Matematica - Prova d esame (09/09/2004)

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1 Matematica - Prova d esame (9/9/) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie AI - A.A. /. Disegnare sul piano di Gauss i numeri z = i, w = i e z iw. Scrivere la forma trigonometrica di w e calcolare w. Risolvere t t + t = e (t + )(t + ) =.. (a) Risolvere il seguente sistema lineare al variare di λ R, usando i metodi appresi a lezione (se non si sa trattare il caso generale, si consideri almeno il caso λ = ): { λ y = ( λ) + y =. (b) Determinare la forma parametrica e cartesiana della retta r passante per i punti P (, ) e Q(, ), e della retta s parallela ad r e passante per R(, 5).. In un quadrato Q di lato l, giacente sul piano orizzontale, si considerino due vertici opposti A e A. Dato l, dentro Q si inscriva un triangolo T avente due vertici a distanza da A ed il terzo vertice alla medesima distanza da A ; infine, considerato il punto V posto verticalmente ad altezza sopra il centro di Q e la piramide di base T e vertice V, si dica per quale valore di tale piramide ha volume massimo.. Studiare la funzione f() = log(e ) e tracciarne il grafico. 5. (a) Calcolare gli integrali π ( ) sin d e e d. (b) Disegnare S = {(, y) : π y sin } sul piano cartesiano, e calcolarne l area. 6. Sia f(, y) = log( y). Calcolare e disegnare il dominio di f, e le derivate parziali e. Calcolare il differenziale di f e l equazione cartesiana del piano tangente al grafico di f nel punto A(, ). 7. (a) Si consideri l equazione differenziale y y =. Dire in quali zone del piano le soluzioni saranno crescenti. Determinare la soluzione y() con y() =. (b) Risolvere l equazione differenziale y y sin = sin cos con condizione iniziale y() =.

2 Matematica - Prova d esame del 9/9/ - Soluzioni. Vale z iw = ( i) i( + i) = i + i + = 6 i; si ha poi w =, da cui w = (cos 5π +i sin 5π ), da cui w = ( ) (cos 5π+i sin 5π) =. Le soluzioni di t t + t = t(t t + ) = sono t = e t = ± = ± i, mentre quelle di (t + )(t + ) = sono t = e le radici cubiche di = (cos π+i sin π), ovvero w = (cos π +i sin π ) = +i, w = (cos( π + π ) + i sin( π + π )) = e w = (cos( π + π ) + i sin( π + π )) = i.. (a) Il sistema si scrive nella forma A = λ b con A =, = e b = λ y. Trattandosi di un sistema quadrato, cerchiamo innanzitutto di applicare il metodo di Cramer. Si ha det A = λ: pertanto se λ si ottiene = det A = λ e λ λ y = det A = λ λ. (In particolare, per λ = si ha = e y =.) Se invece λ =, la matrice completa è A b = che, ridotta col metodo di Gauss-Jordan, diventa. Poiché, come si vede, vale rg A = < rg A b =, in tale caso il sistema non ammetterà soluzione. Ricapitolando, se λ il sistema ha l unica soluzione (, y) = ( λ, λ λ ), mentre se λ = esso non ha soluzioni. (b) Un vettore parallelo ad r è v = (, ) (, ) = (, ), dunque la forma parametrica di r è r = {(, y) = (, ) + α(, ) : α R} = {(α, + α) : α R}. Da = α si ha α =, e dunque y = + α = +, da cui l equazione cartesiana y =. Analogamente le equazioni parametrica e cartesiana di s saranno rispettivamente s = {(, y) = (, 5) + α(, ) : α R} = {(α, 5 + α) : α R} e y + 5 =.. Levando all area del quadrato Q i pezzi che non stanno in T, si ha che l area di T è l (l ) (l +) = (l ), dunque la piramide ha volume f() = (l ) = (l ). Derivando, si ottiene f () = ((l ) ) = (l ). Vale f () = per = l, e f () > se e solo se < < l. Pertanto il valore massimo del volume della piramide si ottiene quando = l.. L andamento della funzione f() = log(e ) è mostrato nella figura qui a fianco. La funzione non è periodica, non ha parità, ed ha come dominio tutti gli per cui l argomento del logaritmo è positivo, ovvero tali che e >, ovvero >. Si ha f() = se e solo se e =, ovvero se e solo se = log, e vale f() > se e solo se > log. La funzione è di classe C nel suo dominio. Vale lim + f() = e lim + f() = + ; usando de l Hôpital, si verifica subito che f() lim + =, e inoltre lim + (f() ) = lim + (log(e ) log e ) = lim + log e e =, da cui l asintoto obliquo destro y =. La derivata risulta f () = e e : si ha f () > per ogni nel dominio, dunque la funzione è strettamente crescente. Derivando ancora si ottiene, dopo i conti, f () =, (e ) che è < per ogni nel dominio di f: ne ricaviamo che f è strettamente concava nel suo dominio. 5. (a) Integrando due volte per parti si ha ( ) sin d = ( ) cos + () cos d =

