QUINTO APPELLO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA CORSO DI LAURA IN INFORMATICA, A.A. 2017/18 23 LUGLIO 2018 CORREZIONE. x 4 f(x) = x 2 + x 2

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1 QUINTO APPELLO DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA CORSO DI LAURA IN INFORMATICA, A.A. 27/8 23 LUGLIO 28 CORREZIONE Esercizio ) Considerate la funzione f definita da f(x) = x 2 + x 2. Trovatene il dominio massimale di esistenza, le eventuali simmetrie, le intersezioni con gli assi, gli asintoti attraverso i iti agli estremi del dominio, studiatene la monotonia attraverso il segno della derivata. Calcolate l insieme di positività di f e trovate x 4 + f (x). Infine, usate tutte queste informazioni per tracciare un grafico approssimativo di f, di f( x ) e di f( x ). SOLUZIONE: Per comodità chiamiamo così che r(x) = x 2 + x 2 f(x) = r(x). Per il dominio dobbiamo porre l argomento della radice maggiore o uguale a zero, cioè r(x). Dato che si tratta di una razionale fratta, studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore. N(x) = x 4 se e solo se x 4; D(x) = x 2 +x 2 > se e solo se x < 2 o x >, dato che si vede facilmente che tali numeri sono le due radici del polinomio (o con la formuletta risolutiva, o con la fattorizzazione immediata). Quindi, facendo il grafico dei segni, abbiamo che r(x) se e solo se x 4 oppure 2 < x <, che è il dominio di f. Dato che il dominio non è simmetrico rispetto l origine, la funzione non è né pari né dispari. Se x =, allora f(x) = 2 mentre se vogliamo f(x) =, dobbiamo cercare per quali x Dom f si abbia f(x) = x 2 + x 2 =, cioè x 2 + x 2 =. Dato che siamo nel dominio di f e >, possiamo elevare al quadrato trovando l equazione equivalente x 2 + x 2 = x 2 2 x 2 + x 2 = che non ha soluzioni, dato che (x 2 + 2) < per ogni x. Quindi il grafico non interseca mai l asse delle x. Dato che il procedimento è simile, vediamo adesso quale è l insieme di positività. Abbiamo, sempre poichè siamo nel dominio e il membro destro è positivo, f(x) se e solo se x 2 + x 2 se e solo se x 2 e x Dom f. + x 2

2 Facendo i calcoli nella disequazione abbiamo che è equivalente, similmente a prima, a x 2 2 x 2 + x 2 e dato che il numeratore è sempre negativo, la frazione è positiva in ( 2, ) (per valori interni rispetto le soluzioni del denominatore) e strettamente negativa in (4, + ) (in x = 4 vale zero) (ricordate che dobbiamo intersecare con Dom f). Ora calcoliamo i tre iti (quello in x = 4 non va fatto, dato che la funzione è ivi ben definita): x 2 + x 2 + x 2 = x x 2 + x 2 = + dato che in entrambi i casi il numeratore tende ad un numero negativo mentre il denominatore, che è uguale a (x + 2)(x ), tende a. Quindi il radicando tende a + e pure r(x). Invece, visto che x + r(x) =, abbiamo x + x 2 + x 2 =. Quindi x = 2 e x = sono mezzi asintoti verticali e y = è l asintoto orizzontale; non ci sono asintoti obliqui. Per calcolare la derivata, osserviamo che f (x) = d ( ) r(x) = dx 2 r(x) r (x) ed il suo segno dipende interamente dal segno di r (x), dato che la radice è sempre maggiore o uguale a zero. Quindi r (x) = x2 + x 2 ()(2x + ) (x 2 + x 2) 2 = x2 + 8x + 2 (x 2 + x 2) 2 se e solo se x 2 8x 2 ; dato che le due soluzioni sono x,2 = 4 ± 3 2, concludiamo che la funzione è crescente per x Dom f tali che x o x > Dato che , 4 =, 2, la funzione è quindi monotona crescente in [4 3 2, ) e in (, ]. Infine osserviamo che r(x) r(4) + = + per x 4 + e che x 2 + 8x + 2 r (x) = x 4 + x 4 + (x 2 + x 2) 2 = r (4) = 8 > ; quindi, dall espressione che abbiamo trovato sopra, abbiamo f (x) = +. x 4 + Questo, nel disegno del grafico di f, ci dice che nel punto x = la funzione si stacca da (4, f(4)) = (4, ) con derivata verticale. Infine, per trovare a partire dal grafico di f(x) quello di f( x ) basta prendere la parte per x e rifletterla per gli x negativi; per trovare f( x ), dato che x è uguale a x se x è positivo e x se x è negativo, bisogna prendere la parte per x e rifletterla per gli x positivi (vedete i grafici in ultima pagina). Esercizio 2) Calcolate il ite per n + delle seguenti successioni n! 4n 3 + n (n + )!, log(n n ) n n, n2 + n2 + n +. SOLUZIONE: Per la prima, abbiamo dalla definizione del fattoriale n! 4n 3 + 4n3 + =. n (n + )! n (n + )

