CORREZIONE DEL COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA

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1 CORREZIONE DEL COMPITO IN CLASSE DI MATEMATICA n. (8 dicembre 009) PROBLEMA Punto a b = ( f '( ) = 0 a( b( (*) = a( b( da cui: a b a 9b = = a 9 5 passaggio per, a 5 = f ' uguale a zero 5 5a b = a b = 0 b = 0 6 a a a a 9 = = 0 5 a = b b a = b a 5 = = 6 6 Punto La funzione ottenuta è quindi 6 5 = (, che può anche essere espressa nella forma: 6 5 ( 6( 5 = = ( ( =. ( Andiamo a studiare la e a tracciarne il grafico γ. Dominio: { } Eventuali simmetrie particolari: Essendo il dominio asimmetrico, la funzione non è ovviamente né pari né dispari. Intersezioni con gli assi: y = ( = 0 nessuna soluzione reale ( Δ<0) non ci sono le intersezioni y = 0 con l asse delle ascisse. y = ( A( 0, è l intersezioni con l asse delle ordinate. = 0 Studio del segno: = > 0 per ( ( e quindi > 0 per.

2 Comportamento agli estremi del dominio e nell intorno completo dei punti di discontinuità: Si ha: lim lim = = e ( 5 lim lim = ( 0 = Asintoti: Poiché lim = ( Poiché =. la funzione presenta un asintoto orizzontale di equazione y =. lim = la funzione presenta un asintoto verticale (di ordine pari) ; di equazione ( Derivata prima: Sostituendo in(*) oppure con i seguenti calcoli, si ha: ( )( ) ( )( ) ( ) f '( ) = = = 4 ( ( ( ne segue che: 6 4 f '( ) = = 0 per ( =. Crescita e decrescita: 6 4 f '( ) = > 0 la funzione è crescente per < < ( e quindi si avrà un minimo per Derivata seconda: f '( ) m ; f = 5. 6( ( ( 6 4) ( ) f ''( ) = = = = ; ( ( ( ( ne segue che: 6( ) f ''( ) = = 0 per ( 4 =. Concavità e convessità: 6( ) f ''( ) = > 0 la funzione è concava verso l alto ( 4 e quindi si avrà un flesso in Il grafico è riportato in figura. f ''( ) F ; f = 5. / / per < ê, ;

3 Punto Il punto di ascissa =0 è l intersezioni della funzione con l asse delle ordinate, cioè il punto A (0, ; poiché la retta tangente t ad una funzione nel punto P( 0, y 0 ) ha equazione: y y0 = f '( 0)( 0 ), si ha intanto: f '( ) = f '(0) = = 4, ( ( 0 che è quindi il coefficiente della retta tangente alla curva in A; ne segue: t : y = 4( 0 ) t : y = 4. Calcoliamo ora l area del triangolo che la tangente t forma con gli asintoti. Dall intersezione della retta t con gli asintoti si ha: y = 4 B(, 5) = e: y = 4 C, y = 4. Inoltre il punto di intersezione degli asintoti è P(, ), per cui l area del triangolo PCB è: S( PCB) PC PB ( C P )( yb yp ) 9 = = = ( 5 ) =. 4 8 Punto 4 y = ( = k( ( k) ( k k= 0, y = k con k>, k ; ricordando le relazioni che intercorrono tra le radici 5 e di un equazione di secondo grado ed i suoi coefficienti a, b e c, si ha:

