Tema 1: esercizi. 1. Studiare la funzione seguente e tracciarne un grafico qualitativo. + = Soluzione 1) Dominio x ( ) { }

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1 Tema : esercizi. Studiare la funzione seguente e tracciarne un grafico qualitativo. ) Dominio ( ) { } R \ f Dom ) Intersezione con gli assi impossibile per il dominio ± e si ottiene ancora ( ) ; e ( ) ; ) Positività < 4) Limiti asintoto verticale ± Non esistono asintoti orizzontali. ± m ± q

2 asintoto obliquo. 5) Derivata prima Dom ( f ) Dom( f ) \ { } sempre verificata La funzione è sempre crescente 6) Grafico. Studiare la funzione seguente e tracciarne un grafico qualitativo. ( )

3 ) Dominio Dom ( f ) R > Poiché per il denominatore si ha ( ) ( ) ) Intersezione con gli assi sempre verificata ( ) impossibile per il dominio ( ) ( ) ( ;) ) Positività ( ) 4) Limiti A causa del dominio della funzione non è possibile studiare il ite per ( ) asintoto verticale ( ) asintoto orizzontale. e. 5) Derivata prima Dom ( f ) Dom( f ) \ { } ( ) ( ) e e

4 e e m M la funzione la un punto di minimo in e mentre ha un massimo in e. La funzione è sempre crescente 6) Grafico Calcoliamo il valori negli estremi: f e f ( e) Tema : esercizi. Studiare la funzione seguente e tracciarne un grafico qualitativo.

5 ( ) e ) Dominio Dom ( f ) R \ { } ) Intersezione con gli assi ( ) e e ( ; e ) ( ) e ( ) e ( ) ( ;) ) Positività ( ) e (con per il dominio) 4) Limiti A causa del dominio della funzione non è possibile studiare il ite per e. ( ) e ( ) e asintoto verticale ( ) e ( ) e Non esiste l asintoto orizzontale. m ± ( ) e q ( ) e asintoto obliquo

6 5) Derivata prima ( ) e ( ) ( f ) Dom( f ) Dom M La funzione la un punto di minimo in mentre ha un massimo in. m 6) Grafico Calcoliamo il valori negli estremi: f () e f ( ) 6, 6. Data la funzione

7 a b Determinare i parametri a, b in modo tale che la funzione passi per il punto ( 9; ) P ed abbia punto di massimo in. Studiare poi la funzione così ottenuta e tracciarne un grafico qualitativo. Dalla condizione di passaggio per ( 9; ) 6a 9b Poiché la funzione ha massimo in P si ha: segue che f ( ) a b e quindi sostituendo si ha a b Per ottenere a e b si deve risolvere il sistema: 6a 9b a b 6b 9b a b La funzione che si ottiene è: b a b a b, cioè: ) Dominio > R Dom ( f ) ) Intersezione con gli assi impossibile per il dominio 4 4 ( 4) non accettabile 4 ( 4 ;) ) Positività 4 4) Limiti A causa del dominio della funzione non è possibile studiare il ite per. Non esistono punti di discontinuità per il dominio, non vi sono quindi asintoti verticali.

8 Non esiste asintoto orizzontale q ( ) m non esiste asintoto obliquo, la funzione tende a infinito in maniera generica. 5) Derivata prima Dom ( f ) Dom( f )\ { } < La funzione la un punto di massimo in e risulta f ( ) 6) Grafico M

9 Questionario. Che cosa è un numero trascendente? In matematica un numero trascendente è un numero irrazionale che non algebrico, cioè ossia esso non è soluzione di alcuna equazione a coefficienti interi. In altre parole un numero trascendente non è soluzione di una equazione del tipo: n a a... con a, a,..., a N n n n. Descrivere la relazione tra derivata seconda di una funzione e la funzione stessa. Nel primo caso potremo dire che la funzione ha concavità rivolta verso l alto in un certo intervallo poiché il suo grafico si trova tutto al di sopra della retta tangente la funzione nel punto considerato. Nel secondo caso poiché il grafico ha curvatura rivolta verso il basso e il grafico sta tutto al di sotto della retta tangente in un certo intervallo, diremo che la funzione ha concavità rivolta verso il basso. Definizione: una funzione f definita nell intervallo [ a, b] rivolge la concavità verso l alto se in un intorno del punto [ a, b] curva nel punto ( f ( )) la funzione si trova al di sopra della retta tangente alla, altrimenti ha concavità rivolta verso il basso.

10 Grafico della funzione. La convessità e la concavità possono essere messe in relazione con la tangente alla funzione derivata prima, cioè con la derivata seconda della funzione iniziale. Grafico della derivata. Se si trascina un punto lungo il grafico e si considera la relativa tangente, si può osservare che l inclinazione e quindi il coefficiente angolare ha un comportamento che è in relazione al grafico della funzione originaria E possibile dedurre che: dove la funzione ha concavità rivolta verso l alto, la tangente alla derivata prima ha coefficiente angolare positivo (cioè la retta tangente forma con l asse delle un angolo acuto); dove la funzione ha concavità rivolta verso il basso, la tangente alla derivata prima ha coefficiente angolare negativo (cioè la retta tangente forma con l asse delle un angolo ottuso). Pertanto poiché il coefficiente angolare della derivata prima è rappresentato dalla derivata seconda, possiamo enunciare il seguente teorema: Teorema: data una funzione f ( ) se in un intervallo ( a; b) essa ha derivata seconda f ( ) positiva (negativa), allora la funzione è ha concavità rivolta verso l alto (il basso) in [ a; b].

11 Definizione: data una funzione f ( ) : [ a; b] R si definisce punto di flesso un punto c [ a; b] cui la funzione f ( ) cambia la concavità e la retta tangente attraversa la curva. in. Giustificare quale delle seguenti funzione è rappresentata dal grafico seguente: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) Dal grafico si deduce che la funzione presenta asintoto obliquo, quindi: Studiamo il ite per compare nel grafico. compare nel grafico La funzione corretta è la (b), infatti: asintoto orizzontale la funzione (a) presenta asintoto orizzontale che non asintoto orizzontale la funzione (c) presenta asintoto orizzontale che non da cui segue l esistenza dell asintoto obliquo m q m, q n 4. Sia data la seguente relazione a n calcolare n n n n n n n n n n n an a n.

12 5. Calcolare ( ) ( ) e. ( ) e Studio il ite per l esponente ( ) H 6. Data la funzione e determinarne i punti di flesso e la concavità. e e e e e ( 4 ) ( 4 ) Da cui si ottiene Pertanto al funzione ha: concavità rivolta verso l alto per < > concavità rivolta verso il basso per < < punti di flesso in, 7. Fra tutti i coni retti nei quali è costante la misura s della somma del raggio e dell apotema, qual è quello di volume massimo Poiché apotemaraggios Pongo raggio Apotema s- Limitazioni < < s Altezza ( s ) s s s s Volume V π r h π s s

13 π V π 5 s s ( s 5) s s ( s 5) s Il volume massimo si ha per raggio uguale a s Dare al definizione di derivabilità per una funzione e stabilire se la seguente funzione è derivabile nel suo dominio e. Una funzione f ( ) è derivabile in un intervallo I se: f ( ) è continua su I; f ( ) è continua su I La funzione e ha dominio. Calcoliamo la derivata: e ( ) Il cui dominio è. Poiché in la funzione è continua ma non lo è la sua derivata la funzione assegnata non è derivabile nel suo dominio.