Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

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1 5//5 Calcolo dierenziale per unzioni di una variabile Derivata di una unzione De. Sia : a,br, si deinisce derivata di nel punto a,b il numero, se inito,: d dy, y,,, D, Dy d d

2 5//5 Derivata di una unzione Siniicato eometrico della derivata in un punto e equazione della retta tanente Sia a, b: + a, b rapporto incrementale tβ coe. anolare di r y + B. r A. β α a O = + b Derivata di una unzione Siniicato eometrico della derivata in un punto e equazione della retta tanente Quando : t t Y retta tanente t coe. anolare di t + A.. B r retta secante a O α + b X

3 5//5 y Derivata di una unzione Siniicato eometrico della derivata in un punto e equazione della retta tanente Equazione della retta tanente al raico di nel punto di t ascissa : Y retta tanente t Inatti tra tutte le rette del ascio proprio passanti per A, di eq. y m A per m si ottiene l equazione di t a b Derivata di una unzione Se è deinita a,b allora è derivabile in a,b e risulta deinita la unzione : a, b R detta derivata prima di è derivabile in [a,b], se è derivabile a,b e ammette derivata destra in = a e derivata sinistra in = b si scrive si scrive b a 3

4 5//5 4 Derivata destra Derivata sinistra Se è derivabile in Derivata di una unzione Deinizione Teorema. Sia : a,br. Se è derivabile in a, b allora è continua in. Dimostrazione Sia Derivata di una unzione Continuità e derivabilità :,, b a e Da cui Ce è la continuità di in

5 5//5 Derivata di una unzione Continuità e derivabilità Quindi derivabilità continuità Non è vero il viceversa Es. y= è continua ma non è derivabile in =. Inatti y e y Se Derivata di una unzione Punti di non derivabilità e almeno una inita si dice punto anoloso, in quanto le rette tanenti alla nel punto di ascissa ormano un anolo. Es. = 5

6 5//5 Derivata di una unzione Y Punto anoloso X Se Derivata di una unzione Punti di non derivabilità sono si dice punto cuspide; la retta tanente alla nel punto di ascissa è verticale. Y X 6

7 5//5 Derivata di una unzione Punti di non derivabilità Se sono si dice punto di lesso a tanente verticale; la retta tanente alla nel punto di ascissa è verticale. Y X Derivata di una unzione Punti di non derivabilità Es. y 3 7

8 5//5 Derivata di una unzione Punti di non derivabilità Es. y Derivata di una unzione Derivata delle unzioni elementari n n D n Dlo a lo D a a ln a Dsin cos Dcos sin a e D k Dln D e e D t t cos 8

9 5//5 9 arcsin D arct D arccos D Derivata di una unzione Derivata delle inverse delle unzioni trionometrice Derivata di una unzione Esercizio Utilizzando la deinizione calcolare la derivata di =k. k k =e e e e

10 5//5 Derivata di una unzione 3 =ln. ln ln ln Derivata di una unzione 4 =cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin sin

11 5//5 Derivata di una unzione 5 =sin sin sin sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos Derivata di una unzione Alebra delle derivate Se e sono derivabili in, allora sono derivabili in ance la somma, la dierenza, il prodotto, il quoziente con il denominatore e si a: a b c,

12 5//5 Alebra delle derivate Dimostriamo la b Derivata di una unzione Alebra delle derivate Per ipotesi e sono derivabili, quindi continue in, perciò: Derivata di una unzione,

13 5//5 Derivata di una unzione Esercizio. Calcolare la derivata di sin cos ln sin ln Scrivere l equazione della retta tanente alla curva di eq 3 e nel punto di ascissa = e 3 e 3 3 Derivata di una unzione Teorema di derivazione della unzione composta Sia una unzione derivabile in, e se è una unzione derivabile nel punto, allora la unzione composta è derivabile in, e si a: [ ] 3

14 5//5 Derivata di una unzione Teorema di derivazione della unzione composta Dimostrazione. Se si a in quanto se allora k con k, essendo continua in. Se =, il teorema continua a valere. Derivata di una unzione Esercizio. Calcolare la derivata di cos cot sin lnsin. Calcolare la derivata di 3 e. e

15 5//5 Derivata di una unzione Esercizio. 3Calcolare la derivata di sinln. cosln Derivata di una unzione Esercizio. Scrivere l equazione della retta tanente alla curva di 3 equazione e nel punto di ascissa = Eq. retta tan. a in = : y Per noi = 3 e e e Quindi l equazione è: y 3 3 5

16 5//5 Derivata di una unzione Teorema di derivazione della unzione inversa Sia una unzione continua e strettamente monotona in [a,b]. Se è derivabile in a,b e se, allora ance la unzione inversa - è derivabile nel punto y =, e la derivata vale: [ y ] Derivata di una unzione Teorema di derivazione della unzione inversa Dimostrazione. Si a y k k y Y y +k= + y = k Se k ance in quanto - è continua + X 6

17 5//5 Derivata di una unzione Esercizio. Utilizzando il teorema di derivazione della unzione inversa, calcolare la derivata della unzione inversa di sin, In si a y sin arcsin y y cos sin y Derivata di una unzione Perciò, per il teorema della derivata della unzione inversa si a y y arcsin y Scambiando con y: arcsin 7

18 5//5 Derivata di una unzione Es. Calcolare la derivata della unzione y e, vista come unzione inversa di ln. y Per, si a y e ln Perciò, per il teorema della derivata della unzione y y inversa si a y e e Quindi e e Derivata di una unzione Es. Utilizzando il teorema di derivazione della unzione inversa, dimostrare ce arct. Sia t, in si a, y arcty t t Perciò, per il teorema della derivata della unzione inversa si a y arcty t y 8