Matematica Prima prova parziale

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1 Matematica Prima prova parziale Università di Verona - Laurea in Biotecnologie A.I. - A.A. 007/08 lunedì 9 novembre 007 Tema A () Disegnare i seguenti sottoinsiemi di R; dire se sono sup./inf. itati; calcolarne sup, inf, ma, min; dire uali sono i loro punti di accumulazione in R; dire di uali loro punti essi sono intorni. (a) A = { R : + } {n N : + log n > 0} (b) A = { R : sin > } ], 7] () (a) Nel piano cartesiano sia r la retta passante per P (, ) e Q(3, ), e sia s la retta di euazione + 3y = 0. Disegnare r e s, esprimerle in forma parametrica e cartesiana, e dire uanto vale l angolo acuto compreso tra esse. (b) Nello spazio cartesiano tridimensionale determinare, in forma parametrica e cartesiana, il piano Π passante per P (,, 0) e Q(0,, 3) e parallelo al vettore v = (, 3, ), e la retta r passante per Q e parallela al vettore w = (0,, ). Determinare l area del parallelogramma individuato da v e w, e decomporre w = w + w con w parallelo e w ortogonale a v. (3) ia f α () = α. arctg (a) Calcolare i iti 0 + f α() e f α() e nei casi α = e α =. + (Facoltativo: discutere il caso di α ualunue.) (b) Trovare il dominio A di h() := f (); calcolare poi la fibra h (y) = { A : h() = y} per ogni y R, usando i risultati per dire se h è iniettiva e se è suriettiva esprimendo ove possibile la funzione inversa. Calcolare infine l antimmagine h (], ]). () (a) tudiare l andamento di f() = ( ) e, e tracciarne il grafico. (b) ia un prefissato numero positivo. Tra tutte le coppie di numeri reali positivi la cui somma dei uadrati dà, trovare uella la cui somma dei cubi è minima.

2 oluzioni. () (a) La diseuazione + dà < oppure, mentre +log n > 0 euivale a log n >, ovvero n > e = e, ovvero n < e, soddisfatta per n =,,..., 7: pertanto A =], [ [, ] {3,, 5, 6, 7} è itato solo superiormente, con ma A = 7. I punti di accumulazione in e R sono e tutti uelli di ], ] [, ], ed è intorno dei punti di ], [ ], [. (b) La diseuazione sin >, ovvero sin >, è soddisfatta negli infiniti intervalli ] π + kπ, 5π + kπ[ al 6 6 variare di k Z: intersecando con ], 7] si ottiene pertanto A =] π, 5π [ ] 3π, 7]. Dunue A è itato, con inf A = π e ma 6 A = 7; i punti di accumulazione in R e sono tutti uelli di [ π, 5π ] [ 3π, 7], ed è intorno dei punti di ] π, 5π [ ] 3π, 7[ () (a) Un vettore parallelo a r è v = (3, ) (, ) = (, ), dunue una forma parametrica è r = {(, ) + α(, ) : α R} = {( + α, + α) : α R}; da = + α si ottiene α =, che sostituita in y = + α dà la forma cartesiana y = 0 (ottenibile anche come det «y ( ) 3 ( ) = 0). Un vettore ortogonale a s è (, 3), dunue uno parallelo è w = (3, ); poiché il punto R(, 0) sta in s, una forma parametrica è s = {(, 0) + α(3, ) : α R} = {( + 3α, α) : α R}. L angolo θ tra i vettori v e w soddisfa v w cos θ = = v w 0 0 =, dunue θ = arccos (un po meno di π ) è l angolo acuto cercato tra r e s. 0 0 (b) Oltre a v = (, 3, ), un altro vettore parallelo al piano Π è dato da (,, 0) (0,, 3) = (, 3, 3), dunue si ha la forma parametrica Π = {(,, 0) + α(, 3, ) + β(, 3, 3) : α, β R} = {( + α + β, + 3α 3β, α 3β) : α, β R}; einando i parametri si ha poi 5 y + 6z 6 = 0. La retta r ha forma parametrica r = {(0,, 3) + α(0,, ) : α R} = {(0, + α, 3 + α) : α R}; einando α si ha la forma cartesiana { = 0, y z + 0 = 0}. Essendo v w = det 3 e e e 3 0 A = (,, ), l area del parallelogramma è v w = 38,7. Infine, w è la proiezione di w lungo v, dunue w = w v 0 v = (, 3, ) = ( 5, 5, 0 ), v v e così w = w w = (0,, ) ( 5, 5, 0 ) = ( 5, 3, 7 ) (si noti che w v = 0) (3) (a) e α = si ottiene f () =, e i iti 0 + arctg e + ( e ) sono entrambi in forma indeterminata: con de l Hôpital il primo diventa 0 +, pertanto si devono calcolare + =, e il secondo è + e 0 + arctg e = 0. e invece α = si ottiene f () = ( ) + e ; il primo è determinato e vale 0 +, il secondo è indeterminato ma, raccogliendo nella parentesi e ragionando come prima, si ottiene ancora 0 arctg. Nel caso di α ualsiasi, il ite vale 0 + α 0+ per α >, vale per α = e vale per α <. Invece il ite fα() + e vale 0 per α e vale 0 + per α <. (b) (Vedi Figura ) h() = ha dominio A = R \ {0}; la fibra su y R è h (y) = { : = y} = { : + y = 0} = { = y y +, = y+ y + }. Dunue h : A R è suriettiva ma non iniettiva; ad esempio, notando che y (y) = + e y + (y) = 0 +, si ha che restringendo il dominio a A =]0, + [ essa diventa biiettiva, con inversa = = h (y) = y+ y +. i ha infine h (], ]) = { A : < } = [ 3+, [ [ 3, [. () (a) (Vedi Figura ) La funzione f() = ( ) e ha dominio R, non è pari ne periodica, ed è continua ovunue; inoltre essa è infinitamente derivabile ovunue tranne che in = 0 ove (a causa del modulo) avrà probabilmente un punto angoloso. i ha f(0) =, f() = 0 per = e f() > 0 per < oppure >. I iti notevoli f() sono determinati, e valgono entrambi + ; non vi sono asintoti obliui. Derivando (per 0) si ottiene f () = (sign + ( )( )) e : per < 0 si ottiene f () = ( + ) e che è = 0 per = e > 0 per < < 0, mentre per > 0 si ha f () = ( 3 + ) e che è sempre > 0. Dunue f decresce per <, cresce in < < 0 e anche per > 0: ne ricaviamo che = è punto di minimo assoluto, con f( ) = e 3,. Inoltre vale f (0) = f () = 0 e f +(0) = f () =, il che conferma che = 0 è effettivamente un punto angoloso. Infine, il calcolo dà f () = ( ) e uando > 0, e f () = ( ) e uando < 0: notando che i due fattori cubici sono strettamente crescenti (basta calcolarne la derivata) si ricava facilmente, in base al Teorema degli Zeri, l esistenza di due flessi obliui tra e 0 e tra 0 e.

