n=5 4] (4 pt.) Determinare l estremo superiore e l estremo inferiore dell insieme x

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1 Cognome... Nome... Matricola... C.l. in Fisica, ANALISI MATEMATICA 1 (prova di esame) 6 febbraio 013 proff. M.Salvatori, E. Valdinoci durata: 90 minuti versione A 1] (4 pt.) Determinare per quali β R converge la seguente serie: + ( ) n 1 β + 1. n log n β 6 n=5 ] (4 pt.) Determinare tutti i numeri complessi z per cui z 4 = π 4. 3] (4 pt.) Per quali valori dei parametri reali a e b la funzione ax + b se x 0, f(x) = x arctan x se x < 0 log(1 + 5x ) risulta continua nel punto x = 0? Per quali valori la funzione risulta derivabile in x = 0? 4] (4 pt.) Determinare l estremo superiore e l estremo inferiore dell insieme { } x A = + x, x ( 7, 3]. x + 7 Specificare se si tratta di massimo o minimo. 5] (4 pt.) Sia a R e f(x) = (a 1)x + a(a + 1)x + (a 1)x 3 + o(x 3 ) per x 0. Determinare per quali a la funzione ha un punto critico (stazionario) in x = 0, per quali a tale punto critico é di minimo relativo, e per quali a é di massimo relativo. 1

2 6] (4 pt.) Siano A = { (x, y) R : x + y 100 }, {( B = 0, 3 1 ) }, k N k e C = A B. Allora: C= C = C = ] (6 pt.) Determinare, se esiste, lim n + Scrivere uno svolgimento completo. (n + 3) log ( ) n+3 n 6 + n 5 e n ). 1/n cos ( 1 n

3 Cognome... Nome... Matricola... C.l. in Fisica, ANALISI MATEMATICA 1 (prova di esame) 6 febbraio 013 proff. M.Salvatori, E. Valdinoci durata: 90 minuti versione B 1] (4 pt.) Determinare per quali β R converge la seguente serie: + ( ) n 1 β 1. n β log n β 6 n=5 ] (4 pt.) Determinare tutti i numeri complessi z per cui z 4 = 16. 3] (4 pt.) Per quali valori dei parametri reali a e b la funzione ax + b se x 0, f(x) = x arctan x se x < 0 log(1 + πx ) risulta continua nel punto x = 0? Per quali valori la funzione risulta derivabile in x = 0? 4] (4 pt.) Determinare l estremo superiore e l estremo inferiore dell insieme { } x A = + x, x ( 1, 3]. x + 1 Specificare se si tratta di massimo o minimo. 5] (4 pt.) Sia a R e f(x) = (a 1)x + a(a 1)x + (a + 1)x 3 + o(x 3 ) per x 0. Determinare per quali a la funzione ha un punto critico (stazionario) in x = 0, per quali a tale punto critico é di minimo relativo, e per quali a é di massimo relativo. 3

4 6] (4 pt.) Sia A = { (x, y) R : x + y 100 }, {( B = 0, ) }, k N k e C = A B. Allora: C= C = C = ] (6 pt.) Determinare, se esiste, lim n + Scrivere uno svolgimento completo. (n + 5) log ( ) n+5 n 10 + n 3 e n ). 3 1/n cos ( 1 n 4

5 Cognome... Nome... Matricola... C.l. in Fisica, ANALISI MATEMATICA 1 (prova di esame) 6 febbraio 013 proff. M.Salvatori, E. Valdinoci durata: 90 minuti versione C 1] (4 pt.) Determinare per quali β R converge la seguente serie: + ( ) n 1 β 1. n log(β + n) β n=5 ] (4 pt.) Determinare tutti i numeri complessi z per cui z 4 = 4. 3] (4 pt.) Per quali valori dei parametri reali a e b la funzione ax + b se x 0, f(x) = x arctan x se x < 0 sin x log(1 + x) risulta continua nel punto x = 0? Per quali valori la funzione risulta derivabile in x = 0? 4] (4 pt.) Determinare l estremo superiore e l estremo inferiore dell insieme { } x A = + x, x ( π, π]. x + π Specificare se si tratta di massimo o minimo. 5] (4 pt.) Sia a R e f(x) = (a 4)x + (a a)x + (a + )x 3 + o(x 3 ) per x 0. Determinare per quali a la funzione ha un punto critico (stazionario) in x = 0, per quali a tale punto critico é di minimo relativo, e per quali a é di massimo relativo. 5

6 6] (4 pt.) Sia A = { (x, y) R : x + y 100 }, B = {( 0, ) k }, k N e C = A B. Allora: C= C = C = ] (6 pt.) Determinare, se esiste, lim n + Scrivere uno svolgimento completo. (n + 3) log ( ) n+3 n 6 + n 5 e n ). 3 1/n cos ( 1 n 6

7 Cognome... Nome... Matricola... C.l. in Fisica, ANALISI MATEMATICA 1 (prova di esame) 6 febbraio 013 proff. M.Salvatori, E. Valdinoci durata: 90 minuti versione D 1] (4 pt.) Determinare per quali β R converge la seguente serie: + ( ) n 1 β. n log( β + n ) β + 1 n=5 ] (4 pt.) Determinare tutti i numeri complessi z per cui z 4 = 16i. 3] (4 pt.) Per quali valori dei parametri reali a e b la funzione b ax se x 0, f(x) = x arctan x ( ) se x < 0 log(1 + x) risulta continua nel punto x = 0? Per quali valori la funzione risulta derivabile in x = 0? 4] (4 pt.) Determinare l estremo superiore e l estremo inferiore dell insieme { } x A = + x, x ( e, π]. x + e Specificare se si tratta di massimo o minimo. 5] (4 pt.) Sia a R e f(x) = (a 3a + )x + (a 1)x + (a )x 3 + o(x 3 ) per x 0. Determinare per quali a la funzione ha un punto critico (stazionario) in x = 0, per quali a tale punto critico é di minimo relativo, e per quali a é di massimo relativo. 7

8 6] (4 pt.) Sia A = { (x, y) R : x + y 100 }, B = {( 1k ), 0 }, k N e C = A B. Allora: C= C = C = ] (6 pt.) Determinare, se esiste, lim n + Scrivere uno svolgimento completo. (n + 5) log ( ) n+5 n 10 + n 3 e n ). 1/n cos ( 1 n 8

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