Infiniti e Infinitesimi

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1 Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Def. Una funzione f() si dice infinitesima per (o per ), punto di accumulazione per il dominio di f(), se: f ( ) ( oppure f ( ) )

2 Infiniti e Infinitesimi Esempi. y=e è un infinitesimo per y=ln() è un infinitesimo per y= sin() è un infinitesimo per (ma ance per π, π etc. ) y= ln(+) è un infinitesimo per Infiniti e Infinitesimi Def. Una funzione f() si dice infinita per (o per ), punto di accumulazione per il dominio di f(), (o per ) se: f ( ) ( oppure f ( ) )

3 Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Esempi y=e è un infinito per + y=ln() è un infinito per + y= + è un infinito Def.: Ordine di infinitesimo Siano f() e g() infinitesimi per (o per ), con g(). Se R+ e R, tale che f ( ) g( ) o f ( ) g ( ) Allora, si dice che per, (o per ), f() è un infinitesimo di ordine rispetto all infinitesimo campione g(). 3

4 Infiniti e Infinitesimi Esempi. y=sin è un infinitesimo per di ordine rispetto all infinitesimo campione g Infatti sin α = solo se α = y = tg è un infinitesimo di ordine rispetto ad, per ord(-cos)= rispetto ad per = Infiniti e Infinitesimi Def.: Ordine di infinito Siano f() e g() infiniti per ( o per ), con g(). Se R+ e R, tale che f ( ) f ( ) g( ) o g ( ) Allora, si dice che per, (o per ), f() è un infinito di ordine rispetto all infinito campione g(). 4

5 Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Esempi ord( ) = rispetto ad per + CONFRONTO TRA INFINITESIMI Siano f() e g() infinitesime per, ord ord = rispetto a sin e = rispetto a per per ord(f) ord(g) f ( ) ord(f) ord(g) g( ) ord(f) ord(g) non esiste, f e g non confrontabili Stesso risultato se f() e g() sono infinitesime per 5

6 Infiniti e Infinitesimi Utilizzando il confronto tra infinitesimi nel calcolo di iti del tipo f +f g +g, dove f, f, g, g sono funzioni infinitesime per, si possono trascurare gli infinitesimi di ordine maggiore (analogo discorso per funzioni infinitesime ) Es tg = tg = e +sin sin Infiniti e Infinitesimi CONFRONTO TRA INFINITI Siano f() e g() infiniti per, ord(f) ord(g) f ( ) ord(f) ord(g) g( ) ord(f) ord(g) non esiste, f e g non confrontabili Stesso risultato se f() e g() sono infinite per 6

7 Infiniti e Infinitesimi Utilizzando il confronto tra infiniti nel calcolo di iti del tipo f +f g +g, dove f, f, g, g sono funzioni infinite per, si possono trascurare gli infiniti di ordine minore (analogo discorso per funzioni infinite ) Infiniti e Infinitesimi Esercizio. Calcolare il ite Si ha:

8 Infiniti e Infinitesimi Def. Si dice che due funzioni f, g sono asintotiche per se f ( ) g( ) e si scrive f~g per Es. sin ~ per ln(+) ~ per e -~ per Infiniti e Infinitesimi Gerarchia degli infiniti Per + si a log b, con,, a, b Non sempre è possibile calcolare l ordine di infinito (o di infinitesimo) rispetto alla funzione campione usuale. Es a a, loga, a,,, a 8

9 Infiniti e Infinitesimi Regole aritmetiche Siano f()=o( α ) (si legge «o piccolo di») e g()=o( β ) due funzioni infinitesime di ordine superiore rispettivamente ad α e a β per Allora si ha cf()= o( α ), c R Infiniti e Infinitesimi Regole aritmetiche Siano f() e g() due funzioni infinite di ordine rispettivamente α e β ord f ( ) g( ) ma(, Allora si ha ), ord f ( ) g( ), ord f ( ). f ( ) o( f ( ) g( ) o( ) ) f ( ) g( ) o( ), min(, ) 9

10 Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Esercizio Utilizzando il confronto tra infiniti, calcolare il ite Es. Calcolare il ite e cos sin ln( ) e 3 ln e

11 Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Es. Calcolare il ite Es. Calcolare il ite 3 e cos sin ln( ) Calcolare il ite e ln( ) e Calcolare il ite ln