3 Ora raccogliamo a numeratore e denominatore l infinito di ordine maggiore, che è rispettivamente n 3 sotto radice ed n dentro la parentesi tonda. Quindi n! 4n 3 + n 3/2 4 + /n = /n n (n + )! n n ( + /n) = 3 + /n = 2. Per il secondo ricordiamo che log(n n ) = n log n, quindi log(n n ) n n = log n = + n per la gerarchia degli infiniti ( il logaritmo va più lento di ogni potenza ). Il terzo è una forma indeterminata che va risolta, come sempre, moltiplicando e dividendo per la somma dei due termini. Calcoliamo separatamente Quindi ( n2 + n2 + n + )( n2 + + n2 + n + ( n2 ) + n2 + = n + ) = n 2 + (n2 + ) 2 (n + ) 2 = (n 2 + ) (n + )2 (n 2 + ) (n + ) 2 = 2n(n2 + ) (n + ) 2. Il denominatore va all infinito come n, quindi raccogliamo n: n = 2 +2 n + /n 2 + n /n = 2(n 2 +) n /n2 + /n Altrimenti potevamo raccogliere, al denominatore, l infinito di ordine superiore in ogni termine: = = 2n 3 (+/n 2 ) n 2 (+/n) 2 n + /n 2 + n2 (+/n 2 ) n(+/n) 2n(+/n 2 ) (+/n) 2 n + /n 2 + n +/n2 +/n 2(+/n 2 ) (+/n) = 2. + /n2 + +/n2 +/n In ogni caso, sia il numeratore che il denominatore tendono a due, quindi il ite vale uno.. Esercizio 3) Calcolate i seguenti integrali x 3 e x2 dx, x 2 x 2 4 dx. SOLUZIONE: Questi sono entrambi presenti (il secondo leggermente diverso, ma il primo già risolto) nella seconda dispensa di esercizi che vi avevo lasciato durante il compito. Per

4 il primo integriamo per parti con f(x) = x 2, g (x) = xe x2 : il trucco qui è che g(x) = e x2 /2, dato che 2x risulta la derivata interna in e x2. Quindi x 3 e x2 dx = [x 2 e x2] xe x2 dx = e 2 x= 2 xe x2 dx. A questo punto nuovamente osserviamo che la derivata interna di e x2 è 2x, quindi xe x2 dx = [e x2] = e 2 x= 2 2, da cui x 3 e x2 dx = e ( e 2 2 ) = 2 2. Un altro metodo risolutivo era il seguente: ponete t = x 2, da cui 2x dx = dt. Quindi Ora, integrando per parti xe x2 dx = 2 te t dt. te t dt = [ te t] t= e t dt = e (e ) = da cui xe x2 dx = te t dt = 2 2. Per calcolare l integrale della razionale fratta invece prima dobbiamo fare in modo che il grado al numeratore scenda : difatti possiamo scrivere x 2 x 2 4 = + x2 x 2 4 = + 3 x 2 4. Quindi x 2 x 2 4 dx = x + 3 x 2 4 dx. Per integrare ora la razionale fratta ottenuta, osserviamo che il polinomio al denominatore ha > e due radici x,2 = ±2. Quindi dobbiamo cercare A, B R tali che A x 2 + B x + 2 = x 2 4. Facendo i calcoli abbiamo che deve essere (A + B)x + 2(A B) x 2 = 4 x 2 4. e dal principio d identità dei polinomi { A + B = da cui A = /4, B = /4. Dunque x 2 x 2 4 dx = x + 3 = x (A B) =, x 2 4 dx x 2 dx 3 4 = x log x 2. x + 2 x + 2 dx

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