3 ( ) cos +( sin sin d) = ( ) cos +( sin +cos ) = ( 5) cos + sin, da cui π ( ) sin d = [ ( 5) cos + sin ] π = (π 5)( ) 5 = π. Quanto all altro integrale, posto t = si ha dt = d, da cui e d = et dt = [e t ] = (e ),. (b) S è la zona del piano cartesiano formata dai punti (, y) compresi tra il grafico di sin (sopra) e la parabola y = π (sotto). Dal disegno risulta chiaro che l area di S vale allora π sin d+ π ( π) d = [ cos ] π +[ π ] π = ( ) ( π π π π ) = + 6 9, Il dominio di f(, y) = log( y) è dato dalle condizioni y e y <, ovvero y e y > : si tratta della zona compresa tra la parabola y = (inclusa) e y y = (esclusa). Le derivate parziali sono = e y sta nel dominio di f, e vale df (,) (, y) = = y y. Il punto A(, ) (, ) + (, ) y = ( ) + ( )y = + y, mentre l equazione cartesiana del piano tangente al grafico di f in A è z = f(, ) + ) + (, ) (y ) = + ( )( ) + ( )y = + + ( )y, ovvero y + z =. (, ) ( 7. (a) Se y, da y = + si ricava che le soluzioni y() dell equazione soddisferanno y () = y se e solo se =, e saranno strettamente crescenti se e solo se > (ne ricaviamo che = sarà un punto di minimo locale). Separando le variabili si ha y y = + ; integrando si ottiene y = + + c, e tenendo conto della condizione iniziale y() = si ha = + + c, da cui c =. Si ha perciò y = +, da cui y = +. L andamento della soluzione è mostrato nella figura qui a fianco. (b) Si tratta di un equazione lineare del primo ordine in forma normale, che in generale si scrive y + p()y = q(): se P () è una primitiva di p(), la soluzione generale si scrive come y() = e P () ( e P () q() d + k) per k R. Qui si ha p() = sin (da cui P () = cos ) e q() = sin cos. Col cambio t = cos, si ha e P () q() d = sin cos e cos d = te t dt = (te t e t dt) = (t )e t = ( cos )e cos, da cui y() = e cos (( cos )e cos + k) = cos + ke cos ; imponendo y() = si ottiene k =, da cui la soluzione cercata y() = cos + e cos.

4 Matematica - Prova d esame (/9/) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie AI - A.A. /. Disegnare sul piano di Gauss il numero z = i, poi calcolare e disegnare /z. Scrivere la forma trigonometrica di w = z e calcolare w. Trovare infine le soluzioni delle equazioni t t + = e t t = (sapendo che una di quest ultima è + i).. (a) Risolvere il seguente sistema lineare al variare di λ R, usando i metodi appresi a lezione (se non si sa trattare il caso generale, si consideri almeno il caso λ = ): { + y λz = + z = λ. (b) Determinare la forma parametrica e cartesiana della retta r passante per P (, ) e perpendicolare al vettore v = (, ). Calcolare poi la distanza di Q(, ) da r.. Tra tutte le pentole cilindriche di dato volume interno V, qual è il diametro interno di quella con la superficie interna (parete più fondo) minima?. Studiare la funzione f() = sin sin e tracciarne il grafico. 5. (a) Calcolare gli integrali d e π sin( ) d. (b) Disegnare S = {(, y) : y } sul piano cartesiano, e calcolarne l area. 6. Sia f(, y) =. Calcolare e disegnare il dominio di f, e le derivate parziali + log(y ) e. Calcolare il differenziale di f e l equazione cartesiana del piano tangente al grafico di f nel punto A(, ). 7. (a) Si consideri l equazione differenziale ( )y + e (y ) =. Dire in quali zone del piano le soluzioni saranno crescenti. Determinare la soluzione y() con y() =. (b) Risolvere l equazione differenziale y + y + y = e con condizioni iniziali y() = e y () =.