4 b ( k c k = = e = =. a k a k La quantità S, della quale dobbiamo calcolare il valore e dimostrare la sua indipendenza dal parametro k, si può scrivere: ( ( ) S = S = = = ( ( ( ( ), e sostituendo le relazioni sopra trovate: ( k k 4 k ( ) 6 S = = k = k. ( ) k ( k k k k = 5 k k k QUESTIONARIO Quesito n. Le quattro parabole si incontrano nell origine O (0, 0) e nei punti: (,, ) (,, ) (,, ) (, che appartengono anche alle bisettrici degli assi (che per simmetria dividono a metà ciascuna delle quattro aree racchiuse da due parabole simmetriche proprio rispetto alle bisettrici); considerando ad esempio l area S racchiusa tra la retta y = e la parabola y = si ha: S = a( = ( 0 ) = Essendo l area A del quadrifoglio uguale a 8S si ha: 4 A = 8 S = 8 =. 6 Quesito n. Se vogliamo che la curva di equazione: y = k 4 abbia nel punto d ascissa = la tangente orizzontale si deve porre f '( = 0 ; si ha: y' = k da cui y'( = k = 0 k=. La funzione (cubica) diviene: y = 4. Per determinare le coordinate del suo flesso dobbiamo trovare la derivata seconda; si ha: y' = y" =. La derivata seconda si annulla per = 0 e dalla concavità e convessità (oppure ricordando che nelle cubiche il valore che annulla la derivata seconda è sicuramente l ascissa del punto di flesso), si hanno le coordinate del flesso F( 0, f ( 0) = 4 ) Quesito n. Si hanno tre specie di discontinuità: Dominio: Df ( ) = { 0 } Per = 0 lim = = = = a) y =

5 lim = = = = 0 ; 0 0 ne segue che essendo i limiti sinistro e destro finiti ma diversi, si ha una discontinuità di I specie con salto uguale ad. Per = lim = = = discontinuità di II specie; si ha inoltre: 0 lim = = = 0 b) y = 4 Dominio: Df ( ) = { } Per = 0 lim = f.i. 4 0 lim = lim = ( )( 0 lim = f.i. 4 0 lim = lim = ; ( )( Ne segue che la funzione non esiste per =, ma esiste finito il suo limite, per cui in = si ha una discontinuità eliminabile e la funzione può essere ridefinita come: = per 4 y = per = Per = lim = = ( )( 0 discontinuità di II specie; si ha inoltre : lim = = ( )( 0 Quesito n. 4 ln( ) 0 a) lim = f.i. 0 cos 0 Ricordando che, quando 0, per gli infinitesimi equivalenti si ha: ln ln e ( ) ( ) cos, si ha: ln( ) lim = lim = 6. 0 cos 0

6 b) lim = f.i. Dal limite fondamentale:. dalla divisione dei polinomi: si ottiene: lim = e =, oppure: e = = = lim lim lim e = = = Quesito n. 5 Dalla intersezione grafica delle funzioni y = e = e y = si e ricava l unicità della soluzione, compresa tra 0 ed, dell equazione e = 0. Per calcolare un approssimazione a meno di utilizziamo il teorema 4 dell esistenza degli zeri. Tale teorema è utilizzabile in quanto (ricordare il teorema dell esistenza degli zeri) compito mat5 a.s e = 0 da cui: y = e Ampiezza intervallo err = /4 err=0,5 a b (ab)/ f(a) f(b) f((ab)/) b-a b-a<err? numero bisezioni 0,00000, , , ,6-0,065,00000 no 0,50000, , ,065 0,6 0,776 0,50000 no 0, , ,6500-0,065 0,776 0, ,5000 no 0, ,6500 0,5650-0,065 0, ,0078 0,500 stop 0,50000 per difetto oppure si prende il punto medio dell'intervallo FINALE 0,5650 0,6500 per eccesso o meglio = 0,56 N. B. L'intervallo di partenza può essere dato o da trovare graficamente. formula: (b-a)/^n<err n> ln((b-a)/err) Per trovare il numero delle bisezioni ln Se l'ampiezza dell'intervallo è uguale ad el'errore minore di 0,5, si ha: n> 0-ln(/4) = ln(4) =,869,000 cioè n> ln ln 0,69478 in questo caso infatti si hanno bisezioni Se l'ampiezza dell'intervallo è uguale ad, e l'errore minore di 0,, si ha: n> 0- ln(/0) = ln(0) =,059,9809 cioè n> ln ln 0,69478 in questo caso infatti si hanno 4 bisezioni