Lezione 18 (8 gennaio) Limiti

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1 Lezione 18 (8 gennaio) Limiti

2 Ripasso f x = ln 3 x 1 D = (1, + ) ln 3 x 1 + x 1 = ln = ln 3 = ln(+ ) = ln 3 x + x 1 = ln = ln 3 + = ln(0+ ) = 1

3 Esempi di forme indeterminate x + x3 + 2x = + x + 3 x (x + 1) = 0 (+ ) log(x 6) x 6 = 0+ + x 6 x 2 x = + x+1

4 Polinomi e forma indeterminata + x + x3 + 2x = + F. I. Si raccoglie a fattor comune, sia al numeratore che al denominatore, la potenza di x col grado maggiore x + x3 + 2x = x + x x2 x x 3 = x + x x + 1 x 3 = = = = Es: x x4 + 2x 2 + 4x ; x 2x2 2x + 5

5 Polinomi e forma indeterminata ± x 2 + x x 4x 3x 2 = + ± Si raccoglie a fattor comune, sia al numeratore che al denominatore, la potenza di x col grado maggiore x 2 + x x 4x 3x 2 x 3 1 x = x 3 x x 2 4 x 3 x 1 x = x 3 = x 4 x 3 = ( ) 0 3 = 3 = +

6 Polinomi e forma indeterminata ± ± Esempio: x+1 x x 2 x 1+ 1 x = x x 2 = x 1+ 1 x x = 1 = 0 x Esercizi: 2 +3x ; x 2 7x+20 x + x+2 x 2 x x ; 4 x 2 +3x ; x + x

7 Polinomi e forma indeterminata 0 0 x 0 x + x 3 4x 3x 2 = 0 0 Si raccoglie a fattor comune, sia al numeratore che al denominatore, la potenza di x col grado minore x 0 x + x 3 4x 3x 2 = x(1 + x 2 ) x 0 x(4 3x) = (1 + x 2 ) x 0 (4 3x) = 1 4 Esercizi: x 0 x+x 3 4x 3x 2 ; x 0 3x x 3 4x 2 +3x 4 ; 8x 3 +x 2 x 0 4x+9x 3

8 Polinomi e forme indeterminate Es: 1 (x + 1) = 0 x x 2 La forma indeterminata ± 0 si risolve trasformandola nella forma 0 0 oppure ± ± 1 (x + 1) x x 2 = x+1 x x 2 = +

9 Confronto di infiniti Si dice che la funzione f(x) è un infinito per x x 0 se x x0 f x = ± Siano f(x) e g(x) due funzioni che per x x 0 tendono a ±. Allora il rapporto dei loro iti può essere 1. f(x) è un infinito di ordine superiore rispetto a g(x) f(x) x x 0 g(x) = ± 2. f(x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a g(x) f(x) x x 0 g(x) = 0 f(x) 3. f(x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine x x 0 g(x) = l 0

10 Esempi sul confronto di infiniti x + 5x e 2x = 0 ln x = 0 x + 2x x + 5 x ln(2x) = + e x e x x 2 x 2 x x x x ln x log x

11 Esempio Quando si hanno iti di rapporti di polinomi, l ordine di infinto si può utilizzare anche per x. Per esempio 5x 3 x 3 4x 2 Il numeratore è un infinito di ordine superiore rispetto al denominatore, cioè il numeratore va a infinito più velocemente del denominatore e quindi il ite dell intera frazione va a infinito. x 5x 3 3 4x 2 = x 5x 3 4 = 3 4 = +

12 Confronto di logaritmi, potenze e esponenziali log a x x + x β = 0, a > 1, β > 0 x + a x = +, a > 1, β > 0 xβ Calcolare i seguenti iti ln x x + x 3 3x 2 3 x x + 2 x x + 4x 3 x 5 x + ln x

13 Ricapitolando: x ± f x =? Si possono verificare tre casi: 1. f x = l x ± la retta y = l è asintoto orizzontale Es: x 2x = 0 2. f x = ± x ± Es: x + 2x = + 3. f x = non esiste il ite x ±

14 Esempi in cui x ± f x = x ± cos x = x + f x =

15 Ricapitolando: x x0 f x =? con x 0 R Si possono verificare tre casi: 1. x x0 f x = l 2. x x0 f x = ± la retta x = x 0 è un asintoto verticale Es: log x = x x x0 f x = non esiste il ite

16 Osservazione 1 Il ite esiste se e solo se esistono e sono uguali f(x) x c il ite destro f(x) e il ite sinistro f(x). x c + x c Chiaramente, se la funzione f x : a, b R, non ha senso calcolare f(x) x a oppure x b + f(x).

17 Osservazione 2 Per poter calcolare il ite f(x) x c c deve essere un punto del dominio di f oppure uno degli estremi del dominio, come per esempio: f x = x 2, con x R {2}, e comunque x 2 x 2 = 4

18 Funzioni continue Definizione: Una funzione f: D R R è continua in x 0 D se f x = f(x 0 ) x x 0 ovvero, se il ite esiste ed è uguale a f(x 0 ). Se una funzione è continua x 0 D allora è detta continua.

19 Esempio 1 f x = x 2 D = R x 2 2 = x 0 x x 0 f x 0 = x 0 2 Quindi x 2 = x 2 0 = f(x 0 ) x x0 x 0 R e la funzione è continua su tutto il suo dominio.

20 Esempio 2 Esempio: x 2 se x < 0 f x = ቐ 1 se x = 0 x 2 se x > 0 f x = 0 perché f(x) = f(x) = 0 x 0 + x 0 x 0 f 0 = 1 Quindi f x = 0 f 0 = 1 x 0 continua in x 0 = 0. e la funzione non è

21 Esempio 3 3x + 1, x < 0 f x = ቊ x + 2, x 0 f x = perché i due iti x 0 x 0 f x = + +(3x + 1) = 1 e x 0 x 0 f x = (x + 2) = 2 x 0 sono diversi. Poiché il ite non esiste la funzione non è continua in x 0 = 0.

22 Funzioni continue Le funzioni polinomiali, le potenze, le funzioni esponenziali, le funzioni logaritmiche e le funzioni trigonometriche sono continue nel loro insieme di definizione. Siano f(x) e g(x) due funzioni continue definite su un dominio comune, allora f x + g(x), sono continue. f x g(x), f x g x con g x 0, La composizione di funzioni continue è continua.

23 Esercizi Calcolare i iti delle seguenti funzioni agli estremi del dominio e stabilire se sono continue nel loro dominio f x = 1 x 3 se x 3 2 se x = 3 f x = 1 x 2 +1 se x 1 2 se x = 1 ln x se x > 0 f x = ቊ 2 se x 0 f x = ቊ ex se x 0 1 se x < 0 f x = ቊ cos x se x 0 2 se x = 0 3 se x > 1 f x = ቐx + 2 se 6 < x 1 5 se x 6

24 Derivate Rapporto incrementale Definizione di derivata Significato geometrico

25 Rapporto incrementale Sia f(x) una funzione definita in I R e si consideri il passaggio da x 0 I a x 0 + h I. La retta secante nei punti (x 0, f(x 0 )) e (x 0 + h, f x 0 + h ) ha equazione: y f x 0 = m(x x 0 ), Δf Δx m = f x 0+h f(x 0 ) h con Δx = x 0 + h x 0. = Δf Δx si chiama rapporto incrementale

26 Derivata di una funzione, significato geometrico Data una funzione f(x) continua in x 0, la derivata è il ite se tale ite esiste ed è finito. f x 0 + h f(x 0 ) h 0 h La derivata di f(x) in x 0 si indica con f x 0, d dx f(x 0) oppure Df(x 0 ). La derivata di una funzione in un punto x 0 rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto(x 0, f(x 0 )).