Studio di funzione appunti

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1 Studio di unzioni algebriche ratte Studio di unzione appunti 1. Ricerca del dominio (C.E.);. Intersezioni con gli assi cartesiani; 3. Ricerca degli intervalli di positività (Studio del segno S.D.S.); 4. Ricerca degli asintoti (uso dei iti); a. Asintoti Verticali (A.V.); b. Asintoti Orizzontali (A.O.); c. Asintoti Obliqui (A. Ob.); 5. Ricerca di massimi e minimi relativi, di lessi a tangente orizzontale e degli intervalli di nza e nza (uso della derivata prima); 6. Ricerca degli intervalli di concavità e convessità e dei lessi a tangente obliqua (uso ella derivata seconda); 7. Realizzazione del graico cartesiano. 1. Ricerca del Dominio Una unzione algebrica ratta è del tipo La curva rappresentante la unzione assume i l grado massimo tra e y g Ad esempio la unzione della x + x 6 y con e g g polinomi nella variabile reale x. x + x 6 y rappresenta una curva di terzo grado essendo il grado x 1 y g x y x 1 x y e 3 il grado della ( ) ( ) y Il dominio di una unzione algebrica ratta si trova ponendo g Gli intervalli soluzione della inequazione precedente ormano il domino della unzione y.. Intersezione con gli assi Prima di studiare il segno della unzione è conveniente conoscere i punti nei quali il graico della unzione interseca gli assi cartesiani. La curva può incontrare l asse x delle ascisse in più punti mentre l asse y delle ordinate verrà intersecato, al più, una volta sola. Ciò signiica che intersecando l equazione della unzione con l asse x la cui equazione è y - si potrebbe trovare un equazione le cui soluzioni x rappresentano le ascisse dei punti di intersezione, mentre intersecando l equazione della unzione con l asse y di equazione x - si trova al più un punto. Per determinare le intersezioni con l asse x delle ascisse bisogna risolvere il sistema: vincenzo scudero 1

2 y g y che equivale all equazione Per determinare le intersezioni con l asse y delle ordinate bisogna risolvere il sistema: y g x che, compatibilmente al C.E., determina il punto di coordinate ( ; ( ) ) 3. Studio del segno Lo studio del segno di una unzione permette di determinare gli intervalli del dominio nei quali la unzione assume valore positivo e, conseguentemente, quelli in cui assume valori negativi. Ciò serve a determinare le zone del piano cartesiano dove tracciare il graico della unzione ed evita di dover distinguere ite destro e sinistro per lo studio successivo degli asintoti verticali. Per studiare i segno della unzione y bisogna porre g g > e studiare la disequazione. Gli intervalli soluzione della disequazione rappresentano gli intervalli di positività, gli intervalli complementari rispetto al dominio quelli di negatività. Es. x 1 La unzione y è deinita in tutta la retta reale ad esclusione del punto [C.E. x ] x Studiamone il segno x x 1 > ; N D > ; x 1 > x > vincenzo scudero

3 Come si evince dal graico della disequazione la unzione assume valori positivi prima di 1 e dopo, mentre assume valori negativi tra 1 e. Entrambi dli estremi sono esclusi (in x1 la unzione è nulla, in x la unzione non esiste.). I punti ) e 3) si possono riassumere nel modo seguente > y < x < 1 x 1 1 < x < 4. Ricerca degli asintoti a) Asintoti Verticali Gli asintoti verticali (A.V.) sono rette parallele all asse y verso cui il graico tende al tendere di x verso un punto escluso dal dominio (punto isolato o estremo escluso). Per determinare gli eventuali A.V. bisogna calcolare tanti iti quanti sono i punti isolati o gli estremi esclusi dal dominio. il ite tende a ininito si ha asintoto verticale. Ovvero x c ± c g allora la retta di equazione è un A.V. b) Asintoti Orizzontali Gli asintoti orizzontali (A.O.) sono rette parallele all asse x verso cui il graico tende al tendere di x verso ininito. Per determinare gli eventuali A.O. bisogna calcolare il ite della unzione per x tendente a meno ininito (asintoto orizzontale sinistro A.O.Sx) e il ite x tendente a più ininito (asintoto orizzontale destro A.O.Dx). Il valore del ite deve essere un numero reale. Ovvero k y k g allora la retta di equazione è A.O.Sx h y h + g allora la retta di equazione è A.O.Dx I due asintoti possono coincide, in tal caso si parla di Asintoto Orizzontale. c) Asintoti Obliqui Gli asintoti obliqui (A.Ob.) sono rette non parallele agli assi cartesiani verso cui il graico tende al tendere di x verso ininito. Gli asintoti obliqui possono esistere solo se non ci sono i rispettivi asintoti orizzontali. Per determinare gli eventuali A.Ob bisogna calcolare due iti. Il primo determina il coeiciente angolare dell asintoto e deve essere un valore reale diverso da zero; il secondo vincenzo scudero 3

4 determina il termine noto dell equazione dell asintoto e deve essere un numero reale (può essere anche zero). Ovvero, la retta y mx + q è asintoto obliquo se è possibile determinare (vale anche per x tendente a meno ininito): m y x g 1 x m R ; m e q ( y mx) g mx q R 5. Ricerca dei Massimi e Minimi relativi, dei Flessi a tangente orizzontale, degli intervalli di nza e nza. La ricerca degli estremi relativi e dei punti di nza e nza della unzione si svolge utilizzando la derivata prima ricordando che nei punti stazionari la derivata prima è nulla, che nei punti nei quali la unzione la derivata prima è positiva e, inine, nei punti di desnza della unzione la derivata prima è negativa. Si procede, quindi, studiando la disequazione y' che, nel nostro caso, diventa g g' [ g ] ovvero g g' La natura dei punti nei quali la derivata prima si annulla si evince dallo studio del graico della disequazione dal quale è possibile conoscere anche gli intervalli di nza e nza come mostrato dalla seguente tabella: x < c x c c estremo relativo > < xc x des max relativo < > xc x min relativo > > xc x lesso nte < < xc x lesso desnte vincenzo scudero 4

5 6. Ricerca degli intervalli di concavità e convessità e dei lessi a tangente obliqua Per la ricerca dei lessi obliqui e degli intervalli di concavità o di convessità si utilizza la derivata seconda della unzione. E noto, inatti, che lo studio della derivata seconda ornisce indicazioni circa la natura dei punti dove tale derivata è positiva, nulla o negativa. Si procede, dunque, allo studio della seguente disequazione: y' ' La natura degli intervalli e dei punti nei quali la derivata seconda si annulla si evince dallo studio del graico della disequazione secondo quanto indicato dalla seguente tabella: x c c estremo relativo ' > ' < xc convessità concavità lesso obliquo ' < ' > xc concavità convessità lesso obliquo > > xc x lesso nte < < xc x lesso desnte 7. Realizzazione del graico cartesiano. Dopo aver preso nota di tutte le inormazioni relative all andamento della unzione (dal dominio agli intervalli di concavità) è possibile tracciare il graico della unzione stessa. La curva dovrà rispettare tutte le indicazioni che abbiamo ottenuto dallo studio precedente. vincenzo scudero 5