ln x artg (x ). (Dominio di f, limiti agli estremi, eventuali asintoti, derivata prima (formula e dominio), studio del segno di f (max/min), studio del segno di f (zeri), grafico). (b) Calcolare il polinomio di Taylor arrestato all ordine di f nel punto x =.. (a) Studiare, al variare del parametro reale β, la convergenza dell integrale improprio (b) Calcolare l integrale I per β =. I = + x e xβ dx. 4. (a) Dimostrare che la curva x = t γ : y = + t t [, ] t z = t t è piana e trovare l equazione del piano che la contiene. (b) Determinare la curvatura di γ al variare del parametro t. Istruzioni. Ogni risposta deve essere giustificata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Tempo. Prima parte (Teoria): minuti. Seconda parte (Esercizi): ore.

2 Teoria. (a) Dare la definizione di funzione continua in un punto x. (b) Dare la definizione di funzione derivabile in un punto x. (c) Dimostrare che una funzione derivabile in un punto x è continua in x.. (a) Scrivere la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. (b) Scrivere e dimostrare la disuguaglianza triangolare..

3 Soluzioni. Poiché l equazione di partenza può essere riscritta come si hanno le 4 soluzioni z 4 = i = cos 4 π + i sin 4 π, z = cos π + i cos π = + i z = cos 5 6 π + i cos 5 6 π = + i z = cos 4 π + i cos 4 π = i z = cos 6 π + i cos 6 π = i. Sono 4 punti su una circonferenza di raggio, ruotati ogni volta di π/. Per l insieme B, la divisione per i ruota di π/ in senso orario e poi dimezza il modulo. La rotazione porta le soluzioni nello stesso insieme di soluzioni; successivamente si dimezza il modulo. Quindi, l insieme B è formato dagli elementi w = 4 + i 4, w = 4 + i. (a) Dominio di f: D(f) = (, + ). (b) Limiti agli estremi: 4, w = 4 i lim f(x) = e lim f(x) = +. x + x + 4, w = 4 i 4. (c) Eventuali asintoti: la retta di equazione x = è un asintoto verticale destro per f. Poichè f(x) lim x + x =, la funzione f non ammette asintoto obliquo. (d) Derivata prima (formula e dominio): f (x) = (x )(x ) x( + (x ) ), D(f ) = D(f) = (, + ). (e) Studio del segno di f (max/min): > per < x < e x > f (x) = per x = e x = < per < x < x = massimo locale per f x = minimo locale per f. (f) Studio del segno di f (zeri): dallo studio della monotonia e dei limiti, si ha che esiste α > tale che > per x > α f(x) = per x = e x = α < per < x < e < x < α. In corrispondenza dei punti x = e x = α la funzione ha degli zeri.

4 (g) Grafico: il grafico della funzione è y α 4 x (h) Polinomio di Taylor: si ha f (x) = x x ( + (x ) ), D(f ) = D(f) = (, + ). Quindi, si ha f() = f () = e f () =. Di conseguenza, il polinomio di Taylor richiesto è T (x) = f() + f ()(x ) + f ()(x ) = (x ). Equivalentemente, si possono utilizzare gli sviluppi delle funzioni elementari. Ricordando che la funzione arcotangente è dispari, per x si ha f(x) = ln x artg(x ) = ln( + (x )) artg(x ) (x ) = (x ) + o((x ) ) (x ) + o((x ) ) = (x ) + o((x ) ). Si ritrova così il risultato precedente.. (a) La funzione integranda è continua e positiva sul dominio di integrazione (, + ). Possiamo quindi applicare il criterio del confronto asintotico. Iniziamo a studiare il comportamento della funzione integranda per x +. Per β >, la funzione non presenta singolarità sull intervallo (, + ) e per x > abbastanza grande si ha x e xβ x. Di conseguenza, la funzione integranda è integrabile a + (per il criterio del confronto) e quindi l integrale è convergente. Per β, abbiamo invece che lim x x e xβ = + e quindi l integrale risulta divergente. In conclusione, l integrale I converge se e solo se β >. 4

5 (b) Integrando per parti due volte, si ha x e x dx = e x (x + x + ) + c da cui si ha + a x e x dx = lim x e x dx = a + [ = lim e x (x + x + ) ] a a + = lim a + ( e a (a + a + ) + ) =. 4. (a) Dalle equazioni della curva, si ricava x = t y = t + z = t t ossia t = x t = y z = y x. Pertanto, la curva è piana ed è contenuta nel piano di equazione x y + z + =. (b) Sia f la funzione vettoriale che parametrizza la curva γ. Allora, si ha f (t) = (, t, t ), f (t) = (, t, t ) e f (t) f (t) = ( t, t, ) t. Pertanto, si ha f (t) = + t + ( + t 4 = t + t 4 ) t e f (t) f (t) = t e quindi κ(t) = f (t) f (t) f (t) = t 6 t ( + t + t 4 ) = / t ( + t + t 4 ) /. 5