3 (b) e è uno di uesti due numeri, l altro sarà y = (dunue deve essere 0 < < ); si tratta di rendere minima la funzione f() = 3 + ( ) 3 = 3 + ( ) 3. Derivando si ha f () = ( )( ) = 3( ), dunue uando 0 < < si ha f () 0 per 0, ovvero per f() decresce per 0 < < e cresce per < <, assumendo un minimo uando = anche y =, dunue i due numeri sono uguali.. Pertanto : in tal caso (a) Grafico di ; (b) Grafico di ( )e. 3

4 Matematica Prima prova parziale Università di Verona - Laurea in Biotecnologie A.I. - A.A. 007/08 lunedì 9 novembre 007 Tema B () Disegnare i seguenti sottoinsiemi di R; dire se sono sup./inf. itati; calcolarne sup, inf, ma, min; dire uali sono i loro punti di accumulazione in R; dire di uali loro punti essi sono intorni. (a) A = { R : +8 3} {n N : log( n ) + > 0} (b) A = { R : cos > } ], 6] () (a) Nel piano cartesiano sia r la retta di euazione + 3y = 0, e sia s la retta passante per P (, ) e Q(3, ). Disegnare r e s, esprimerle in forma parametrica e cartesiana, e dire uanto vale l angolo acuto compreso tra esse. (b) Nello spazio cartesiano tridimensionale determinare, in forma parametrica e cartesiana, il piano Π passante per P (,, 0) e Q(0,, 3) e parallelo al vettore v = (, 3, ), e la retta r passante per Q e parallela al vettore w = (0,, ). Determinare l area del parallelogramma individuato da v e w, e decomporre w = w + w con w parallelo e w ortogonale a v. (3) ia f α () = α. (a) Calcolare i iti f α() e e + f α() nei casi α = e α =. (Facoltativo: discutere il caso di α ualunue.) 0 + arctg (b) Trovare il dominio A di h() := f (); calcolare poi la fibra h (y) = { A : h() = y} per ogni y R, usando i risultati per dire se h è iniettiva e se è suriettiva esprimendo ove possibile la funzione inversa. Calcolare infine l antimmagine h (], ]). () (a) tudiare l andamento di f() = ( ) e +, e tracciarne il grafico. (b) ia V un prefissato numero positivo. Tra tutte le coppie di numeri reali positivi la cui somma dei cubi dà V, trovare uella la cui somma dei uadrati è massima.

