Corso di Analisi Matematica

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di CONVESSITÀ Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche

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3 Derivata seconda Se la derivata (prima) di una funzione è definita su un intero intervallo, o addirittura su tutto il dominio (purchè composto da intervalli), allora la funzione f () può essere a sua volta derivabile. Si ottiene così la derivata seconda della funzione, che si indica con f (), d 2 f d 2, D2 f, f Derivata terza, quarta,... Se, a sua volta, f () è una funzione derivabile, si ottiene la derivata terza, f (), e così via. Se una funzione f : D R ammette derivate fino all ordine n ed esse cono continue, si dice che f è derivabile n volte con continuità o che è di classe C n (D). e grandezze cinematiche La derivata prima e la derivata seconda hanno un importante applicazione in fisica: la velocità come derivata prima dello spostamento e l accelerazione come derivata prima della velocità o derivata seconda dello spostamento

4 Derivata seconda Definizione La definizione di derivata seconda in un punto 0 è ovviamente identica a quella della derivata prima, solo che il rapporto incrementale va costruito sulla derivata. Sia allora I un intervallo e sia 0 I. Sia f : I R una funzione derivabile sull intervallo I. Se la funzione f () è a sua volta derivabile in 0 I, si definisce come derivata seconda della funzione f() nel punto 0: f ( 0) = lim h 0 f ( 0 + h) f ( 0) h Anche le derivate si definiscono allo stesso modo, quando esistono. Esempi Molte delle funzioni elementari sono derivabili quante volte si vuole nel loro dominio. Ad esempio: f() = sin, f () = cos, f () = sin, f () = cos,... f() = e, f () = f () = f () =... = e

5 Derivata seconda Esempi f() = 2, f () = 2, f () = 2, f () =... = 0 f() = 1, f () = 1 2, f () = 1 3,... f() = ln, f () = 1, f () = 1 2, f () = 1 3,... f() = 3/2, f () = 3 2 1/2, f () = 3 4 1/2 j f() = 3, f 3 2 < 0 () = f () = j 6 < f () = j 6 < 0 6 > 0 Nell ultimo esempio, la funzione è derivabile solo due volte in = 0.

6 Derivata seconda Esempi: grafici 2 f() = 3/2 f() = f() f () f () f ()

7 Funzioni convesse Funzione convessa Sia I un intervallo e sia f : I R; la funzione f si dice convessa se, 1, 2 I, il segmento che unisce i punti ( 1, f( 1)),( 2, f( 2)) sta sopra il grafico della funzione. Graficamente: y y O O Una funzione convessa può anche non essere derivabile in alcuni punti.

8 Funzioni convesse Definizione rigorosa Sia I = (a, b) un intervallo e siano 1, 2 I. Il segmento che unisce (o la retta che passa per) i punti ( 1, f( 1)),( 2, f( 2)) ha come equazione f(2) f(1) y = f( 1) + ( 1). 2 1 La condizione di convessità si può quindi scrivere f() f( 1) + f(2) f(1) 2 1 ( 1), a < 1 < < 2 < b Se il segno di uguaglianza vale solo agli estremi, allora la funzione f si dice strettamente convessa. La funzione f si dice concava in I quando f è convessa in I. Da notare che l equazione della retta passante per ( 1, f( 1)),( 2, f( 2)) si può anche scrivere y = f( 2) + ( 2)[f( 2) f( 1)]/( 2 1) e quindi la condizione di convessità è anche f() f( 2) + f(2) f(1) 2 1 ( 2).

9 Funzioni convesse Proprietà delle funzioni convesse Quale relazione sussiste tra convessità, derivabilità e continuità? Sia I = (a, b) un intervallo e sia f (strettamente) convessa in I. Allora: esistono f () ed f +() per ogni (a, b) e sono finite; f () f +() per ogni (a, b); le funzioni f () ed f +() sono (strettamente) crescenti in (a, b); f è continua in (a, b). Se f è derivabile in (a, b) allora (f è (strettamente) convessa) (f è (strettamente) crescente) (per ogni 0 (a, b) si ha che f() (>)f( 0) + f ( 0)( 0)). Il significato dell ultima affermazione è che se f è convessa in (a, b) allora la retta tangente in qualunque punto di (a,b) sta sotto il grafico della funzione nell intervallo.

10 Funzioni convesse Esempi La derivata è crescente e la funzione è continua

11 Convessità e derivata seconda Teorema Se f è 2 volte derivabile in (a, b), allora f convessa in (a, b) f () 0 (a, b) e f () > 0 (a, b) f strettamente convessa in (a, b) Dimostrazione Segue facilmente dai teoremi sulla crescenza di f in (a, b).

12 Convessità e derivata seconda Esempi f() = 2 è derivabile 2 volte in (,+ ) e si ha f () = 2. Quindi è convessa in (,+ ); f() = sin è derivabile 2 volte in [π, 2π] e si ha f () = sin > 0. Quindi è convessa in [π,2π]; f() = e ed e sono 2 volte derivabili in (,+ ) con f () = f() > 0 e sono convesse in (,+ ); f() =, e sono convesse in (,+ ) ma non sono derivabili (nemmeno una volta)!! Quindi: il criterio della derivata seconda è sufficiente ma non necessario

13 Convessità e derivata seconda Punti di flesso Sia f : (a, b) R una funzione; sia 0 (a, b) tale che esiste la retta tangente (anche verticale) al grafico di f in 0. Il punto 0 si dice punto di flesso se esiste un intorno sinistro di 0 in cui la funzione è convessa ed un intorno destro in cui è concava (o viceversa). Si verifica facilmente che le funzioni 3 e 1/3 hanno un punto di flesso in 0. Teorema Sia f : (a, b) R una funzione e sia 0 (a, b). Se f è due volte derivabile in 0 ed 0 è un punto di flesso, allora f ( 0 ) = 0. Dimostrazione Dalle ipotesi segue che f è derivabile in 0, che è crascente da una parte e decrescente sall altra di 0. Quindi, 0 è punto di massimo (o di minimo) per f e, per il teorema di Fermat, f ( 0) = 0.

14 2 Convessità e derivata seconda Punti di flesso: esempi - I f() = 3 f() = sin f() = e Π 2 0 Π f() f ()

15 Convessità e derivata seconda Punti di flesso: esempi - II Studiare la convessità delle seguenti funzioni e determinarne i punti di flesso. f : R R, f() = 3 ( 1) 2 ; f : R R, f() = 1 + ( 1) 1/3 ; f : R R, f() = ( 1) 4 ; f : R R, f() = e ; f : R R, f() = e 2. f : R R, f() = 2 1.