ASINTOTI. Si chiama ASINTOTO di una funzione una retta alla quale la funzione si avvicina senza mai toccarla.

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1 ASINTOTI Si chiama ASINTOTO di una funzione una retta alla quale la funzione si avvicina senza mai toccarla. Ad esempio: La funzione y=e x ha un asintoto orizzontale: l asse x, cioè la retta y=0. La funzione y=ln(x) ha un asintoto verticale: l asse y, cioè la retta x=0. Per trovare gli asintoti di una funzione occorre calcolare: 1) il DOMINIO e scriverlo con gli intervalli. Es: (-,c)u(c,+ 2) i iti per x che tende agli estremi finiti del Dominio (ad es per x c -,x c + ) 3) i iti per x che tende agli estremi infiniti del Dominio (per x -,x + ) A seconda dei risultati ottenuti si possono ottenere: TRE TIPI DI ASINTOTI VERTICALE ORIZZONTALE OBLIQUO x=c y=mx+q Tutorial di Barberis Paola y =!

2 ASINTOTO VERTICALE Sia y=f(x) definita in un Dominio D con x c. SE, per x che tende a c da sin/des (x c -,x c + ), f(x) tende a ± Allora c è asintoto verticale x=c In simboli: ASINTOTO VERTICALE x = c y x = c Come esempio considero una funzione omografica: x y = 3x + 1 x! 2 Calcolo iti attorno al valore finito 2 f (x) = " x!c ± 3x + 1 x!2 x " 2 = 7 0 = "# " " 3x + 1 x!2 x " 2 = 7 0 = +# + + Poiché il risultato è c è asintoto verticale: x=2 DA SAPERE: Nelle funzioni razionali fratte c è AsintotoVerticale x=c in corrispondenza dei valori che annullano il denominatore SE D:(-,2)U(2,+ )

3 Sia y=f(x) definita in D e sia un estremo del Dominio SE, per x che tende ad - /+ la funzione f(x) tende a allora c è asintoto orizzontale In simboli: ASINTOTO ORIZZONTALE y =! ASINTOTO ORIZZONTALE y =! SE! f (x) =! x!±" y y =! x Esempio: y = 3x + 1 x! 2 Calcolo iti a + D:(-,2)U(2,+ ) x!±" f (x)! 3x x = 3 Poiché il risultato è finito, c è asintoto orizz: y=3 DA SAPERE: Nelle funzioni razionali fratte c è Asintoto Orizzontale quando : - grado numeratore uguale al grado denominatore ( y =!) oppure - grado numeratore minore del grado denominatore (in tal caso l asintoto orizzontale è y=0 )

4 Sia y=f(x) definita in D e sia ± un estremo del Dominio. SE a) per x la funzione tende a infinito b) e per x il rapporto f(x)/x tende ad un valore finito m allora c è asintoto OBLIQUO y=mx+q In simboli: y ASINTOTO OBLIQUO y=mx+q ASINTOTO OBLIQUO x SE f (x) = " x!" ( ) f x m = x!" b) x Dopo aver trovato m, ricavo q q = f x x!" ( ) # mx $ % &' RISPOSTA : Asintoto obliquo y=mx+q Esiste m finito e non nullo DA SAPERE: Nelle funzioni razionali fratte c è asintoto obliquo solo se il grado del numeratore supera di 1 quello del denominatore. Solo in tal caso i termini del rapporto f(x)/x diventano di ugual grado per cui il ite per x ha risultato finito m a)

5 Schema Asintoti y=f(x) Trovo il Dominio e Calcolo i iti agli ESTREMI del D SE SE SE f (x) = " x!c ± x!±" f (x) =! f (x) = " x!±" E trovo Asintoto VERTICALE x=c Asintoto ORIZZONTALE m = x!" q = f x x!" f ( x) x ( ) # mx $% &' finito 0 y =! Asintoto OBLIQUO y=mx+q

6 ESEMPIO 1 (!",+4) # (+4,+") y = x! 10 x! 3 2) CALCOLO I LIMITI SINISTRO E DESTRO PER x CHE TENDE A +4 : x " 10 x!+3 x " 3 = "7 0 = +# " " x " 10 x!+3 x " 3 = "7 0 = "# + + 3) CALCOLO I LIMITI PER x CHE TENDE A ± x # 10 x!+" x # 4 = " " F.I.! x x!+" x = 1 x " 10 x!"# x " 4 = # # F.I.! x x!"# x = 1 Poiché il risultato è - e + c è Asintoto Verticale x=+4 uso il metodo del rapporto tra gli infiniti di ordine superiore ottengo ite finito 1 quindi c è As. Orizzontale y=1

7 ESEMPIO 2 (-,4)U(4,+ ) y = 7 x! 4 2) CALCOLO I LIMITI agli estremi del dominio Limiti attorno a 4 7 x!4 " x " 4 = 7 4 " " 4 = 7 0 = "# " 7 x!4 + x " 4 = " 4 = 7 0 = +# + Limiti per x-->± x!"# x!+" 7 x " 4 = 7 "# " 4 = 7 "# = 0" 7 x # 4 = 7 +" # 4 = 7 +" = 0+ Asintoto verticale x=4 Asintoto orizzontale y=0 rappresentazione grafica

