Metodi Matematici per l Economia A-K Corso di Laurea in Economia - anno acc. 2012/2013 docente: Elena Polastri,

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1 Metodi Matematici per l Economia A-K Corso di Laurea in Economia - anno acc. 202/203 docente: Elena Polastri, plslne@unife.it Studio di funzione con indicazione degli asintoti e grafico probabile Studiare completamente la seguente funzione e tracciarne il grafico probabile:. f) = Soluzione. Classificazione. È una funzione razionale fratta, poiché la variabile indipendente compare anche al denominatore della frazione. Dominio. Poiché nella funzione compare una frazione, per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che il denominatore sia diverso da zero, e pertanto si deve avere: , 0. Il dominio della funzione è D = R 4; 0}. Intersezioni con gli assi. Con l asse abbiamo: 3 y = = = 0 = 3 Pertanto la funzione interseca l asse nel punto di coordinate A3; 0). Con l asse y non esistono intersezioni, perché = 0 non fa parte del dominio. Segno. f) > > 0 Num. > 0 3 > 0 < 3. Den. > > 0 < 4; > 0 f) > 0 < 4; 0 < < 3;

2 2 ossia f) > 0 per ] ; 4[ ]0; 3[. Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono, +, 4, = + forma indeterminata, che si risolve mettendo in evidenza 3 ) = ) = ) = + = 0 Similmente si ha: 3 ) = ) = + 4 ) = = 0. Calcolando i iti per tendente all infinito si sono ottenuti valori finiti: di conseguenza si può affermare che la funzione ammette un asintoto orizzontale di equazione, cioè l asse. Per il calcolo degli altri iti è utile fattorizzare il denominatore: 2 +4 = +4) = ) = 3 4+ ) ) = ) = 7 0 = = ) = 3 4 ) ) = ) = = + Avendo ottenuto due risultati infiniti per tendente ad un valore finito da destra e da sinistra), si può concludere che la retta di equazione = 4 è un asintoto verticale per la funzione = ) = ) ) = ) 4 = = = ) = ) ) = 3 0 ) 4 = 3 0 = Come per i due iti precedenti, si sono ottenuti due risultati infiniti per tendente ad un valore finito da destra e da sinistra), quindi si può concludere che la retta di equazione = 0 è un asintoto verticale per la funzione. Grafico probabile.

3 3 y 4 O A 2. f) = Soluzione. Classificazione. È una funzione razionale fratta, poiché la variabile indipendente compare anche al denominatore della frazione. Dominio. Poiché nella funzione compare una frazione, per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che il denominatore sia diverso da zero, e pertanto si deve avere: Il dominio della funzione è D = R per ogni R. Intersezioni con gli assi. Con l asse y abbiamo: = 0 y = = 0

4 4 Con l asse abbiamo: y = = = 0 2 ) = 0 = 0; = ± Pertanto la funzione interseca gli assi nei punti di coordinate O0; 0), A ; 0), B; 0). Segno. f) > > 0 Num. > 0 3 > 0 3 < 0 2 ) < 0 < ; 0 < <. Den. > > 0 per ogni R ossia f) > 0 < ; 0 < < ; f) > 0 per ] ; [ ]0; [. Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono, +. In particolare, poiché il dominio è R non esistono asintoti verticali = + + forma indeterminata, che si risolve con il metodo dell equivalenza asintotica quindi Similmente si ha: 3 3, per = = + 5 = = 5 = +.

5 Calcolando i iti per tendente all infinito si sono ottenuti valori infiniti: di conseguenza si può affermare che la funzione non ammette asintoto orizzontale, allora vediamo se esiste l asintoto obliquo. La funzione ammette come asintoto obliquo la retta y = m + q se esistono finiti i seguenti iti: f) m = ± e q = f) m). ± Abbiamo che = + + forma indeterminata, che si risolve con il metodo dell equivalenza asintotica quindi Similmente si ha: Dunque m = , per = = + 5 = = 5 = 5. Infine, abbiamo che ) 5 8 = = + + forma indeterminata, che si risolve con il metodo dell equivalenza asintotica quindi + 8 8, per = = = 8 + = 0. Similmente si ha: ) 5 8 = = 8 25 = 8 = 0. Dunque q = 0. Possiamo concludere che la funzione ammette come asintoto obliquo la retta y = 5. 5

6 6 Grafico probabile. y y = 5 y = f) O 3. f) = + Soluzione. Classificazione. È una funzione irrazionale fratta. Dominio. Data la natura della funzione radice con indice pari), per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che il radicando sia maggiore o uguale a zero, quindi: + 0 Num Den. > 0 + > 0 > 0 < ; 0. + Il dominio della funzione è D =] ; [ [0; + [. Intersezioni con gli assi. Con l asse y abbiamo: = 0 = 0 y = y = =

