C.d.L. in Scienze naturali Prova di Matematica del 12/12/2016

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1 C.d.L. in Scienze naturali Prova di Matematica del //06 Cognome: Nome: Matricola: Svolgere gli esercizi nelle facciate bianche disponibili e scrivere le soluzioni nei riquadri. Sarà ritirato soltanto questo fascicolo.. Sia dato l insieme A = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Quanti sono i sottoinsiemi di A formati da 7 elementi? ( 0 ) ( 7 = 0 ) 3 = = 0 3 Quanti sono i sottoinsiemi di A (compresi l insieme vuoto ed A stesso)? 0 = 04 Quante sono le coppie ordinate (a, b) con a, b A e a b? 0 k= k = 0 = 55. Un gioco consiste nel lanciare 4 monete non truccate. Qual è la probabilità di ottenere almeno 3 teste? P (0 croci) + P ( croce) = = Il cesio isotopo 37 Cs è radioattivo e ha un tempo di dimezzamento di 30 anni. (a) Siano presenti inizialmente N 0 atomi di 37 Cs. Determinare la costante di decadimento λ (in anno ) in modo tale che il numero N(t) degli atomi presenti dopo il tempo t sia approssimativamente N = N(t) = N 0 e λt. N 0 e λt / = N 0 e λt / = λ = ln = ln T / 30 anno 0, 03 anno (b) Di quale percentuale si riduce una data quantità di 37 Cs annualmente? λ(t+ anno) N 0 e = e λ anno e λ anno λ anno 00 % %. N 0 e λt (c) Calcolare il tempo necessario affinché una data quantità di 37 Cs si riduca al, 5% della quantità iniziale., 5% = ( )3 tempo necessario = 3T / = 90 anni. 4. Si determinino i valori reali di per cui: log () + log ( + ) = 3. log () + log ( + ) = log ( + ) = 3 + = 3, > 0 =

2 5. Data la funzione f() = +,, calcolare + (a) l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (0; ); ( ) y = f (0) = = y = + ( + ) (b) approssimativamente f( 0, 00) usando il differenziale di f. =0 df(0; 0, 00) = f (0) = 0, 00 f( 0, 00) f(0) f( 0, 00), In un sistema di riferimento cartesiano nel piano il punto P abbia le coordinate ( ; ). Sia Q il punto che si ottiene ruotando P in senso orario attorno l origine O di un angolo di 05 o. Calcolare le coordinate polari (dove θ ] π, π]) dei punti P e Q le coordinate cartesiane del punto Q. θ P = 3 4 π, ρ P =, θ Q = 3 π, ρ Q =, Q =, yq = 6 7. Data la funzione f() = ln( R, > 0,, ), (a) determinare lim f() = +, poiché lim + + (applicare la regola di de l Hospital) (b) calcolare f () = ln( ) ( ln( )) (c) calcolare f () = () (ln( )) = lim + = + ( ln( ) ) ( ln( )) ( ln( ) ) ( (ln( ))) ( ln( )) 4 = ln( ) ( ln( )) 3 (d) trovare e classificare il punto stazionario 0 di f: 0 = e, si tratta di un punto di minimo relativo (f () > 0 > e). (e) trovare il punto di flesso di f: f() è convessa f () 0 > e ln( ) 0 < e, cioè il punto (e, e ) è un punto di flesso discendente per la funzione.

3 C.d.L. in Scienze naturali Prova di Matematica del //06 Cognome: Nome: Matricola: Svolgere gli esercizi nelle facciate bianche disponibili e scrivere le soluzioni nei riquadri. Sarà ritirato soltanto questo fascicolo.. Sia dato l insieme A = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7}. Quanti sono i sottoinsiemi di A formati da 5 elementi? ( 8 ) ( 5 = 8 ) 3 = = 56 3 Quanti sono i sottoinsiemi di A (compresi l insieme vuoto ed A stesso)? 8 = 56 Quante sono le coppie ordinate (a, b) con a, b A e a b? 8 k= k = 8 9 = 36. Un gioco consiste nel lanciare 6 monete non truccate. Qual è la probabilità di ottenere almeno 5 teste? P (0 croci) + P ( croce) = = Il iodio isotopo 3 I è radioattivo e ha un tempo di dimezzamento di 3 ore. (a) Siano presenti inizialmente N 0 atomi di 3 I. Determinare la costante di decadimento λ (in h ) in modo tale che il numero N(t) degli atomi presenti dopo il tempo t sia approssimativamente N(t) = N 0 e λt. N 0 e λt / = N 0 e λt / = λ = ln = ln T / 3 h 0, 0533 h (b) Di quale percentuale si riduce una data quantità di 3 I ogni ora? λ(t+ h) N 0 e = e λ h e λ h λ h 00 % 5 %. N 0 e λt (c) Calcolare il tempo necessario affinché una data quantità di 3 I si riduca al, 5% della quantità iniziale., 5% = ( )3 tempo necessario = 3T / = 39 h. 4. Si determinino i valori reali di per cui: log () + log ( 4) = 5. log () + log ( 4) = log ( 4) = 5 4 = 5, > 4 = 8

