Calcolo I - Corso di Laurea in Fisica - 18 Giugno 2018 Soluzioni Scritto. f(x) = ( ln 1 + x + 1 ) =

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1 Calcolo I - Corso di Laurea in Fisica - 8 Giugno 08 Soluzioni Scritto ) Data la funzione fx) = ln + x + ) a) Calcolare il dominio, asintoti ed eventuali punti di non derivabilità; b) Calcolare, se esistono, estremi relativi ed assoluti. Tracciare un grafico qualitativo della funzione. Svolgimento. Il dominio di definizione è definita dalla condizioni Per la seconda condizione si ha x 0 ; 0 < + x + ; + x + 0 < + x + 0 < x + x + che è verificata per ogni x R \ {0}. Per la terza si ha + x + x + 0 x Quindi il dominio di f è l insieme D f = R \ {0, }. La funzione è di classe C D f ) in quanto composizione/somma/prodotti/rapporto di funzioni di calsse C nei loro domini. Per quanto riguarda gli asintoti: per x 0 Per x ± fx) = ln + x + ) = ln ) + = ln+ ) = 0+ 0 fx) = Infine per x ± si ha fx) = = ln ) + x+ = x ln + x + ) = ln + 0± x+ x x+ ) x + ox ) ) = ln ± ) = 0 ± = ± + x + ox ) = x + x / + ox )) = x x / + ox )) = x / + o) dove si sono usate le approssimazioni ln + y) = y y / + oy ) e + y) = y + oy) per y 0. In conclusione in x = 0 non ci sono asintoti verticali, si tratta di un punto asintotico;

2 in x = ± abbimo due asintoti vericali rispettivamente + e mentre a ± ci sono due asintoti obliqui che soddisfano la stessa equazione y = x /. Per la monotonia avendo gia osservato la regolarità della funzione studiamo il segno della derivata prima. f x) = x ln + x + ) xx + ) + x + x 4 Si osservi che il segno dipende solo dal polinomio x) in quanto nel dominio di definizione tutte le altre parti della derivata prima sono > 0. Quindi f x) > 0 + x = xx + ) > 0 x, ) 0, + ) In conclusione dato che 0 non è nel dominio si ha che x = è un massimo relativo. Un grafico della funzione è il seguente

3 ) Studiare la convergenza della serie di potenze k k ln k) + 8k k= ) 3 k ) x + ) k. Facoltativo: Calcolare la somma della serie ) k π/) k k+) k)! Svolgimento. Posto si osservi che da cui segue che a k := k k ln k) + 8k ) 3 k ) ) k 3 a k = k ln k) + 8k k = k ) /3 ) k ln k)4 + k = k + 3k ln k)4 + o ) ) k 3k ln = k)4 k 3k ln + o)) k)k k ak = ) /k 3k ln k) + o)) ossia il raggio di convergenza r =. quindi per il criterio della radice al serie non converge. La serie di potenze converge assolutamente x + < e uniformemente per x [a, b] 3, ). Non converge per x + >. Nei punti di frontiera x =, 3 si ha: x = a k k = 3k ln k) k + o))k = 3k ln + o)) k) la serie converge per confronto asintotico con la serie convergente. Di conseguenza la 3k ln k) serie converge assolutamente in x = 3 in quanto a k ) k = a k k. In conclusione la serie converge assolutamente in [ 3, ]. Facoltativa. si consideri la serie di potenze ) k x) k k + ) k)! che ha raggio di convergenza. Si ossevi che d ) k x) k+ = dx k)! ) k x) k k + ) k)! e per la convergenza uniforme possiamo portare la derivata fuori dalla sommatoria ) k x) k k + ) d ) k x) k+ = = d ) k x) k+ k)! dx k)! dx k)! = d dx x ) k x) k k)! = d x cosx)) = cosx) x sinx) dx 3

4 da cui segue ) k x) k k + ) k)! e in particolare ) k π/) k k+) k)! = π/. = cosx) x sinx) 4

5 3) Studiare al variare del parametro α [0, + ) il limite lim x 0 + ln + x + /) sinx) x α + x 5 sin/x). Posto F x) = x 0 ln+t+t /) sint)) dt stabilire se F x) è definitivamente cresente/decrescente in 0. Svolgimento. Calcoliamo l ordine di infinitesimo del numeratore. Partendo dagli ordini più bassi ci si accorge che bisogna approssimare il logaritmo fino all ordine 4. Ricordando che ln + y) = y y / + y 3 /3 y 4 /4 + oy 4 ) e che siny) = y y 3 /6 + oy 4 ) per y = 0 e sostituendo nel logaritmo al posto della y la funzione x + / per x 0 si ha ln + x + /) sinx) = x + / x + x /) x + x 3 /6 + ox 4 ) Quindi = x + / x + x /) + x + x /) x + x /) 3 3 x + x /) 4 4 x + x /) ox + /) 4 x + x 3 /6 + ox 4 ) = x + / x + x 3 + x 4 /4) + 3 x3 + 3/)x 4 ) 4 x4 x + x 3 /6 + ox 4 ) = x + x x x3 x4 8 + x3 3 + x4 x4 4 x + x3 6 + ox4 ) = x4 8 + ox4 ). ln + x + /) sinx) lim x 0 + x α + x 5 = lim sin/x) x 0 + da cui segue che il limite è x o)) x α + x 5 sin/x) 0 α < 4, /8 α = 4, + 4 < α < 5 5 α x 4 8x + o)) α α < 5, x 4 + o)) α = 5, 8x 5 +sin/x) x 4 8x 5 sin/x) + o)) α > 5, Per quanto riguarda la monotonia di F x), per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che F x) = ln + x + /) sinx) = x4 + o)) 8 ossia F x) è definitivamente positiva in 0; quindi F x) è definitivamente crescente in 0. 5