5 Matematica - Prova d esame del /9/ - Soluzioni. Si ha z = z = +i z 9+ = + i, w = z = + i = i = ( i ) = (cos 5π + i sin 5π ), da cui w = ( ) (cos 5π + i sin 5π ) = 6 ( Da t t + = si ricava t = ± 9 = ±i i ) = 6( i). ; infine, poiché l equazione t t = ha coefficienti reali, se α = + i è soluzione anche α = i lo è, e dunque t t è divisibile per (t α)(t α) = (t + i)(t + + i) = t + t + ( ) = t + t +. Dalla divisione risulta infatti t t = (t + t + )(t ), e dunque la terza soluzione è data da t =, ovvero t =.. (a) Il sistema si scrive nella forma A = b con A = λ λ λ, y z A e b = λ che, ridotta col metodo di Gauss-Jordan, diventa La matrice completa è A b = λ. Poiché rg A = rg A λ + λ b = per ogni λ, il sistema sarà sempre risolubile con = parametro libero. Scegliendo z come tale parametro, da y + (λ + )z = λ si ottiene y = (λ+)z λ, e dunque da + y λz = si ottiene = y + λz = (λ+)z λ + λz = z+λ. L insieme delle soluzioni per un dato valore del parametro λ è dunque della forma {(, y, z) = ( z+λ, (λ+)z λ, z) : z R}. (b) Un vettore ortogonale a v = (, ) è w = (, ), dunque la forma parametrica di r è r = {(, y) = (, ) + α(, ) : α R} = {( + α, α) : α R}. Da = + α si ha α = + 5, e dunque y = α =, da cui l equazione cartesiana + y 5 =. La distanza di Q(, ) da r è data da ()+( ) 5 = +,.. Sia il raggio interno della pentola. Se h è la sua profondità interna, vale V = πh da cui h = V. La superficie interna è dunque S() = π + πh = V π + π. Da S () = V + π si ricava S () = se e solo se = V/π, e S () > se e solo se > V/π. Il valore minimo si ha allora quando il diametro interno è V/π, e vale S( V/π) = V π.. L andamento della funzione f() = sin sin è mostrato nella figura qui a fianco. La funzione ha dominio R ed ha periodo π; non avendo essa parità, scegliamo [, π] come intervallo di studio. f è di classe C nel suo dominio, e vale f() = f(π) = ; si ha poi f() = sin (sin ) = per sin = (ovvero =, π, π) o per sin = (ovvero = π ). Quanto al segno, si ha f() = sin (sin ) > se e solo se sin <, ovvero per π < < π. La derivata è f () = sin cos cos = cos ( sin ); si ha f () = per cos = (ovvero = π, π ) oppure sin = (ovvero = π 6, 5π 6 ). Studiamo ora f () > : poiché cos > per < < π oppure π < < π, e sin > per π 6 < < 5π 6, si ha f () = cos ( sin ) > se e solo se π 6 < < π oppure 5π 6 < < π. Ne ricaviamo che = π 6 e = 5π 6 sono punti di minimo (con f(π 6 ) = f(5π 6 ) = ) mentre = π e = π sono punti di massimo (con f( π ) = e f(π ) = ). Derivando ancora, si ottiene f () = + sin sin ; vale dunque f () = per sin = +, (che dà = θ = arcsin +, e = π θ, ) oppure sin =, 59 (che, posto θ = arcsin, 6, dà = π + θ, 7 e = π θ 5, 65). Si ha infine f () > per < sin < +, ovvero per < θ, π θ < < π + θ e π θ < π: pertanto f è strettamente convessa in tali intervalli, ed i punti = θ, π θ, π + θ, π θ sono flessi obliqui.. 5