4 5. Data la funzione f() = +,, calcolare + (a) l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (0; 3); ( ) y 3 = f (0) = = y = + 3 ( + ) (b) approssimativamente f(0, 003) usando il differenziale di f. =0 df(0; 0, 003) = f (0) = 0, 003 f(0, 003) f(0) f(0, 003), In un sistema di riferimento cartesiano nel piano il punto P abbia le coordinate ( ; 3). Sia Q il punto che si ottiene ruotando P in senso antiorario attorno l origine O di un angolo di 05 o. Calcolare le coordinate polari (dove θ ] π, π]) dei punti P e Q le coordinate cartesiane del punto Q. θ P = 3 π, ρ P =, θ Q = 3 4 π, ρ Q =, Q =, y Q = 7. Data la funzione f() = ln( R, > 0,, ), () (a) determinare lim f() =, poiché lim = lim + + ( ln ) + (applicare la regola di de l Hospital) (b) calcolare f () = ln (ln ) (c) calcolare f () = ( ln ) (ln ) ( ln ) ((ln ) ) (ln ) 4 = ln() (ln ) 3 (d) trovare e classificare il punto stazionario 0 di f: = 0 = e, si tratta di un punto di massimo relativo (f () < 0 > e). (e) trovare il punto di flesso di f: f() è convessa f () 0 0 < < o ln() 0 0 < < o e, cioè il punto (e, e ) è un punto di flesso ascendente per la funzione.

5 C.d.L. in Scienze naturali Prova di Matematica del //06 Cognome: Nome: Matricola: Svolgere gli esercizi nelle facciate bianche disponibili e scrivere le soluzioni nei riquadri. Sarà ritirato soltanto questo fascicolo.. Sia dato l insieme A = {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Quanti sono i sottoinsiemi di A formati da 6 elementi? ( 9 ) ( 6 = 9 ) 3 = = 84 3 Quanti sono i sottoinsiemi di A (compresi l insieme vuoto ed A stesso)? 9 = 5 Quante sono le coppie ordinate (a, b) con a, b A e a b? 9 k= k = 9 0 = 45. Un gioco consiste nel lanciare 5 monete non truccate. Qual è la probabilità di ottenere almeno 4 teste? P (0 croci) + P ( croce) = = Il iodio isotopo 3 I è radioattivo e ha un tempo di dimezzamento di 8 giorni. (a) Siano presenti inizialmente N 0 atomi di 3 I. Determinare la costante di decadimento λ (in giorno = d ) in modo tale che il numero N(t) degli atomi presenti dopo il tempo t sia approssimativamente N(t) = N 0 e λt. N 0 e λt / = N 0 e λt / = λ = ln = ln T / 8 d 0, 0866 d (b) Di quale percentuale si riduce una data quantità di 3 I ogni giorno? λ(t+ d) N 0 e = e λ d e λ d λ d 00 % 8 %. N 0 e λt (c) Calcolare il tempo necessario affinché una data quantità di 3 I si riduca al, 5% della quantità iniziale., 5% = ( )3 tempo necessario = 3T / = 4 giorni. 4. Si determinino i valori reali di per cui: log () + log ( 4) = 5. log () + log ( 4) = log ( 4) = 5 4 = 5, > 4 = 6

6 5. Data la funzione f() = + + 3,, calcolare (a) l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (0; 4); ( ) y 4 = f (0) = = y = + 4 ( + ) (b) approssimativamente f(0, 00) usando il differenziale di f. =0 df(0; 0, 00) = f (0) = 0, 00 f(0, 00) f(0) f(0, 00) 3, In un sistema di riferimento cartesiano nel piano il punto P abbia le coordinate (, ). Sia Q il punto che si ottiene ruotando P in senso orario attorno l origine O di un angolo di 05 o. Calcolare le coordinate polari (dove θ ] π, π]) dei punti P e Q le coordinate cartesiane del punto Q. θ P = 3 4 π, ρ P =, θ Q = 6 π, ρ Q =, Q = 6, y Q = 7. Data la funzione f() =, R, < 0,, ln( ) (a) determinare lim f() =, poiché lim (applicare la regola di de l Hospital) (b) calcolare f () = ln( ) (ln( )) () (ln( )) = lim = (c) calcolare f () = (ln( ) ) (ln( )) (ln( ) ) ((ln( )) ) (ln( )) 4 (d) trovare e classificare il punto stazionario 0 di f: = ln( ) (ln( )) 3 0 = e, si tratta di un punto di massimo relativo (f () > 0 < e). (e) trovare il punto di flesso di f: f() è convessa f () 0 < < 0 o ln( ) 0 0 < < o e, cioè il punto ( e, e ) è un punto di flesso discendente per la funzione.