6 4) Discutere, al variare di α R, l integrabilità in senso improprio nell intervallo 0, + ) della funzione f α x) = lnx + 5 x + 6) x α + 3) x α. Calcolare l integrale per α = / ossia + 0 lnx+5 x+6) x+3) x dx. Svolgimento. Si tratta di un integrale improprio in quanto l intervallo di integrazione non è limitato e la funzione a denominatore presenta sia uno zero per x = 0 e non è definita in x = 0 per α < 0. Negli intervalli [a, b] per ogni 0 < a < b < + la funzione é continua e limitata quindi integrabile. Inoltre la funzione è sia in 0 che ha + definitivamente di segno costante quindi possiamo applicare il confronto sintotico. Per x + e α > 0 si ha f α x) = lnx + 5 x + 6) x α + 3) x α = lnx) + o)). x3α quindi f α è integrabile α > 0 e 3α > ossia α /3, + ). Per α = 0 si ha f 0 x) = lnx + 5 x + 6) 4) = lnx) + o)) 6 quindi per α = 0 non è integrabile. Infine per α < 0 si ha f α x) = lnx + 5 x + 6) x α + 3) x α = lnx) + o)) 3xα che non è integrabile in quanto α < 0 per ipotesi. In conclusione f α è integrabile a + se e solo se α /3, + ). Per x 0 + e α > 0 si ha f α x) = lnx + 5 x + 6) x α + 3) x α = ln6) + o)) 9xα quindi f α è integrabile 0 < α <. Per α = 0 è integrabile in quanto si ha Infine per α < 0 si ha f 0 x) = ln6) + o)) 6 f α x) = ln6) + o)) x3α che è integrabile per α < 0 e α < /3; ossia è integrabile per ogni α < 0. Quindi f α è integrabile 0 + se e solo se α, ). In conclusione f α integrabile in 0, + ) x, ) /3, + ) = /3, ) dx x Calcoliamo l integrale per α = /. Sostituendo t = x, dt = ha lnx + 5 x + 6) lnt x + 3) x dx = + 5t + 6) t + 3) dt = lnt + 5t + 6) + t + 3 e integrando per parti si t + 5 t + 3)t + 5t + 6) 6

7 Per quanto riguarda il secondo termine si ha t + 5 t + 3)t + 5t + 6) dt = che si decompone in fratti semplici nel seguente modo e le costanti soddisfano la relazione t + 5 t + 3) t + ) = A t + + t + 5 t + 3) t + ) dt B t C t + 3) A =, C =, B + A = 0 B =. Quindi t + 5 t + 3) t + ) dt = t + t ) t + 3) dt = ln t + t + 3 t + 3 e una primitiva della funzione integranda espressa nella variabile t è la funzione F t) = lnt + 5t + 6) + ln t + t + 3 t + 3 t + 3 Infine + 0 lnx + 5 x + 6) x + 3) x dx = lim F t) lim F t) = ln6) ln/3) + /3. t + t

8 5) Trovare la soluzione generale dell equazione differenziale Risolvere il proble di Cauchy ẋ0) = x0) = 0. ẍ + ẋ = te t. Svolgimento. Si tratta di una equazione del secondo ordine lineare a coefficienti costanti. Troviamo la soluzione generale dell omogenea ẍ + ẋ = 0 Le radici del polinomio caratteristico è λ + λ = 0 sono 0 e. Quindi la generica soluzione dell omogenea è x om t) = A + Be t Il termine noto è la funzione ft) = + te t. Per applicare il metodo di similitudine dividiamo la funzione come segue f t) = e f t) = te t. Cerchiamo la soluzione particolare associata a f della forma y t) = tk dove il fattore aggiuntivo t è dovuto al fatto che 0 è radice del polinomio caratteristico. Quindi 0 + K = y t) = t Mentre la soluzione particolare associata a f è della forma y t) = K + tk )e t in quanto non è radice del polinomio caratteristico. Imponiamo che y verifichi l equazione e t K + tk ) + e t K + e t K + tk ) + e t K = te t te t K + e t K + 3K ) = te t quindi K = / e K = 3/K = 3/4. Di conseguenza y t) = /4 3 + t)e t. Quindi una soluzione particolare dell equazione inziale è, per linearità, la funzione La soluzione generale dell equazione sarà Per il problema di Cauchy si ha yt) = y t) + y t) = t + /4 3 + t)e t. x gen t) = x om t) + yt) = A + Be t + t + /4 3 + t)e t x0) = A + B 3/4 = 0, ẋ0) = B + 3/4 + /4 = B + 7/4 = 0 da cui B = 7/4 mentre A = B + 3/4 =. In conclusione x Cauchy t) = e t + 8t t)e t ) 8