Studio di una funzione razionale fratta

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1 Studio di una funzione razionale fratta Nella figura è rappresentata la funzione 1. Quale tra gli insiemi proposti è il suo CDE? 2. La funzione presenta un asintoto verticale di equazione... x = 0 x = 1 interseca l'asse x nel punto (-1/2,0) interseca l'asse x nel punto (1/2,0) interseca l'asse x nel punto (0,0) 4. In quale tra gli insiemi proposti, la funzione risulta positiva?

2 Nella figura è rappresentata la funzione 1. Quale tra gli insiemi proposti è il suo Dominio? 2. La funzione presenta un asintoto verticale di equazione... x = 0 x = -1 interseca l'asse x solo nel punto (1/2,0) interseca l'asse x nei punti (1,0) e (3/2,0) interseca l'asse x nel punto (0,0) 4. In quale tra gli insiemi proposti, la funzione risulta positiva?

3 Nella figura è rappresentata la funzione 1. Quale tra gli insiemi proposti è il suo dominio? 2. La funzione presenta un asintoto verticale nel punto x=0 VERO FALSO interseca l'asse x nel punto (0,0) interseca l'asse x nel punto (1,0) interseca l'asse x nel punto (-1,0) 4. In quale tra gli intervalli proposti, la funzione risulta positiva? 5. A quale valore corrisponde il limite infinito della funzione: 0

4 Nella figura è rappresentata la funzione 1. Quale tra gli insiemi proposti è il suo dominio? 2. La funzione presenta un asintoto verticale nel punto x = - 5 VERO FALSO interseca l'asse x nel punto (- 4,0) interseca l'asse x nel punto (4,0) interseca l'asse x nel punto (- 4,0) e (4,0) d) non ínterseca l'asse x 4. In quale tra gli insiemi proposti, la funzione risulta positiva? nessuno dei precedenti d) 5. A quale valore corrisponde il limite destro della funzione: 0 nessuno dei precedenti d)

5 Nella figura è rappresentato un ramo della funzione 1. Quale tra gli insiemi proposti è il suo dominio? d) 2. La funzione presenta un asintoto verticale nel punto x = 3 VERO FALSO interseca l'asse x nel punto (- 3,0) interseca l'asse x nel punto (3,0) interseca l'asse x nel punto (- 3,0) e (3,0) 4. In quale tra gli insiemi proposti, la funzione risulta negativa? mai sempre 5. A quale valore corrisponde il limite sinistro della funzione: 3

6 STUDIO DI FUNZIONE RAZIONALE FRATTA Passo dopo passo y = g( x) CALCOLO CAMPO D ESISTENZA Il campo di esistenza è sempre x R { g( x) = 0} Quindi la prima cosa da fare è porre g( x) 0 e trovare le soluzioni che non si annullano. Queste soluzioni vanno inserite nella parentesi graffa POSITIVITA DELLA FUNZIONE ( y >0) Bisogna porre tutta la funzione y = >0. g( x) Poiché è una fratta, allora bisogna applicare la regola del segno e cioè > 0 g( x) > 0 Conosciute le soluzioni delle due singoli funzioni, si mettono insieme tali soluzioni e si vede dove la funzione y = ha segno positivo (positività della funzione) e dove invece ha segno meno g( x) (funzione che passa per il campo negativo) LIMITI Bisogna calcolare i seguenti limiti: 1. lim y =... x + 2. lim y =... x Ricorda che per x ± devo vedere il grado delle funzioni e g( x ) Se il grado della funz. f è maggiore del grado della funz. g allora il limite è ± Se il grado della funz. f è minore della funz. g allora il limite è 0 Se i gradi delle funzioni sono uguali allora si prende il coefficiente (numero) che sta davanti alla x di grado maggiore (della funz. f) e quello che sta davanti alla x di grado maggiore (della funz. g). Il risultato è il numero che è rapporto dei due coefficienti. 3. lim y =... x punti _ discontinuità Ricorda che: + n + + = + = + + = = 0 0n 0n 0n

7 ASINTOTI 1. Se il limite lim y = n (cioè la x va a ± mentre il risultato è un numero) x ± Allora la funzione ha un ASINTOTO ORIZZONTALE (la retta orizzontale y=n) 2. Se il limite lim y x n = ± (cioè la x -> numero n mentre il risultato è ± ) Allora la funzione ha un ASINTOTO VERTICALE (x= n) 3. Se non esiste asintoto orizzontale, dobbiamo cercare un eventuale ASINTOTO OBLIQUO. Se il limite: lim = m e mx = q (con m finito 0 e q finito) x ± x g( x) xlim ± g ( x ) Allora la retta y = mx + q è un asintoto obliquo MASSIMI E MINIMI ( y ' >0) (crescenza e decrescenz Si calcola la derivata prima della funzione fratta (derivata del rapporto) e si pone il g( x ) risultato >0. Con la regola del segno, si vede dove la funzione y ' è positiva (crescenza ) e dove è negativa (decrescenza ). Il punto valle è il minimo, il punto monte è il max. FLESSI ( y '' >0) (concavità e convessità) Si calcola la derivata seconda della funzione fratta (derivata del rapporto) e si pone il g( x ) risultato >0. Con la regola del segno, si vede dove la funzione y '' è positiva (convessità ) e dove è negativa (concavità ). Il punto valle o il punto monte è il flesso.