Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Primo compito in itinere 13 Novembre 2017

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1 Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Primo compito in itinere 1 Novembre 017 Cognome: Nome: Matricola: Compito A Teoria: punti Es.1: punti Es.: 8 punti Totale Prima Parte 1. Dopo aver definito la differenziabilità e la derivabilità di una funzione f : a, b) R in un punto 0 a, b), mostrare che le due definizioni sono equivalenti. Seconda Parte 1. a) Disegnare nel piano di Gauss gli insiemi A = z C : 1 z, 6 arg z } } B = w C : w = 1 + i z con z A. b) Determinare gli insiemi C = z C : z i ) 1 + i ) } = 1 i e B C.. Si consideri la funzione f : D R definita da f) = e 1. a) Determinarne il dominio D e i limiti agli estremi del dominio. b) Determinarne gli estremi locali. c) Disegnarne il grafico qualitativo in base alle informazioni sopra determinate. d) Determinarne lo sviluppo di MacLaurin al ordine e poi il valore di f 0). Istruzioni. Ogni risposta deve essere giustificata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Tempo. Prima parte: 0 minuti. Seconda parte: 70 minuti.

2 Soluzioni 1. a) Nel piano di Gauss si ha A 6 1 Poiché w 0 = 1+i è un numero complesso di modulo 1 e di argomento θ =, l insieme B = w 0 A si ottiene ruotando l insieme A attorno all origine di un angolo θ =, in senso antiorario. Pertanto, si ha B = z C : 1 z, arg z } e, nel piano di Gauss, si ha B 1 b) Per determinare l insieme C bisogna risolvere l equazione Poiché si tratta di risolvere l equazione z i ) 1 + i ) =. 1 i 1 + i 1 + i) = = i, 1 i z i ) = i = i.

3 Poiché le radici cubiche di i sono i e sono Pertanto, si ha 1 i, le soluzioni dell equazione precedente z i = i ossia z = i + i = i z i = 1 i ossia z = z i = 1 i ossia z =. Infine, si ricava facilmente che C =. a) Si ha D = R. Inoltre, si hanno i limiti i, B C = }. } i lim f) = 0 e lim f) = + b) La funzione f è derivabile in D =, ), + ), poiché ivi composta di funzioni derivabili. Inoltre, si ha dove f ) = e + ) ) = e ) + ) ) 1 1 ± = 1 ± 7 con < < 0 < + <. Inoltre, f non è derivabile in = ± poiché lim f ) =. ± Quindi f ha un minimo locale in e un massimo locale in +. c) Il grafico della funzione è 1 +

4 d) Per 0, si ha Infine, si ha f) = e 1 = ) o ) = o ). f 0) = 5 6. ) )1 1 + o )

5 Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria 1 Primo compito in itinere 1 Novembre 017 Cognome: Nome: Matricola: Compito B Teoria: punti Es.1: punti Es.: 8 punti Totale Prima Parte 1. Dopo aver definito la differenziabilità e la derivabilità di una funzione f : a, b) R in un punto 0 a, b), mostrare che le due definizioni sono equivalenti. Seconda Parte 1. a) Disegnare nel piano di Gauss gli insiemi A = z C : 1 z, 6 arg z } } B = w C : w = 1 + i z con z A. b) Determinare gli insiemi C = z C : z i ) 1 + i ) } = 1 i e B C.. Si consideri la funzione f : D R definita da f) = e 1 9. a) Determinarne il dominio D e i limiti agli estremi del dominio. b) Determinarne gli estremi locali. c) Disegnarne il grafico qualitativo in base alle informazioni sopra determinate. d) Determinarne lo sviluppo di MacLaurin al ordine e poi il valore di f 0). Istruzioni. Ogni risposta deve essere giustificata. Il testo del compito deve essere consegnato insieme alla bella, mentre i fogli di brutta non devono essere consegnati. Durante la prova non è consentito l uso di libri, quaderni, calcolatrici e apparecchiature elettroniche. Tempo. Prima parte: 0 minuti. Seconda parte: 70 minuti.

6 Soluzioni 1. a) Nel piano di Gauss si ha 1 A Poiché w 0 = 1 i è un numero complesso di modulo 1 e di argomento θ =, l insieme B = w 0 A si ottiene ruotando l insieme A attorno all origine di un angolo θ =, in senso orario. Pertanto, si ha B = z C : 1 z, arg z } e, nel piano di Gauss, si ha 1 B b) Per determinare l insieme C bisogna risolvere l equazione Poiché si tratta di risolvere l equazione z + i ) 1 i ) =. 1 + i 1 i 1 i) = = i, 1 + i z + i ) = i = i.

7 Poiché le radici cubiche di i sono i e ± sono Pertanto, si ha + 1 i, le soluzioni dell equazione precedente z + i = i ossia z = i i = i z + i = + 1 i ossia z = z + i = + 1 i ossia z = C = i, }.. Infine, si ricava facilmente che B C = } i. a) D = R; lim f) = 0, lim + f) = ; b) f e derivabile in D :=, ), + ), poiche ivi composta di funzioni derivabili, ove f ) = e + 9) ) = e ) + ) ) ± = 1 ± 8 e < < 0 < + <. f non e derivabile in = ± poiche lim ± f ) =. Quindi f ha Min loc. in e Ma loc. in +. c) Il grafico è 1 + d) f) = e = o ), ) 1 1 = ) ) + o ) o ) f 0) = o ) = o )