6 +5 5. (a) Si ha ++ = = (+) +, e perciò d = [log( + + )+arctg (+)] = (log +arctg ) (log +arctg ) = log + π, 5. Quanto all altro integrale, posto t = si ha = t e dunque d = t dt, da cui π sin( ) d = π t sin t dt = (per parti) ([t( cos t)] π π ( cos t) dt) = (π + [sin t]π ) = π 6,. (b) S è la zona del piano cartesiano formata dai punti (, y) compresi tra la parabola y = (sopra) ed il grafico di (sotto), ove quest ultimo è niente altro che il grafico di traslato di verso destra. Per capire dove i suddetti luoghi si intersecano, studiamo l uguaglianza =. Quando, questa diventa =, ovvero 7 = da cui = < (non accettabile) e = > (accettabile). Quando invece <, essa diventa =, ovvero = da cui = < (accettabile) e = > (non accettabile). Poiché la parabola sta sopra il grafico di se e solo se, l area di S sarà pari a ( + 9 +)d+ ( ) d+ ( ) d = [ ] + [ ] + [ ] = ( ) () + ( ) ( ) + () ( ) =, Il dominio di f(, y) = +log(y ) è dato dalle condizioni y > e log(y ), ovvero y > e y e : si tratta della zona che sta all interno delle falde dell iperbole equilatera y = (lei esclusa) meno i punti dell iperbole equilatera y = + e. Le derivate parziali y y sono = +log(y ) e (+log(y )) = y. Il punto A(, ) sta nel dominio di f, e vale (+log(y )) df (,) (, y) = (, ) + (, ) y = ( ) + ( )y = y, mentre l equazione cartesiana del piano tangente al grafico di f in A è z = f(, ) + (, ) ( ) + (, ) (y ) = + ( )( ) + ( )(y ) = y +, ovvero + y + z =. 7. (a) Se una soluzione y() della nostra equazione differenziale ( )y + e (y ) = fosse definita anche per =, si dovrebbe avrebbe e (y() ) =, il che è impossibile: dunque = non appartiene al dominio di alcuna soluzione. Possiamo perciò dividere tranquillamente per, ottenendo y = e(y ). Notiamo che y () = se e solo se =, e che y () > (ovvero, y() è strettamente crescente) se e solo se < < : ne ricaviamo che = sarà un punto di minimo locale stretto per le soluzioni. Separando le variabili si ha e ( y) y = ; integrando si ottiene dunque e( y) = log + c, e tenendo conto della condizione iniziale y() = si ha = + c, da cui c =. Si ha perciò e( y) = log +, da cui e( y) = + log, ovvero ( y) = log( + log ), ovvero y = log( + log ). Il dominio di tale soluzione è dato dalla condizione log > +, che un rapido confronto grafico mostra essere soddisfatta per < α e > β, ove < α < < β <. L andamento della soluzione è mostrato nella figura qui a fianco. (b) Si tratta di un equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti. L equazione caratteristica à α +α+ =, da cui α = ±i: pertanto, la soluzione generale dell equazione omogenea associata y +y +y = è data da y() = Ae cos +Be sin = e (A cos +B sin ) per A, B R. Poiché non risolve l equazione caratteristica, una soluzione particolare dell equazione differenziale completa avrà la forma ỹ() = γe per un opportuno γ R: essendo ỹ () = γe e ỹ () = γe, si ottiene dunque γe γe + γe = e per ogni, da cui γ =. Dunque la soluzione generale dell equazione completa è y() = e (A cos + B sin ) + e = e (A cos + B sin + ) con A, B R da determinare. Derivando, si ha allora y () = e ( A cos B sin A sin + B cos ) = e ((B A) cos (B + A) sin ); imponendo le condizioni iniziali, si ha y() = A + = e y () = B A =, ovvero A = e B =. La soluzione cercata è pertanto y() = e (sin + ). 6