Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica Corso di Laurea in Chimica. Matematica 2.

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1 Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica Corso di Laurea in Chimica Matematica 2 9 Maggio 2018 Schema Lezione numero 15

2 Outiline Regola di derivazione delle funzioni inverse Derivate di ordine superiore Teoremi di Fermat e Lagrange Metodo per la ricerca di massimi/minimi di una funzione derivabile slide 2 di 7

3 Ancora sulla regola di derivazione delle funzioni di funzione. Usando la regola di derivazione delle funzioni di funzione è stato mostrato che la derivata della funzione y = a f (x) (con a > 0 e a 1) è data da y = (ln a)f (x) a f (x). A tale scopo basta scrivere a f (x) = e f (x) ln a e applicare quanto imparato la volta scorsa! Con un ragionamento analogo si può calcolare la derivata della funzione y = f (x) g(x), (f (x) > 0). Si trova: [ ] y = f (x) g(x) g(x)f (x) + g (x) ln f (x). (1) f (x) Usando la formula (1), si ottengono le seguenti regole di derivazione (COME??) 1 Se y = x α, α R allora y = αx α 1. 2 Sey = [f (x)] α, α R allora y = αf (x) [f (x)] α 1. Esercizi svolti in classe: Calcolo delle derivate delle seguenti funzioni: y = x y = ln x slide 3 di 7

4 Regola di derivazione delle funzioni inverse. Vale il seguente: Teorema: Supponiamo che la funzione y = f (x) sia derivabile con derivata diversa da zero in ogni punto di un intervallo dove risulta essere invertibile. Si indichi l inversa della funzione y = f (x) con x = g(y). Allora, la funzione g(y) è derivabile in ogni punto del suo dominio (che coincide con il codominio della f (x)!!!) e tale derivata è la reciproca della derivata di f (x) calcolata nel punto x = g(y) ovvero, in formule: g (y) = 1 f (x). Illustrazione dei passaggi della dimostrazione del teorema precedente. Esempio: È stato provato che se y = arcsin x allora y = 1 1 x 2 Esercizi: Usando la regola di derivazioni delle funzioni inverse, determinare le derivate delle seguenti funzioni 1) f (x) = arccos x 2) f (x) = ln arctan x 3) f (x) = ln x slide 4 di 7

5 Derivate di ordine superiore. La derivata prima di una funzione y = f (x) è stata finora indicata con uno dei seguenti simboli: y d, dx f (x), f (x), D y, D f (x). La derivata prima è una funzione. Spesso occorre considerare la derivata della funzione derivata prima e a tale funzione si dà il nome di derivata seconda e si indica con uno dei simboli y, d 2 f (x), f (x), D 2 y, D 2 f (x). dx 2 In modo analogo, si definiscono le derivate successive. Esercizio. Si consideri la funzione y = x 2 cos x. Si chiede di: Calcolare le derivate prima, seconda e terza della funzione. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x = π 2. slide 5 di 7

6 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale Definizione di massimo/minimo relativo e massimo/minimo globale. Enunciato del Teorema di Fermat e suo significato geometrico. Definizione di punti stazionari per una funzione. Osservazione: Il teorema di Fermat non è invertibile! Analisi del seguente esempio: f (x) = x 3. Enunciato del Teorema di Lagrange e suo significato geometrico. Nella lezione di domani verrà dimostrato questo teorema e si analizzerà qualche esempio. La sua importanza è dovuta al fatto che da esso è possibile derivare un semplice criterio analitico che consente di stabilire dove una funzione è crescente e dove è decrescente. Si ha infatti il seguente (di cui discuteremo domani alcuni esempi/esercizi del test di monotonia.): Teorema (test di monotonia): Se in un intervallo (a, b) la derivata f (x) di una funzione f (x) è sempre positiva, allora la funzione è crescente in (a, b). Se invece è f (x) < 0 in (a, b), allora la funzione è decrescente in (a, b). slide 6 di 7

7 Ricerca dei punti di massimo/minimo di una funzione (derivabile) Sia f : [a, b] R una funzione derivabile. Per determinare i massimi/minimi di tale funzione si può procedere come segue (discuteremo domani alcuni esempi): a. Si calcolino i valori f (a) e f (b). b. Si determinino i punti stazionari della funzione risolvendo l equazione f (x) = 0. Dal teorema di Fermat sappiamo che i punti stazionari sono candidati ad essere punti di massimo/minimo locale. c. Se non ci sono punti stazionari (cioè se f (x) = 0 non ha soluzioni in (a, b)) allora f (a) e f (b) sono punti di estremo locale. Supponiamo che ci siano invece punti stazionari. Occorre stabilire la natura di questi punti stazionari. Per fissare le idee sia x 0 un punto stazionario. Se in un intorno sinistro di x 0 si ha f (x) < 0 mentre in un intorno destro di x 0 si f (x) > 0 allora x 0 è un punto di minimo relativo. Se invece si dovesse avere f (x) > 0 in un intorno sinistro di x 0 e f (x) < 0 in un intorno destro di x 0, allora x 0 è un punto di massimo relativo di f. Se la derivata prima non cambia segno in un intorno completo di x 0 allora x 0 è un punto flesso di f. d. Per verificare la presenza di massimi/minimi globali occorre confrontare i valori di f (a) e f (b) con i valori di massimo/minimo relativo trovati al passo c. slide 7 di 7