12 Infiniti e Infinitesimi Es. Calcolare l ordine di infinitesimo di ciascuna funzione e poi calcolare il ite sin ( ( ) cos ) tg( ) Funzioni continue

13 Funzioni continue Funzioni continue Def. Una funzione f() è continua in, se: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ossia f() - f( ) ( f( )) : I (, ) Discontinuità a) Discontinuità einabile f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f() è stata prolungata per continuità ridefinita per continuità attraverso f () 3

14 Funzioni continue Funzioni continue Esempio di discontinuità einabile sen( ) f ( ) sen( ) f ( ) Discontinuità b) Discontinuità di prima specie (salto) f ( ) f ( ) 4

15 y Funzioni continue Esempio di discontinuità di prima specie C. E : R : Funzioni continue Discontinuità c) Discontinuità di seconda specie Se uno dei due iti non esite oppure è f ( ), y f ( ) 5

16 6 Funzioni continue Esercizio Dire se è continua in = la funzione così definita ) ( ln e f Funzioni continue Esercizio Dire per quali valori di k è continua la funzione così definita ) ( k f

17 Funzioni continue Esercizio Dire per quali valori di k la funzione f()è continua in = ln f ( ) k Funzioni continue Continuità della funzione composta Siano: g definita almeno in un intorno di e continua in, f definita almeno in un intorno di y =g( ) e continua in y, allora la funzione f(g()) è definita almeno in un intorno di ed è continua in : f ( g( )) f ( g( )) 7

18 Funzioni continue Funzioni continue Le funzioni elementari sono continue nel loro ampo di definizione, Somma, prodotto, quoziente (con denominatore diverso da zero) di funzioni continue danno funzioni continue, La composizione di funzioni continue è una funzione continua Il ite si calcola sostistuendo nell espressione analitica della funzione. Esercizio Calcolare il ite

19 Teorema della permanenza del segno Sia f() definita almeno in un intorno di e continua in. Se f( )> allora δ > : f ),. Dimostrazione. Fissato Funzioni continue: Teoremi ( f ( ) f ( ) : f ( ) f ( ), I(, ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Funzioni continue: Teoremi In particolare f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Se l=f( )=, non si hanno informazioni sul segno di f().. 9

20 Funzioni continue: Teoremi Teorema degli zeri Sia f() continua in [a,b]. f(a) f(b) < allora a, b : f ( ). Se f è anche strettamente monotona, lo zero è unico. Funzioni continue: Teoremi Teorema dell esistenza dei valori intermedi (conseguenza del teorema degli zeri) Una funzione f() continua in [a,b] assume tutti i valori compresi tra f(a) ed f(b).

21 Funzioni continue: Teoremi Funzioni continue: Teoremi Teorema di Wierstrass (sul ma e min) Sia f() continua in [a,b]. Allora f() assume massimo e minimo assoluto in [a,b], cioè, [ a, b]: f ( ) f ( ) f ( ) m M f ( ) minimo di f ( ) in [ a, b] f ( ) massimo di f ( ) in [ a, b] Una funzione f() continua in [a,b] assume tutti i valori compresi tra il minimo(m) e il massimo (M)

22 Funzioni continue: Teoremi Es. y= e - ε, ma e, min e [,] e Es. Funzioni continue: Teoremi y, (,] Il teorema di Weierstrass non è applicabile: l intervallo non è chiuso. f() non è itata superiormente

23 Es. Funzioni continue: Teoremi y, [, ) Il teorema di Weierstrass non è applicabile: l intervallo non è itato. f() è itata ma non ammette minimo, inf [, ) Funzioni continue: Teoremi Criterio di invertibilità Una funzione continua e strettamente monotona in [a,b] è invertibile in tale intervallo. Dimostrazione. Supponiamo che f() sia sterttamente crescente in [a,b], si ha f ( a) f ( ) f ( b), f(a)=minimo, f(b)=ma. Per il teorema dei valori intermedi: [ f ( a), f ( b)], [ a, b]: f ( ) e tale è unico. y 3

24 Infatti se Funzioni continue: Teoremi, : : y f ( ) f ( ) si ottiene un assurdo perché per ipotesi f ( ) f ( ) Quindi f() è iniettiva e percio invertibile. Inoltre la funzione inversa di una funzione continua e continua 4