Derivabilità, invertibilità e studi di funzione

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1 Derivabilità, invertibilità e studi di funzione. Studiare la continuità e la derivabilità delle funzioni elencate in tutto il loro dominio di definizione e calcolare la derivata nei punti in cui la funzione risulta derivabile. (a) f() = sin( ), f() = sin( ) (b) f() = sin( ) 3, f() = 3 ln() (c) f() = sin( ), f() = 3 (d) f() = 3 cos(), [ π, π] (e) f() = ( cos()) 3/5, [ π, π] (f) f() = ( cos( )) 3/5, [ π, π] (g) f() = sin( ) ln(3 ), f() = sin( ) ln(3 ) (h) f() = arcsin(e ) (usare la relazione: arcsin() = π/ arcsin( ), > 0). { sin( (i) f () = ) 0 0 = 0 { sin( (j) f () = ) 0 0 = 0 { (k) f 3 () = sin( ) 0 0 = 0 { (l) f () = α sin( ) 0, α R 0 = 0 { (m) f() = sin( ) + α > 0 e, α R 0 { 0 (n) f() = = 0 { e > 0 (o) f() = 0 0. Trovare α, β R in modo che le seguenti funzioni risultino derivabili { e (a) f() = + > α + β { arctan(α( (b) f() = )) > β + ln( + ) { cosh() 0 (c) f() = α + β < 0 { ( )e α (d) f() = ( α) + β( α) < α

2 3. Dimostrare usando i teoremi sulla derivazione le seguenti relazioni { π/ arctan(/), > 0 (a) arctan() = π/ arctan(/), < 0 { π/ arcsin( (b) arcsin() = ), (0, ) π/ + arcsin( ), (, 0) { π/ arccos( (c) arccos() = ), (0, ) π/ + arccos( ), (, 0). Studiare il grafico delle seguenti funzioni (dominio ed asintoti; continuità e derivabilità; intervalli di monotonia; ma/min locali e assoluti; immagine; grafico della funzione) (a) f() = (b) f() = + (c) f() = + (d) f() = ln( ) (e) f() = 5 36 (f) f() = 5 36 (g) f() = + (h) f() = 8 +6 (i) f() = 3 + (j) f() = e arctan(), f() = e arctan() (k) f() = (l) f() = ln() ln() +ln() (m) f() = (3 (ln()) (n) f() = ln( + ) arctan() + { 0 (o) f() = = 0 (p) f() = + +5 e (q) f() = ln() (r) f() = arctan( ) (s) f() = e/ ln() 5. Studiare gli insiemi in cui sono invertibili le seguenti funzioni e calcolare l equazione della retta tangente al grafico della funzione inversa nel punto di coordinate y 0 = f( 0 ) indicato nell esercizio.

3 (a) f() = + arctan(), 0 = (b) f() = arctan(), 0 = (c) f() = ln() + +6, 0 = (d) f() = e + arctan(), 0 = 0 3

4 Esempi di studio del grafico di una funzione ) Sia data la funzione f() = ( + ) + ln(). a) Calcolare il dominio di definizione ed eventuali asintoti verticali/obliqui. b) Studiare la derivabilità della funzione (specificando eventuali punti di non derivabilità) e trovare eventuali punti di massimo/minimi relativi della funzione. c) Tracciare il grafico della funzione. N.B. non si richiede lo studio della derivata seconda della funzione. Svolgimento. a) La funzione è definita in (0, + ) in quanto ( + ) 0 e ln(). Quindi l unica condizione che definisce il dominio della funzione f() è il dominio del logaritmo. Per quanto riguarda gli asintoti lim 0+ ( + ) + ln() = + ln() + o() = +. Quindi in 0 c è un asintoto verticale. Mentre per + si osservi che ( + ) + ln() = + + ln() ( + ) ( = ( + ) + ln() ( )) ln() ( + ) + o ( + ) = ( + ) + ln() ( ) ln() ( + ) + o ( + ) = + + o() Quindi la retta y = + è asintoto obliquo a +. b) Per quanto riguarda la derivabilità si osservi che nella definizione di f() compaiono sia la funzione che la funzione, che sono funzioni derivabili nel loro dominio tranne che nel punto = 0. Si osservi che l argomento del modulo si annula nel punto =, mentre l argomento della radice non si annulla mai. Di conseguenza per tutti gli (0, ) (, + ) la funzione f() risulta derivabile ed in tale regione la derivata può essere calcolata usando le regole di derivazione. Di conseguenza studieremo la monotonia di f() per tutti gli studiando il segno della derivata di f(). Mentre di seguito studieremo la derivabilità di f() in =.