8 ESEMPIO 3 (!",!8) # (!8,+") y = 3x x ) CALCOLO I LIMITI SINISTRO E DESTRO PER x CHE TENDE A -8 : x!+" x!#" x!"8 " x!"8 + 3x x x + 16 = "9 0 = +# " 3x x + 16 = "9 0 = "# + 3) CALCOLO I LIMITI PER x CHE TENDE A + e - 3x 2x + 16 = " " F.I.! x!+" 3x x 2x + 16 = " " F.I.! x!#" Poiché il risultato è - e + c è Asintoto Verticale x=-8 2x = 3 2 2x = 3 2 uso il metodo del rapporto tra gli infiniti di ordine superiore Poiché ottengo ite finito 3/2 c è Asintoto Orizzontale y=3/2

9 ESEMPIO 4 (!",0) # (0,+") y = x + 3 x 2 2) CALCOLO I LIMITI SINISTRO E DESTRO PER x CHE TENDE A 0 : x + 3 = +3 x!0 x 2 0 = +# + " x + 3 = +3 x!0 x 2 0 = +# + + 3) CALCOLO I LIMITI PER x CHE TENDE A ± x + 3 x!±" x 2 Poiché i iti hanno per risultato c è Asintoto Verticale x=0 = " " F.I.! x x!±" x = 1 2 x!±" x = 1 ±" = 0± uso il metodo del rapporto tra gli infiniti di ordine superiore Poiché il risultato dei iti è ZERO, valore finito, c è Asintoto Orizzontale y=0

10 ESEMPIO 5 (!",+") y = 7x x ) Non ci sono valori c finiti esclusi dal Dominio quindi non ci sono asintoti verticali 3) CALCOLO I LIMITI per x che TENDE a + e - : 7x2 + 4 x!+" 3x = " " F.I.! 7x2 x!+" 3x = x2 + 4 x!#" 3x = " " F.I.! 7x2 x!#" 3x = Poiché ottengo ite finito 7/3 C è Asintoto Orizzontale y=7/3.

11 ESEMPIO 6 (!",1) # (1, 3) # (3,+") y = x! 5 x 2! 4x + 3 2) LIMITI sinistro e destro PER x 1 x " 5 x!1 x 2 " 4x + 3 = "4 0 = "# + " x " 5 x!1 x 2 " 4x + 3 = "4 0 = +# " + Ci sono due Asintoti Verticali: x=-1 e x=3 3) CALCOLO I LIMITI PER x CHE TENDE A ± 2) LIMITI sinistro e destro PER x 3 : x " 5 x!3 x 2 " 4x + 3 = "4 0 = +# " " x " 5 x!3 x 2 " 4x + 3 = "4 0 = "# + + x + 3 x!±" x 2 = " " F.I.! x x!±" x = 1 2 x!±" x = 1 ±" = 0± Poiché ottengo ite finito 0 c è Asintoto Orizzontale y=0

12 ESEMPIO 7 (!",4) # 4,+" ( ) y = x2 + 3x x! 4 2) CALCOLO I LIMITI SINISTRO E DESTRO PER x CHE TENDE A 4 : x2 + 3x x!4 x " 4 = 28 0 = "# " " x2 + 3x x!4 x " 4 = 28 0 = +# + + 3) CALCOLO I LIMITI PER X CHE TENDE A + e - x2 + 3x x!±" x # 4 m = = x2 x!#" x = x x!±" 1 = ±" x2 + 3x x!"# x 2 " 4x = x2 x!"# x Poichè il risultato è, c è Asintoto Verticale x=4 Non c è asintoto orizzontale MA può esserci As. obliquo y=mx+q m finito e diverso da 0 = 1 2 quindi c è As. Obliquo. Trovo q q= x2 + 3x & x!"# $ % x " 4 " 1x ' ) ( = x!"# x2 " 3x " x 2 + 4x x " 4 = 1 ASINTOTO OBLIQUO y=1x+1

13 ESEMPIO 8 x2 + 1 x!±" x # 3 = x2 x!±" x = x = ±". (!",3)! 3,+" ( ) y = x x 2 + 1! 3 2) CALCOLO I LIMITI SINISTRO E DESTRO PER x CHE TENDE A 3 : x2 + 1 x!3 x " 3 = 10 0 = "# " " x2 + 1 x!3 x " 3 = 10 0 = +# + + Poichè il risultato è ±, c è asintoto Verticale x=3 3) CALCOLO I LIMITI PER X CHE TENDE A + e - m = f (x) x!+" x q= f x x!+" x!+" $ = ( ) # mx x2 + 1 x!+" x 2 # 3x = x2 x!+" x =1 2 $ % &' = x!+" x2 + 1# x 2 + 3x ( % x # 3 $ x2 + 1 ( % In questo caso non c è asintoto orizzontale MA può esserci l asintoto obliquo y=mx+q x # 3 # 1x 1 & ) ' = 3x + 1 x!+" x # 3 & ) ' = x!+" m finito e diverso da 0, quindi c è As. Obliquo ( ) x2 + 1# x x # 3 x # 3 = 3 As. OBLIQUO y= 1x+3 =