7 Con l asse abbiamo: y = + = + = 0 + = + 0 = = + impossibile Pertanto la funzione interseca solo l asse y nel punto di coordinate 0, ). L equazione irrazionale del secondo sistema è stata risolta senza porre la condizione di esistenza della radice, poiché essa era stata già considerata al momento della determinazione del dominio della funzione. Segno. f) > 0 + > 0 + < + < + < 0 < < 0 + > 0 Num. > 0 R. 7 Den. > 0 + > 0 > + > 0 >. Ripetendo per la disequazione irrazionale le stesse considerazioni fatte per l equazione, bisogna rettificare parzialmente il risultato tenendo presente il dominio della funzione), per cui f) > 0 solo se > 0, ossia f) > 0 per ]0; + [. Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali utile stabilire il comportamento della funzione, sono,, +. Per = 0 è già stato determinato l andamento, infatti la funzione è definita per = 0 e si ha f0) =. Abbiamo che: + = + = 0 = + = Pertanto la retta di equazione = è asintoto verticale sinistro per la funzione.

8 8 Inoltre, abbiamo che = + forma indeterminata che si risolve mettendo in evidenza + + ) = + + = + + Analogamente + = 0. Dunque la retta è un asintoto orizzontale per la funzione. Grafico probabile. y = = 0 O 4. f) = e Soluzione. Classificazione. È una funzione esponenziale fratta, poiché la variabile indipendente compare anche al denominatore nell esponente.

9 Dominio. Poiché nella funzione compare una frazione, per determinarne il dominio bisogna porre la condizione che il denominatore sia diverso da zero, e pertanto si deve avere: Il dominio della funzione è D =] ; [ ]; + [. Intersezioni con gli assi. Con l asse y abbiamo: = 0 = 0 y = e y = e 2 = e Con l asse abbiamo: y = e e = 0 impossibile Pertanto la funzione interseca solo l asse y nel punto di coordinate 0; ). e 9 Segno. f) > 0 e > 0 D. Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono,, +. Abbiamo che: e = e 2 ) 2 = e 2 0 = e = 0 e = e 2 + ) 2 = e = e + = + + Abbiamo ottenuto un risultato infinito solo per tendente a da destra, quindi possiamo concludere che la retta = è un asintoto verticale destro per la funzione. Inoltre, abbiamo che e = e + + forma indeterminata che si risolve mettendo in evidenza ) e = e ) + e + = 2 2 = e 2 = e

10 0 e, analogamente + e = e = 2 = e 2 = e Calcolando i iti per tendente all infinito si è ottenuto un valore finito: di conseguenza si può affermare che la retta y = e è un asintoto orizzontale per la funzione. Grafico probabile. y ) ) e + y = e O 5. f) = + ln Soluzione. Classificazione. È una funzione irrazionale logaritmica e fratta. Dominio. Poiché nella funzione compaiono una frazione, una radice e un logaritmo, per determinarne il dominio bisogna porre le seguente condizioni: 0 frazione ln 0 radice > 0 logaritmo 0 ln ln > 0 0 > 0

11 Tali condizioni sono tutte contemporaneamente soddisfatte solo se, dunque il dominio della funzione è D = [; + [. Intersezioni con gli assi. Poiché la funzione non è definita per = 0, non esistono intersezioni con l asse y. Con l asse abbiamo che: y = + ln + ln = 0 + ln = 0 ln = impossibile Essendo tale sistema impossibile una radice dove esiste è sempre non negativa), concludiamo che la funzione non interseca gli assi cartesiani. Segno. f) > 0 + ln > 0 Num. > 0 + ln > 0 ln > per ogni D. Den. > 0 > 0 > 0. Poiché f è definita per, abbiamo che f) > 0 per ogni D = [; + [. Comportamento della funzione in punti particolari del dominio. Il dominio di f è [; + [. I punti importanti, per i quali è utile stabilire il comportamento della funzione, sono e +. In = la funzione è definita e abbiamo f) = + ln = + 0 =, quindi la funzione passa per A; ). In particolare, visto che dobbiamo stabilire il comportamento della funzione solo in +, non esistono asintoti verticali. + ln = + ln+ ) = , forma indeterminata. Abbiamo che + ln ln ) = = + + ln) 2. +

12 2 Poiché e grazie al ite notevole + = 0 ln) 2 + = 0 ln) γ + β = 0 per ogni γ, β > 0, dove nel nostro caso γ = 2 e β =, otteniamo + ln = ln) 2 = 0. + Calcolando il ite per tendente a + si è ottenuto un valore finito uguale a 0, di conseguenza si può affermare che la funzione ammette un asintoto orizzontale di equazione. Grafico probabile. y A y = f)