5 oluzioni. () (a) La diseuazione +8 3 dà oppure <, mentre log( )+ > 0 euivale a log >, ovvero n n > n e =, ovvero n < e, soddisfatta per n =,,..., 7: pertanto A e =], ] [, [ {, 3,, 5, 6, 7} è itato solo superiormente, con ma A = 7. I punti di accumulazione in R e sono e tutti uelli di ], ] [, ], ed è intorno dei punti di ], [ ], [. (b) La diseuazione cos >, ovvero cos >, è soddisfatta negli infiniti intervalli ] π + kπ, π + kπ[ al 3 3 variare di k Z: intersecando con ], 6] si ottiene pertanto A =] π, π [ ] 5π, 6]. Dunue A è itato, con inf A = π e ma 3 A = 6; i punti di accumulazione in R e sono tutti uelli di [ π, π ] [ 5π, 6], ed è intorno dei punti di ] π, π [ ] 5π, 6[ () (a) Un vettore ortogonale a r è (, 3), dunue uno parallelo è w = (3, ); poiché il punto R(, 0) sta in r, una forma parametrica è r = {(, 0)+α(3, ) : α R} = {(+3α, α) : α R}. Un vettore parallelo a s è v = (3, ) (, ) = (, ), dunue una forma parametrica è s = {(, ) + α(, ) : α R} = {( + α, + α) : α R}; da = + α si ottiene α =, che sostituita in y = + α dà la forma cartesiana y = 0 (ottenibile anche come det y ( ) 3 ( ) «= 0). L angolo θ tra i vettori v e w soddisfa cos θ = v w v w = 0 0 = 0, dunue θ = arccos (un po meno di π ) è l angolo acuto cercato tra r e s. 0 (b) Oltre a v = (, 3, ), un altro vettore parallelo al piano Π è dato da (,, 0) (0,, 3) = (, 3, 3), dunue si ha la forma parametrica Π = {(,, 0) + α(, 3, ) + β(, 3, 3) : α, β R} = {( + α + β, + 3α 3β, α 3β) : α, β R}; einando i parametri si ha poi 5 y + 6z 6 = 0. La retta r ha forma parametrica r = {(0,, 3) + α(0,, ) : α R} = {(0, + α, 3 + α) : α R}; einando α si ha la forma cartesiana { = 0, y z + 0 = 0}. Essendo v w = det 3 e e e 3 0 A = (,, ), l area del parallelogramma è v w = 38,7. Infine, w è la proiezione di w lungo v, dunue w = w v 0 v = (, 3, ) = ( 5, 5, 0 ), v v e così w = w w = (0,, ) ( 5, 5, 0 ) = ( 5, 3, 7 ) (si noti che w v = 0) arctg (3) (a) e α = si ottiene f () =, e i iti e e sono entrambi in forma indeterminata: con de l Hôpital il primo diventa 0 +, pertanto si devono calcolare + =, e il secondo è + e arctg 0 + e = 0 +. e invece α = si ottiene f () = ( ) + e ; il primo è determinato e vale 0, il secondo è indeterminato ma, raccogliendo nella parentesi e ragionando come prima, si ottiene ancora 0 +. Nel caso di α ualsiasi, il ite il ite 0 + arctg α fα() + e vale 0 + per α e vale 0 per α <. vale 0 per α >, vale per α = e vale per α <. Invece (b) (Vedi Figura ) h() = ha dominio A = R \ {0}; la fibra su y R è h (y) = { : = y} = { : + y = 0} = { = y y +, = y+ y + }. Dunue h : A R è suriettiva ma non iniettiva; ad esempio, notando che y (y) = + e y + (y) = 0 +, si ha che restringendo il dominio a A =]0, + [ essa diventa biiettiva, con inversa = = h (y) = y+ y +. i ha infine h (], ]) = { A : < } = [ 3+, [ [ 3, [. () (a) (Vedi Figura ) La funzione f() = ( ) e + ha dominio R, non è pari ne periodica, ed è continua ovunue; inoltre essa è infinitamente derivabile ovunue tranne che in = 0 ove (a causa del modulo) avrà probabilmente un punto angoloso. i ha f(0) =, f() = 0 per = e f() > 0 per < oppure >. I iti notevoli f() sono determinati, e valgono entrambi + ; non vi sono asintoti obliui. Derivando (per 0) si ottiene f () = (sign + ( )( + )) e + : per < 0 si ottiene f () = ( ) e +, che è sempre < 0, mentre per > 0 si ha f () = ( ) e +, che è = 0 per = e > 0 per >. Dunue f decresce per < 0 e per 0 < <, e poi cresce in > : ne ricaviamo che = è punto di minimo assoluto, con f( ) = e 3,. Inoltre vale f (0) = f () = e f +(0) = f () = 0, il che conferma che = 0 è effettivamente un punto angoloso. Infine, il calcolo dà f () = ( ) e + uando > 0, e f () = ( ) e + uando < 0: notando che i due fattori cubici sono strettamente crescenti (basta calcolarne la derivata) si ricava facilmente, in base al Teorema degli Zeri, l esistenza di due flessi obliui tra e 0 e tra 0 e. 5

6 (b) e è uno di uesti due numeri, l altro sarà y = 3 V 3 (dunue deve essere 0 < < 3 V ); si tratta di rendere massima la funzione f() = +( 3 V 3 ) = +(V 3 ) 3. Derivando si ha f () = + 3 ( 3 )(V 3 ) 3 = ( 3V ), dunue uando 0 < < 3 V si ha f () 0 per 3 e decresce per 3 V f() cresce per 0 < < 3 V caso anche y = 3 V, dunue i due numeri sono uguali. 3 V 3 0, ovvero per 3 V. Pertanto < < 3 V, assumendo un massimo uando = 3 V : in tal (a) Grafico di ; (b) Grafico di ( )e +. 6