5 < In questa regione f () = + + sgn(ln()) ( + ) + ln() = + + sgn(ln()) ( + ) + ln() ++, > ; = (+) + ln() + (+) + ln(), 0 < < ; dove sgn(ln()) indica la funzione segno di ln(): {, ln() > 0 > ; sgn(ln()) =, ln() < 0 0 < <. In entranbi i casi il denominatore è sempre positivo. Quindi lo studio del segno della derivata prima dipende esclusivamente dal numeratore. In particolare > Il segno di f è quello + +. Le radici dell equazione + + = 0, sono ± = ±. Sono tutte e due negative. Quindi f () > 0 per >. < Il segno di f è quello +. Le radici dell equazione + = 0, sono ± = ± 6. In questo caso una radice è negativa. Per l altra radice si ha 0 < + 6 < Quindi f () < 0 per 0 < < + 6 e f () > 0 per + 6 < <. Riassumendo < 0, 0 < < + 6 ; f = 0, = () è + 6 ; + 6 > 0, < < ; > 0, > = f() è decrescente 0 < < + 6 ; + 6 crescente < < ; crescente > In particolare = + 6 è un minimo relativo (assoluto, in realtà) di f(). Rimane da discutere la derivabilità della funzione in =. Dal momento che la funzione è continua in e le derivate esistono in un intorno di possiamo utilizzare il corollario del teorema di Lagrange il quale afferma che se il limite destro/sinistro delle derivate esiste finito o infinito allora coincide con la derivata destra/sinistra della funzione. Osservando che lim f + () = lim ( + ) + ln() = 5 6 = f (), e che lim f + + () = lim + + ( + ) + ln() = 7 6 = f +(), si ha che f +() f (). Quindi la funzione non è derivabile in. c) Per quanto riguarda il grafico della funzione si ha 5

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7 ) Data la funzione f() = ( ) / e / a) Calcolare il dominio di definizione ed eventuali asintoti verticali/obliqui/orizzontali. b) Studiare la derivabilità della funzione (specificando eventuali punti di non derivabilità) e trovare eventuali punti di massimo/minimi relativi della funzione. c) Tracciare il grafico della funzione. Svolgimento a) Il dominio della funzione è dato dal sistema { { 0, ( ) 0, 0 0 (, 0) [, + ) Quindi gli asintoti vanno studiati a ± e in 0 punto di frontiera del dominio. Si osservi che per 0 si ha che /, quindi per il limite notevole potenze/esponenziali si ha che f() = ( ) / e / = e / ( + o()) 0 + Quindi 0 è un asintoto verticale. Inoltre per ± si ha f() = ( ) / e / = ( /) / e / = ( / + o(/))( / + o(/)) = ( 3 + o(/)) quindi { 3 f() = o(), +, + o(),. Quindi a + l asintoto obliquo a + ha equazione y = 3 +. L asintoto a ha equazione y = 3. b) La funzione è derivabile in (, 0) (, + ) perche composizione somma e prodotto di funzioni derivabili in tale insieme. In particolare f () = e / ( ) / + e / ( ) / = = e / ( ) / (3 + ) = e / ( ) / (3 + ) e / ( ) / ( + ). Il segno della derivata prima dipende dal prodotto di per il polinomio di secondo grado ( + ),le cui radici sono ± = ± 7 e da. Si osservi che 0 < + 7 < quindi tale radice cade fuori dal dominio di definizione. Quindi il segno di f ha f () = (, 7 7 ) ( ± 7, 0) (, + ) 7

8 Di conseguenza per quanto riguarda la monotonia della funzione si ha f() = (, 7 ) ( ± 7, 0) (, + ) Quindi 7 è un minimo relativo. Il grafico si evince dalla monotonia dagli asintoti e dal fatto che f() è sempre 0: Per quanto riguarda la derivabilità in + si osservi che la funzione è continua in tal punto. Inoltre f () = e / ( ) / ( + ) = e + ( + o()) + (( )) / quindi per il corollario del teorema di Lagrange la derivata destra in non esiste. Più precisamente è un punto a tangente verticale. 8

9 3) Sia data la funzione ( ) f() = a) Calcolare il dominio di definizione ed eventuali asintoti verticali/obliqui. b) Studiare la derivabilità della funzione (specificando eventuali punti di non derivabilità) e trovare eventuali punti di massimo/minimi relativi della funzione. c) Tracciare il grafico della funzione. Svolgimento a) Il dominio della funzione è individuato dalla disequazione 0, Da cui si evince che il dominio è l insieme D f = (, 0] (, ). Quindi dovremo studiare l esistenza di asintoti in + e ±. Studiamo prima l esistenza di un asintoto verticale in + : si osservi che per + si ha ( ) 8 f() = = ( + o()) + ( ) / Quindi f() ha un asintoto verticale in +. Per quanto riguarda ± si osservi che per ± ( ) f() = = ( + ) / ( = + ) + o( ) = + + o( ) = o( )) = + + o(). Quindi a + e - sono presenti due asintoti obliqui aventi la stessa equazione y = + b) La funzione è derivabile in (, 0) (, ). Studiamo il segno della derivata in tale insieme per capire la monotonia. Dopodichè studieremo la derivabilità di f in 0. (, 0) (, ) ( f () = ( = ) ) ( ( ) 8 ) ( ) ( ( ) = ( = ) ( ) ( ) ) ( ) ( 3) 9

10 Per cui il segno della derivata nella regione in esame dipende dal polinomio di secondo grado ( 3) = ( 3). Di conseguenza: f () è Quindi il punto = 3 è un minimo relativo. = 0 crescente (, 0) descrescente (, 3) 0 = 3 crescente (3, + ) Per studiare la derivabilità in = 0 si osservi che la funzione è continua in 0 perchè composizione di funzioni continue. Si osservi inoltre che lim 0 f () = 0. Per il corollario del teorema di Lagrange si ha che f è derivabile in 0 da sinistra con derivata f (0) = 0. c) Usando i risultati di sopra si traccia il seguente grafico: