ANALISI MATEMATICA 1 Commissione F. Albertini, V. Casarino e M. Motta Ingegneria Gestionale, Meccanica, Meccatronica, Vicenza

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1 TEMA f = 2 arctan 2) log e 2 αx α sin x + 2x + x 6 + x + n n 2 log n xe x dx al variare di a R x a e x dx Tempo: due ore e mezza Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo

2 TEMA 2 f = log e + 2 arctan ) + x + 2x 6x αx α arctan ) x + x n n log n xe x dx e x al variare di a R x a e x dx e x Tempo: due ore e mezza Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo

3 TEMA f = 2 arctan ) log e αx α cosh ) 2x 2 + 5x log + x 2 ) x n n log n xe x dx al variare di a R x a e x dx Tempo: due ore e mezza Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo

4 TEMA f = log e 2 arctan ) x log + x ) 6x αx α arctan x 2 ) + x + n n 5 log n xe x dx e 2 x al variare di a R x a e x dx e 2 x Tempo: due ore e mezza Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo

5 Svolgimento TEMA f = 2 arctan 2) log e 2 a) Il dominio è {x : e 2 > } = {x : e 2 } = R \ {2} Non ci sono simmetrie o periodicità evidenti b) Limiti: x f = 2 arctan 2) loge 2 ) = 2 arctan 2 2 < ) Quindi c è un asintoto orizzontale y = 2 arctan 2 2 a 2 f =, e poichè e 2 = e 2 quando x 2, per tali x possiamo riscrivere f = 2 arctan 2) log[ e 2 x )] = 2 arctan 2) x log e 2 x ) f Si ottiene allora che x come asintoto obliquo a + = e [f+x] = π Quindi f ha y = x+π x 2 ± f = +, quindi x = 2 è un asintoto verticale completo c) Derivabilità: f è continua e derivabile x 2 perchè composizione di f ivi derivabili f = dove f > se e solo se 2 + 2) 2 ex e 2 = [ + 2) 2 ] e 2 ) [2ex 2e 2 2) 2 ], [2 2e 2 2) 2 ] e 2 = [e2x 6 + 2e 2 + 5] e 2 > Poichè il polinomio di secondo grado in dentro le parentesi quadre a numeratore ha < per cui è sempre strettamente positivo), f > se e solo se e 2 <, cioè s < 2 la funzione f è allora strettamente crescente per x < 2 e strettamente decrescente per x > 2 Inoltre f è ilitata, perchè sup f = + e inf f = e non assume max e min relativi o assoluti Esercizio 2 Il ite L = αx α sin x + 2x + x 6 + x è una forma indeterminata / A numeratore, poichè x =, possiamo sviluppare con Mac Laurin ) sin = x x 6 x + o x ) che sostituendo e usando le proprietà di o-piccolo porta a αx α sin ) x +2x = α x α α x 6 xα x +2x+ox α ) = x + ox ) se α <, 2 + 2) x + o se α =, α x α + ox α ) se α >

6 A denominatore, + x 6 x a +, dunque + x 6 + x = x + ox ) In conclusione, L = se α ], [; L = se α = e L = + se α > Osserviamo che la serie è a termini di segno alterno, poiché b n := +n n 2 log n > per ogni n 2 Studiamo innanzitutto la convergenza assoluta Ricordando ch y = x y)x 2 + xy + y 2 ), poniamo x = + n e y = n, ottenendo b n = + n n 2 log n = = + n n + n) n)n + n 2 + n) n)n + n 2 2 log n 2 log n Quando n +, si ha + n) n)n + n 2 La serie + Poiché la serie armonica generalizzata + anche + 2 log n 2n 2/ log n) /2 diverge, perché, per esempio, > n 2/ log n) /2 n 2/ log n) /2 n 2/ log n) /2 n 5/6 per ogni n > n 5/6 diverge, per il criterio del confronto diverge Come applicazione del criterio del confronto asintotico, ne deduciamo che diverge anche + b n, cioè che la serie data non converge assolutamente Passiamo ora a studiare la convergenza semplice della serie data Dai conti appena svolti si deduce che b n tende a zero quando n + Per poter applicare il criterio di Leibniz, è sufficiente dimostrare che {b n } è monotona decrescente, almeno definitivamente Metodo b n è decrescente perchè reciproco di una successione positiva strettamente crescente, infatti = + n) b n n)n + ) n 2 2 log n è somma di successioni strettamente crescenti e positive moltiplicate per una successione crescente e positiva Metodo 2 Consideriamo la funzione f = + x x 2 log x Derivando f, otteniamo f = 2 log x + 2/ 2/) ) 2 log x x + 2x 2 log x = 2/ + 2/ ) ) 2 log x 2 log x + 2/ x 2/ x + 2x 2 log x ) Osserviamo ora che 2/ + 2/ 2 + 2/ x log x < e che x + 2/ 2x > per ogni 2 log x x 2, così che f < per ogni x 2 Come conseguenza del criterio di Leibniz, la serie data converge semplicemente

7 Esercizio Osserviamo che xe x dx = x dx + xe x purchè entrambi gli integrali esistano finiti Li studiamo quindi separatamente Osserviamo prima di tutto che x dx = xe dx = 8e dx, Si ha inoltre xe x dx = e R xe x dx = e R xe 2x dx Calcoliamo l integrale indefinito xe 2x dx, integrando per parti Ponendo f = x e g = e 2x, otteniamo xe 2x dx = x 2 e 2x e 2x, da cui segue xe x dx = e R xe 2x dx = e Poiché entrambi gli integrali esistono finiti, concludiamo che xe x Domanda facoltativa: al variare di a R dx = x dx + xe x x a e x dx x 2 e 2x e 2 R = 9 e e 8 = 9 e dx = 8e + 9 e = e Possono esservi problemi di convergenza sia per x +, sia per x + Studiamo quindi separatamente i due integrali x a e x x a e x dx e dx L integrale generalizzato assegnato converge se entrambi gli integrali convergono Abbiamo gi à osservato che x a e x dx = e x a dx Questo integrale converge per ogni valore a > Risulta inoltre x a e x dx = e x a e 2x dx = Questo integrale converge per ogni valore reale di a, perché la funzion a e 2x è infinitesima di ordine superiore a al tendere di x + per ogni valore di a In conclusione, l integrale assegnato converge per ogni valore di a >